Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[705] izsák2013-09-25 08:05:38

Egy gömböt kisebb egyforma gömbökkel kitöltve mekkora kitöltési tényezőre számíthatunk?

[704] Sinobi2013-09-21 18:43:58

Bizonyítsd be, hogy három körhöz 0,1,2,3,végtelen darab olyan egyenes létezhet, melyek átmennek minden körön, és melyekből a körök ugyanakkora szakaszokat vágnak le, ha 4 létezik, akkor a három kör ugyanakkora és egy egyenesbe esik!

Bizonyítsd be, hogy három ellipszishez létezhet 4 ilyen egyenes is!

Keresd meg három ellipszisre a korlátot, és lásd be! (ezt én nem tudom)

[703] w2013-08-18 10:20:01

Ja.

Előzmény: [702] Róbert Gida, 2013-08-17 23:09:48
[702] Róbert Gida2013-08-17 23:09:48

Legyen c=2013, ekkor, ha c az n pozitiv szám összege, akkor, a szorzatuk legfeljebb \bigg(\frac cn\bigg)^n (számtani-mértani), és ez el is érhető (ha a számok egyenlőek). De f(n)=\bigg(\frac cn\bigg)^n egy ideig monton nő majd csökken, ugyanis monoton nő, amíg: \bigg(\frac cn\bigg)^n\le \bigg(\frac {c}{n+1}\bigg)^{n+1}, ezt rendezve: (n+1)*\bigg(1+\frac 1n\bigg)^n\le c, itt az n fv-ben a bal oldal monoton nő, mert mindkét tag monoton nő (és pozitív). Így amíg ez az egyenlőtlenség teljesül addig monoton nő az f(n), majd monoton csökken. A maximumot pedig azon n-re veszi fel, amelyre n*exp(1)\approxc, azaz amelyre \frac cn\approx exp(1)

Előzmény: [701] w, 2013-08-17 21:25:24
[701] w2013-08-17 21:25:24

Ez hogyan jött ki? Miért van a hatványalap olyan közel e-hez?

Előzmény: [700] Róbert Gida, 2013-08-17 19:58:26
[700] Róbert Gida2013-08-17 19:58:26

\bigg(\frac{671}{247}\bigg)^{741}

Előzmény: [699] w, 2013-08-17 18:12:51
[699] w2013-08-17 18:12:51

Néhány pozitív valós szám összege 2013. Legfeljebb mennyi lehet a szorzatuk?

[698] w2013-07-27 20:13:42

Két amerikai feladat:

1. Legyen P(n) egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy a tér minden rácspontjához hozzárendelhető egy-egy egész szám úgy, hogy tetszőleges pozitív egész n esetén bármelyik térbeli n×n×n-es pontrácshoz rendelt számok összege P(n) többszöröse. Határozzuk meg az összes lehetséges P(n) polinomot.

2. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitív egészekre:

\prod_{cyc}\left(\frac{(2P+\frac{1}{2a+b})(2P+\frac{1}{a+2b})}{(2P+\frac{1}{a+b+c})^2}\right)\ge\prod_{cyc}\left(\frac{(P+\frac{1}{4a+b+c})(P+\frac{1}{3b+3c})}{(P+\frac{1}{3a+2b+c})(P+\frac{1}{3a+b+2c})}\right),

ahol P=\root{2013}\of{\frac{3}{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}}.

Aki tud, írjon megoldási ötletet/megoldást. Nem oldottam még meg a két feladatot, így megoldás létezését nem garantálhatom :-)

[697] marcius82013-05-06 15:32:01

Bizonyára mindenki ismeri a következő egyenlőtlenséget, ahol "a", "b", "c" az "ABC" háromszög oldalait jelentikés "A", "B", "C" a háromszög radiánban mért szögei a szokásos módon betűzve:

pi/3<=(a*A+b*B+c*C)/(a+b+c)<pi/2

Ezen minta alapján próbáljunk becslést adni a következő mennyiségre, ahol f(x,y,z) egy R3-->R függvény és G(X,Y,Z) egy R3-->R függvény:

p=(f(a,b,c)*G(A,B,C)+f(b,c,a)*G(B,C,A)+f(c,a,b)*G(C,A,B))/(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b))

Pl. ha f(x,y,z)=x*x és G(X,Y,Z)=X, akkor hegyesszögű háromszögek esetén pi/3<=p<pi/2 teljesül.

Nyilván tetszőleges f(x,y,z) és G(X,Y,Z) függvények esetén nem biztos, hogy sikerül "p" értékét két érték közbeszorítani, de keressünk olyan f(x,y,z) és G(X,Y,Z) függvényeket, amelyek esetén "p" értékét sikerül két érték közé szorítani. Még egy kis ráadás: Nem csak euklideszi geometriában (elliptikus, hiperbolikus) is lehet vizsgálódni.

Nekem van valamennyi eredményem euklideszi geometriában és nem euklideszi geometriában is, ha valaki valamilyen észrevételt tud tenni, azt előre is megköszönöm: Bertalan Zoltán.

[696] Lóczi Lajos2013-04-30 02:33:57

Elfelejtettem nevén nevezni az itt fellépő polinomot: \frac{T_{11}(x)}{x}, ahol Tn szokás szerint az n-edik elsőfajú Csebisev-polinomot jelöli.

Előzmény: [681] Lóczi Lajos, 2013-04-12 22:29:03
[695] w2013-04-29 22:24:09

Ez bennem is felvetődött. Népszerűsítő célból átírom a feladatot:

Oldjuk meg az

b2+c2=x2, c2+a2=y2, a2+b2=z2

diofantoszi egyenletrendszert.

Előzmény: [694] marcius8, 2013-04-23 14:51:57
[694] marcius82013-04-23 14:51:57

Egy újabb problémával szembesültem. Középiskolában tanítok matematikát, és például geometriai feladatok akkor könnyen megoldhatóak illetve a geometriai feladatok megoldásai akkor javíthatóak könnyen, ha a feladatok adatai és eredményei egész számok. Például szerencsés olyan derékszögű háromszöggel számolni, amelynek oldalai egész számok --> pitagoraszi számhármasok. A feladat a következő: Keressünk olyan derékszögű tetraédert, amelynek minden éle egész szám. (Egy tetraéder akkor derékszögű, ha van olyan csúcsa, amelyből kiinduló három él páronként egymásra merőleges.) Számítógéppel ilyent könnyű találni: Az "OABC" tetraéder "O" csúcsából kiinduló élek páronként merőlegesek egymásra, és OA=44, OB=117, OC=240, ekkor AB=125, BC=267, CA=244. Lehet ezeket a tetraédereket úgy generálni, mint a pitagoraszi számhármasokat?

[693] marcius82013-04-22 15:40:09

Köszönöm szépen mindenkinek a segítséget, most már a megadott oldalak rendesen jelennek meg. A segítségért küldök a nekem segítőknek virtuálisan egy jó nagy tábla csokit. Tisztelettel: Bertalan Zoltán

Előzmény: [692] Erben Péter, 2013-04-22 10:42:05
[692] Erben Péter2013-04-22 10:42:05

Az oldal MathML kóddal írja le a képleteket. Ennek megjelenítése - tudomásom szerint - csak Firefox alatt működik plugin nélkül. A többi böngészőt fel kell okosítani hozzá.

Előzmény: [691] marcius8, 2013-04-22 10:29:13
[691] marcius82013-04-22 10:29:13

Köszönöm szépen az ajánlott oldalakat. Sajnos nem igazán tudtam értelmezni az oldalak tartalmát, pedig pont erre vagyok kiváncsi. Az oldalakon a képletekből eltűntek a műveleti jelek nagy része (gyökvonás, osztás, stb...) és a képletekben szereplő számokról nem lehet eldönteni hogy indexek, hatványkitevők vagy mások.

Például: "For i=1,...,10 let t i be equal to t where every béta has been replaced by béta i. Then alfa=t 1 +...+t 10 10 =t 1 10 10 +...++t 10 10 10 10"

A "Gauss módszere" oldal tartalma emiatt számomra teljesen értelmezhetetlen. Arra kérlek, hogy ha tudsz ezeknek az oldalaknak a javított tartalmáról, irjál róla. Előre is köszönöm: Bertalan Zoltán.

Előzmény: [690] Lóczi Lajos, 2013-04-18 23:14:52
[690] Lóczi Lajos2013-04-18 23:14:52

Ekkor "sin(pi/11)" algebrai alakjának nevezem azt a kifejezést, amely az "f" polinom együtthatóiból állítható elő a négy alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) valamint gyökvonás segítségével.

A műveletek véges sokszori alkalmazására gondolsz?

Csak 11-nél kisebb kitevőjű gyököket szeretnél látni?

Ha igen és igen, akkor elég az egységgyökökre szorítkozni (onnan a szinusz konjugálással kifejezhető).

Az alábbi oldalakat ajánlom:

Gauss és a 17-szög, Vandermonde módszere, Gauss módszere általában.

Előzmény: [689] marcius8, 2013-04-18 08:05:02
[689] marcius82013-04-18 08:05:02

Amit a [675]-ben írtam, az nem a "sin(pi/11)" algebrai alakja. tekintsük azt az egész együtthatós "f" polinomot, amelynek gyöke a "sin(pi/11)". Ekkor "sin(pi/11)" algebrai alakjának nevezem azt a kifejezést, amely az "f" polinom együtthatóiból állítható elő a négy alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) valamint gyökvonás segítségével. Ezt előállítja valahogyan a Mathematica nevű program is, de ezt oldalakon keresztül teszi (kedvem nincs ennek a kifejezésnek a tanulmányozásához). Ráadásul ez a program azzal fenyegetődzik, hogy "sin(pi/23)" algebrai alakja reménytelenül hosszú. Akkor másképp teszem fel a kérdést: Tekintsük azt az egész együtthatós "f" polinomot, amelynek gyöke a "sin(pi/prím)" kifejezés. Hogyan lehet ennek az "f" polinomnak a gyökeit előállítani az "f" polinom együtthatóiból állítható elő a négy alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) valamint gyökvonás segítségével?

Egyszerűbb esetekben (prím=3, 5, 7, 13, 17, 19, és általában az olyan prímek esetén, ahol a prímből 1-et elvéve egy olyan szorzat adódik, amely csak 2-vel és 3-mal osztható) elő tudom állítani "sin(pi/prím)" albegrai alakját, igaz, ezekben az esetekben mindig másodfokú és harmadfokú egyenleteket kell megoldani.

Előzmény: [688] Lóczi Lajos, 2013-04-17 15:19:03
[688] Lóczi Lajos2013-04-17 15:19:03

:)

Mit értesz az alatt pontosan, hogy sin (\pi/11) algebrai alakja?

Előzmény: [687] marcius8, 2013-04-17 12:38:52
[687] marcius82013-04-17 12:38:52

Köszönöm szépen a megoldást, ezért virtuálisan tudok küldeni egy boci-csokit. A következő (igazi) kérdésem az, hogy ha nem írtam volna le a sejtést, akkor hogy lehet kitalálni a "sin(pi/11)" algebrai alakját, feltéve ha tudjuk, hogy a sin(pi/11) gyöke a 1024x10-2816x8+2816x6-1232x4+220x2-11=0 egyenletnek.

Általában hogy lehet megtalálni a "sin(pi/prím)" algebrai alakját, feltéve ha ismerünk egy olyan egész együtthatós polinomot, amelynek gyöke a "sin(pi/prím)"? Például prím=11, 23, 29, 31, stb....

Tisztelettel: Bertalan Zoltán

Előzmény: [684] Lóczi Lajos, 2013-04-15 23:39:59
[686] Bütyök2013-04-16 07:32:52

Véges összegük nulla. Ehhez kevés értéket adtál meg. 22 db kell. Akkor sum [k=0,2n-1]cos(k*pi)/n = sum [k=0,2n-1]sin(k*pi)/n=0

Előzmény: [683] marcius8, 2013-04-15 15:55:49
[685] Lóczi Lajos2013-04-16 00:02:39

(Egészen pontosan először a 6\pi/5 és 4\pi/5 argumentumoktól szabadultam meg, hogy helyettük \pi/5 legyen és mínuszjelek itt-ott, utána jön M és P.)

Előzmény: [684] Lóczi Lajos, 2013-04-15 23:39:59
[684] Lóczi Lajos2013-04-15 23:39:59

Ha a jobb oldalon szereplő egyik szinuszt elnevezed M-nek, a másikat P-nek, majd ezekre a definiáló egyenletekre külön-külön ráhatsz arkusz szinusszal, lineáris rendezéssel és szinusszal, és egyszerűsítünk, akkor azt kapjuk, hogy

-M \left(16 M^4-20 M^2+5\right)=\frac{1}{484} \left(109-25 \sqrt{5}\right) és \frac{1}{484} \left(109+25 \sqrt{5}\right)=P \left(16 P^4-20 P^2+5\right).

Ebből adódik, hogy P-M gyöke a 3872x5-9680x3+6820x2-880x-109=0 egyenletnek, és így \frac{\sqrt{11}}{5}  (P-M)+\frac{\sqrt{11}}{10} gyöke az 1024x10-2816x8+2816x6-1232x4+220x2-11=0 egyenletnek.

Előzmény: [683] marcius8, 2013-04-15 15:55:49
[683] marcius82013-04-15 15:55:49

Először is köszönöm, hogy többen foglalkoztak az általam felvetett [675] összefüggésekkel.

Néhány reagálás a részemről:

[681] hozzászólás: Az rendben van, hogy az általam említett összefüggés bal oldala a hozzászólásban említett egyenlet legkisebb pozitív gyöke (addíciós tételek segítségével ez belátható), de hogy mutatjuk meg, hogy általam említett összefüggés jobb oldala is a hozzászólásban említett egyenlet legkisebb pozitív gyöke?

[680] hozzászólás: Csakugyan, euklideszi szerkesztési lépésekkel (csak egyélű és beosztás nélküli vonalzó és körző használható, két ponton átmenő egyenes húzható, két egyenes metszéspontja jelölhető, adott középpontú és adott sugarú kör szerkeszthető, egyenes és kör metszéspontja jelölhető, két kör metszéspontja jelölhető), csak a hozzászólásban említett szabályos sokszögek szerkeszthetők. De mi van akkor, ha megengedjük az egyélű vonalzó illesztését is? Erre példa a "www.gszi.sulinet.hu"-->"tanulói információk" fül-->"Bertalan Zoltán" helyen lehet példákat látni. (szögharmadolás, déloszi probléma, szabályos 7-szög szerkesztése)

Még egy kérdés: Feltéve, ha tudjuk, hogy az első összefüggésem helyes, ezt az összefüggést felahsználva hogy lehet bizonyítani a többi összefüggést?

Köszönöm mégegyszer az eddigi hozzászólásokat, mindenkinek kívánok jó gondolkozást: Bertalan Zoltán.

[682] nyerek012013-04-14 14:39:11

1. 0,1. 2. 3 oszthatsági szabálya miatt.

Előzmény: [674] w, 2013-04-08 16:38:02
[681] Lóczi Lajos2013-04-12 22:29:03

Csak az első formuládat ellenőriztem. Ez pl. azért igaz, mert a bal oldal is és a jobb oldal is mindketten az

1024x10-2816x8+2816x6-1232x4+220x2-11=0 egyenlet legkisebb pozitív gyökével egyezik meg.

Előzmény: [675] marcius8, 2013-04-12 12:52:40

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]