KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - Nehezebb matematikai problémák

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[234] Sirpi2006-01-18 20:47:18

Oké, így már világos, bocs. És arra már én is rájöttem, hogy minden négyzetszám előfordul végtelen sokszor, de ez ugye még kevés.

Előzmény: [233] Kós Géza, 2006-01-18 20:25:22
[233] Kós Géza2006-01-18 20:25:22

Amit írtam, az nem ellenpélda, hanem példa akart lenni. Ezek szerint én voltam félreérthető.

Az egész értékek között minden pozitív négyzetszám végtelen sokszor előfordul. (Megoldást azért nem írok, mert ismerem a feladatot.)

Előzmény: [232] Sirpi, 2006-01-18 19:04:29
[232] Sirpi2006-01-18 19:04:29

Géza, ezt nem teljesen értem, mire írtad, ez egy példa, amikor a tört értéke tényleg négyzetszám. Azt kell bizonyítani, hogy nincs olyan a és b, amikor a tört egész, és a tört értéke mégse négyzetszám (bocs, ha eredetileg félreérthetően fogalmaztam).

Előzmény: [231] Kós Géza, 2006-01-18 17:54:52
[231] Kós Géza2006-01-18 17:54:52

Pl. \frac{1020^2+64^2}{1020\cdot64+1}=16.

Előzmény: [230] Sirpi, 2006-01-18 17:33:26
[230] Sirpi2006-01-18 17:33:26

137. feladat.: bizonyítsd be, hogy ha a és b természetes számok és \frac{a^2+b^2}{ab+1} egész, akkor négyzetszám is egyúttal (nemrég hallottam, nem tudom a megoldást, de van 1-2 részeredményem).

[229] Lóczi Lajos2005-12-28 21:35:05

136. feladat. Oldjuk meg a


3^{x-1}\le \left(\frac{3^x-2^x}{2^x-1}\right)^2

egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

[228] lorantfy2005-12-24 16:51:39

Szia Viktor!

Ez egy elsőrendű inhomogén. Átalakítva, x\ne0

y' + \frac{y}{x}=-\frac{1}{x^2}

Először a homogént oldjuk meg:

y' + \frac{y}{x}=0

 \quad \implies \quad \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}

Integrálva: ln|y|=-ln|x|+C, amiből

y=\frac{C}{x}\qquad y'=-\frac{C}{x^2}

Visszahelyettesítve: -\frac{C}{x^2}+\frac{C}{x^2}=0

Az inhomogén megoldását a következő alakban keressük:

y_0=\frac{C(x)}{x} \qquad y_0'=\frac{C'(x)x-C(x)}{x^2}

Ezt visszahelyettesítve:

 C'(x)=-\frac{1}{x}\qquad C(x)=-ln|x|+C

Vagyis a teljes megoldás:

y=-\frac{ln|x|}{x}+\frac{C}{x}\qquad y'=\frac{-1+ln|x|}{x^2}-\frac{C}{x^2}

Visszahelyettesítve az eredetibe:

-1+ln|x|-C-ln|x|+C+1=0

Talán jó! Kellemes Ünnepeket minden Fórumosnak!

Előzmény: [227] n_viktor, 2005-12-23 23:58:59
[227] n_viktor2005-12-23 23:58:59

Hali!

135. Feladat:

Oldjuk meg a kovetkezo differencial-egyneletet:

x2y'+xy+1=0

Udv: Viktor

[226] jonas2005-12-15 21:38:29

Rónyai Lajos épp most beszél róla a Mindentudás Egyeteme előadásában. Hallgasd meg az előadás ismétlését, vagy olvasd el a Mindentudás Egyeteme honlapjáról az előadást, ha majd kinn lesz.

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[225] lorantfy2005-12-14 22:36:25

könyvajánló

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[224] jonas2005-12-14 15:33:28

Nagy Fermat-tétel - Wikipédia illetve a hosszabb angol nyelvű cikkszó

Előzmény: [223] Wolf, 2005-12-14 15:02:23
[223] Wolf2005-12-14 15:02:23

Csupán kíváncsiságból:

Azt olvastam valahol, hogy régebben pályázatot hírdettek a Fermat-sejtés bizonyítására. Sikerült-e valakinek?

[222] Lóczi Lajos2005-11-28 13:43:22

Szép sejtés (én az "S értékével egy kicsit játszva" lépésben az internetes Inverse Symbolic Calculator-hoz szoktam folyamodni, ami a Sloane-adatbázis kiterjesztése valós számokra.)

Igazoljuk tehát Róbert Gida sejtését, miszerint a feladatbeli összeg értéke \frac{1}{\root 4 \of {5}}. (A bizonyítás ugyanúgy kell menjen, mint az "ujjgyakorlatok"-beli analóg feladat esetén, amit a Mathematica kiszámolt.)

Előzmény: [221] Róbert Gida, 2005-11-27 16:32:32
[221] Róbert Gida2005-11-27 16:32:32

Sejtés a 134. feladatra:

n=107-ig összegeztem a tagokat PARI-GP-ben , persze rekurziót használva a tagokra, hogy egy lépésben ne kelljen a faktoriálist kiszámolni, így T=0.6687025753463730983726573923 körülbelül. A maradék tagokra pedig a Stirling formula becslése szerint az n. tag nagyságrendileg: \frac 1{n^{\frac 32}}*\frac 1{5^{0.75}*\sqrt {8Pi}}. Így az integrálközelítő összegeket használva egy T-nél jobb becslést is kaphatunk a sorösszegre:

S=T+\frac 1{\sqrt {10^7}*5^{0.75}*\sqrt {2Pi}}=0.6687403049777897230799514734

Tehát ennyi jó közelítéssel a sorösszeg. S értékével egy kicsit játszva kiderül, hogy S hihetetlen közel van \frac 1{\sqrt {\sqrt 5}} értékéhez, a hiba tőle mindössze 10-12, így valószínűleg ennyi a sorösszeg.

[220] Róbert Gida2005-11-27 15:16:10

Pepin teszt szerint: legyen n>0. Az Fn=22n+1 prím pontosan akkor, ha 3^{\frac {F_n-1}2} modulo Fn az -1. Így ez a teszt 2n-1 darab négyzetreemelést és redukciót igényel modulo Fn.

A másik új teszt pedig 2n-2 darab ilyen műveletet igényel, hiszen nekünk itt igazából nem S2n-2 értéke kell, hanem annak modulo Fn vett értéke, így a rekurziót is vehetjük modulo Fn De ott még mindig van 2 kivonása, ami ha binárisan van ábrázolva a szám, akkor átlagosan csak konstans műveletbe kerül.

Így mindkét eljárás lényegében 2n darab négyzetreemelést és redukciót igényel modulo Fn, azaz egyforma gyorsak.

Sőt nagyságrendileg ugyanolyan gyors, mint a Lucas-Lehmer teszt, csak éppen a Mersenne számok jóval sűrűbben vannak, mint a Fermat számok és nem is valószínű, hogy létezne akár még csak egy új prím is a Fermat számok közt, ezért keresnek általában Mersenne prímet.

Még egy dolog a futásidőről: egy sejtés szerint nincs lényegesen gyorsabb prímalgoritmus annál, mint annak a futásideje ami megnézi egy számról log2n négyzetreemeléssel és redukcióval, hogy egy szám egy adott alapra nézve ( erős ) álprím-e. Az előbbiek mind ilyen gyorsak voltak, így nem valószínű, hogy lenne ezeknél gyorsabb algoritmus ezen számokra. Ezért volt számomra nagyon meglepő amikor azt olvastam TRex-től, hogy egy másik algoritmusa szerint ő 25%-kal gyorsabban tudja megcsinálni a Fermat számokra a prímtesztet!, de kiderült, hogy tévedett.

TRex-ről még valamit: hihetetlen egyébként miket meg nem sejt, amik általában ismert tételek a számelméletben:) De ez az eredmény valóban újnak tűnik, én sem láttam sehol hasonlót. Én tőle októberben olvastam ezt a sejtését szintén egy külföldi fórumon: http://mersenneforum.org.

Előzmény: [219] Lóczi Lajos, 2005-11-27 13:32:14
[219] Lóczi Lajos2005-11-27 13:32:14

És melyik teszt hatékonyabb a Fermat-számokra, a Pepin-féle exponenciális vagy a Reix-féle iteratív? (Úgy értem, melyiket igényel kevesebb számolást?)

T. Reix amúgy egy külföldi fórumon TRex néven tűzte ki ugyanezt a feladatot november elején. Lesz belőle közös cikk? Újnak tűnik az eredmény, nem?

Előzmény: [217] Róbert Gida, 2005-11-27 11:11:30
[218] Lóczi Lajos2005-11-27 13:26:51

134. feladat. Mennyi a

\sum _{k=0}^{\infty } \frac{(5 k)! }{k! (4 k+1)!}\left(\frac{4}{5 \sqrt{\sqrt{5}}}\right)^{4 k+1}

összeg értéke kifejezve olyan formában, amit még általános iskolában tanultunk?

[217] Róbert Gida2005-11-27 11:11:30

Valóban nem én vagyok Tony Reix. Ő egyébként egy francia programozó. Váltottunk olyan 6 emailt egymás között a témában, sejtésével kapcsolatban. Nemrégiben adtam rá egy bizonyítást, ami elemi és nem használ tételeket a Lucas sorozatokról. Az ő bizonyítása egyébként hibás, köszönhetően 6. tétel (8.4.7)-nek, mivel ott, hogy mikor van +-1 azt éppenséggel egy Legendre szimbólum adja meg.

Az a legmeglepőbb, hogy a Freud-Gyarmati Számelmélet könyvben a Mersenne számokra vonatkozó kritérium bizonyítását átírva ezt a tételt is meg lehet kapni! Ezt átírva valamivel több mint 2 oldal a bizonyítása néhány könnyen ellenőrizhető számolás kihagyásával. Részletesen olyan 4-5 oldal lenne.

Fermat számokra egyébként a Pepin teszt közismert, ami azért más mint ez a teszt. Éppen szerintem ezért érdekes, hogy a Mersenne és Fermat számokra most már van két hasonló prímteszt, aminek a bizonyítása is hasonló.

Kis segítség a kezdéshez az érdeklödőknek: itt most a Q[\sqrt {21}] gyűrűben kell dolgozni! Ebben a gyűrűben egyébként igaz a számelmélet alaptétele, de ezt nem kell a bizonyításhoz használni.

Előzmény: [216] Lóczi Lajos, 2005-11-27 02:39:20
[216] Lóczi Lajos2005-11-27 02:39:20

Mersenne-prímekre a kitűzötthöz kísértetiesen hasonló rekurzív kritérium ismert, l. http://mathworld.wolfram.com/Lucas-LehmerTest.html

Utána Google-kulcsszavak: Lucas-Lehmer, Pepin, egy kis nyomozás, és íme

http://tony.reix.free.fr/Mersenne/PrimalityTest2FermatNumbers.pdf

Feltehetőleg nem Te vagy Tony Reix, igaz ? :))

Előzmény: [215] Róbert Gida, 2005-11-26 22:25:41
[215] Róbert Gida2005-11-26 22:25:41

133. feladat

Legyen n\geq1, bizonyítsuk be ekkor, hogy Fn=22n+1 ( azaz az n-edik Fermat szám ) prím akkor és csak akkor, ha az S0=5 és Sk+1=Sk2-2 rekurzióval definiált sorozat esetén az S2n-2 osztható Fn-nel.

[214] Lóczi Lajos2005-11-21 20:23:20

Ha T és \omega között az a kapcsolat, amit írtál, akkor ez jön ki. (De ugyanezt az eredményt írtad az eredeti kérdésedben is, tehát nem kell meglepődni.)

Előzmény: [213] Wolf, 2005-11-21 14:54:18
[213] Wolf2005-11-21 14:54:18

Biztos ez jön ki (sk)-ra? (Órai példa...)

Ugye az Euler alakból csak a cosinusos együtthatókat vizsgálom, mivel (-1)\inRe?

\rm\bf{e^{-s\cdot\frac T4}=-1}

\rm\bf{e^{s\cdot\frac T4}=-1}

Így \bf s\cdot\frac T4=jk \pi, ebből sk=2jk\omega, ahol k=\pm1;\pm3;\pm5;...

Előzmény: [212] Lóczi Lajos, 2005-11-21 13:14:27
[212] Lóczi Lajos2005-11-21 13:14:27

A kérdésnek valójában semmi köze az integráltranszformációkhoz, azon múlik a dolog, hogy a komplex számok körében az ez= -1 egyenlet megoldásai a z = (2k+1)\pii alakú számok, ahol i a képzetes egység és k tetszőleges egész. (Ez pedig lényegében az Euler-formulán múlik, miszerint e^{i\phi}=\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi), ahol \phi tetszőleges (komplex vagy valós) szám.)

Előzmény: [211] Wolf, 2005-11-21 11:59:27
[211] Wolf2005-11-21 11:59:27

Üdv!!!

Szintén Laplace kérdésem van... Adott F(s) törtfv.-nél, ha pólus helyet keresek, pl.: exp(-s*(T/4))=-1 helyen pólus van, akkor ebből hogy jön ki az s*(T/4)=j*k*pi, ahol k=+-1,+-3,+-5,... Fourier-sor meghatározásánál vizsgáltuk, ahol T a gerjesztési jel periódus ideje.

U.I.:Az ilyen jellegű kérdéseket melyik "témában" tehetem fel???

[210] Wolf2005-11-05 18:12:23

Nagyon szépen köszönöm a segítségét... Tudnillik ezt a módszert villamosságtanban használjuk és sajnos nincs elég idő az adott módszerek megértéséhez csupán csak a használatához és ez ahhoz vezet,hogy a fiatal mérnökök az életben már nem is fogják használni, egyrészt nincs rá szükségük (munkahelyi feladatkör), másrészt meg se marad nekik a tanult anyag. Nem értem mi a célja a mérnökképzéseknek,ha nem az,hogy a tanult anyagokat rögzítsék a hallgatóságban és jólképzett mérnököket adjanak ki a kezükből. Mindenkinek még nekem is utána kell járnom bizonyos témákban ismereteket szerezni, különben nem fogunk semmit megérteni csupán "néhány órás" szemináriumokon.

Előzmény: [209] Lóczi Lajos, 2005-11-04 20:46:17

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley