KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - Nehezebb matematikai problémák

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[385] Vini2006-10-03 18:33:52

Sziasztok. Az alábbi feladattal akadtam el. Köszi előre is a segítséget.

Határozzuk meg a kifejezés értékét, ha a=\frac{\sqrt3}4

\frac{1+2a}{1+\sqrt{1+2a}}+\frac{1-2a}{1-\sqrt{1-2a}}

[384] Sirpi2006-10-02 23:06:11

Tegyük fel, hogy c\geq2, d\geq2. Ekkor (c-1)(d-1)\geq1, vagyis cd\geqc+d. Viszont a+b=cd\geqc+d=ab, vagyis (a-1)(b-1)\leq1, innen pedig következik, hogy a=1 vagy b=1, vagy mindkettő 2. Ha mindkettő 2-es, a másik kettő is az, ezt könnyű látni, tehát egy megoldás már van: a=b=c=d=2

Innentől feltehető, hogy van a számok közt legalább egy 1-es. Legyen ez a. Ekkor viszont b+1=cd, b=c+d, ezekből cd-c-d=1, vagyis (c-1)(d-1)=2 Innen c és d értéke 2 és 3, vagyis megkaptuk a másik megoldást is: a=1, b=5, c=2, d=3.

Előzmény: [382] rizsesz, 2006-10-02 22:35:53
[383] rizsesz2006-10-02 22:38:11

Ja az egyetlen megoldás, ami eddig szembe jött velem az (a;b)=(1;5), (c;d)=(2;3).

[382] rizsesz2006-10-02 22:35:53

Sziasztok! Van egy remek feladatom, amelyről nem tudom, hogy vannak-e már gondolkodások, de a google nem segített rajtam :( ez a következő egyenletrendszer lenne a pozitív egészek körében: a+b=c*d (1) a*b=c+d (2)

Ha bárkinek valami konstruktív ötlete támad, azt nagyon szívesen venném.

[381] Vini2006-10-02 14:14:40

Kösz szépen. A feladat a könyvbe volt így, de valószinű tényleg elírhatták.

Előzmény: [380] nadorp, 2006-10-02 11:43:22
[380] nadorp2006-10-02 11:43:22

Szerintem a példa helyesen így van, a második tagot elírtad.

\sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}.

Kezdjük el a végén a harmadik és negyedik taggal, és használjuk fel az (a-b)(a+b)=a2-b2 azonosságot.

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}=\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\right)^2}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}

Most vegyük a második tagot és a fent kapott eredményt

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^2}=\sqrt{2-\sqrt3}

Végül az első tagot és fenti utolsó eredményt véve

\sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{2^2-\left(\sqrt3\right)^2}=\sqrt1=1

Előzmény: [379] Vini, 2006-10-02 10:00:32
[379] Vini2006-10-02 10:00:32

Sziasztok. Tudna nekem segíteni valaki az alábbi feladat megoldásába? Előre is kösz. Számítsa ki a köv. kif. értékét:

\sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2+\sqrt2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}

[378] Sirpi2006-09-29 13:37:12

6szögnél és nagyobb oldalszámú sokszögeknél tényleg az az optimális, ha a kerület mentén megyünk (és egy szakaszt kihagyunk), bár ezt azért nem olyan egyszerű bizonyítani. Az biztos, hogy ha van egy olyan kereszteződés, ahol nem három út találkozik 120 fokos szögekben, akkor az úthálózat javítható: a csomópontot kicserélve a három becsatlakozó út által meghatározott háromszög izogonális pontjára kisebb összeget kapunk. Ám van egy kis probléma, mint az ábra is mutatja. 6 csúcsra ez egy olyan úthálózat, amin nem hajtható végre javító lépés, mégse optimális, hiszen összhossza 3\sqrt3 \approx 5,196 > 5

Vagyis javító lépésekkel nem feltétlen a globális optimumhoz fogunk konvergálni.

Előzmény: [377] Hajba Károly, 2006-09-29 12:59:58
[377] Hajba Károly2006-09-29 12:59:58

Mivel eddig nem reagált senki, én megmutatom az ötszöges megoldást, s=3,890... < 4,00

S gyanítom, hogy magasabb csúcsszűmúsokszögeknél már a kontúr mentén megy az optimális útvonal. Minthogy Sirpi írtaa 120 foknál kisebb szügű háromszögekre igaz, így a 6 szögnél éppen ennyi, míg magasabb csúcsszámúnál már nagyobb. Persze ez gyanú és nem bizonyítás.

Előzmény: [363] Sirpi, 2006-09-27 08:05:15
[375] Hajba Károly2006-09-29 07:45:08

Lassan összeáll a kép. Az alábbi ábrából könnyen kiolvasható, hogy miért \alpha=30o ?

Előzmény: [373] Sirpi, 2006-09-28 11:52:25
[374] Hajba Károly2006-09-28 12:12:22

Igen. Tehát valahol a levezetést ronthattam el. Nekem cos alapú volt a végső képlet és \alpha=90 kijött, de a \alpha=30 nem. Na beíratkozom már egy esti gimibe. :o)

Előzmény: [373] Sirpi, 2006-09-28 11:52:25
[373] Sirpi2006-09-28 11:52:25

Igen ez az. Az egyszerűség kedvéért legyen a sugár egységnyi (a végén szorozni kell 6000-rel). Ekkor \alpha kezdőszög esetén a teljes úthossz (az egyes tagokhoz tartozó ívek sorrendben követik egymást):

\frac1{\cos \alpha} + \tg \alpha + (\frac 32 \pi - 2\alpha) + 1

Ezt deriválva, és nullhelyet keresve:

\frac {\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac1{\cos^2 \alpha} - 2 = 0

Átszorozva, felhasználva a cos2\alpha=1-sin2\alpha azonosságot és rendezve:

2sin2\alpha+sin \alpha-1=0

(2sin \alpha-1)(sin \alpha+1)=0

Vagyis \alpha=-90o (ez nem jó), vagy \alpha=30o, ahonnan a teljes úthossz:

\sqrt 3 + \frac 76 \pi + 1

Ezt 6000-rel szorozva kijön a 38384m (felfelé kerekítve).

Előzmény: [372] Hajba Károly, 2006-09-28 11:04:26
[372] Hajba Károly2006-09-28 11:04:26

Hát ha szebb szög, akkor itt a megoldás ... :o)

... és valóban 38.384 m.

Előzmény: [370] Sirpi, 2006-09-28 10:30:41
[371] Hajba Károly2006-09-28 10:54:08

Először az erdő széle ferdén volt nálam, azért nem jöttem rögtön rá a javításra. Az új rajz szerint felírtam egy képletet, deriváltam is, de nem jött ki használható eredmény. Vagy elfelejtettem deriválni vagy rossz képletet állítottam fel. Jelenleg nem találom a hibámat, ezért helyben topogok. Legfeljebb grafikai úton tudnék iteratív módszerrel tovább lépni, de az időrabló tevékenység.

Előzmény: [370] Sirpi, 2006-09-28 10:30:41
[370] Sirpi2006-09-28 10:30:41

Alakul az, csak a kezdőszög nem optimális (az ugyanis egy jóval szebb szög :-) ).

Előzmény: [369] Hajba Károly, 2006-09-28 08:27:48
[369] Hajba Károly2006-09-28 08:27:48

Lemaradt, így 38.628 m.

Előzmény: [368] Hajba Károly, 2006-09-28 08:26:51
[368] Hajba Károly2006-09-28 08:26:51

Most már sejtem, de az alábbi eltérés szerint még optimalizálni kellene.

Előzmény: [367] Hajba Károly, 2006-09-28 08:19:01
[367] Hajba Károly2006-09-28 08:19:01

OK. Spirál-elmélet ejtve. :o)

Nekem 38.831 m jött ki, mint legkisebb. Neked hogyan jött ki a kisebb hossz?

Előzmény: [366] Sirpi, 2006-09-27 22:21:22
[366] Sirpi2006-09-27 22:21:22

Mivel a 6km sugaró kör kerületére mindenképp ki kell valamikor menni, vegyük az első pontot, ahol a kör határát érintjük. Eddig a pontig érdemes egyenes vonalban kivágtatni, különben nem optimális a stratégia. Asszem ezzel megcáfoltam a spirálelméletet :-)

Előzmény: [365] Hajba Károly, 2006-09-27 19:40:29
[365] Hajba Károly2006-09-27 19:40:29

Elvileg nem egy olyan spirál eleje lenne, aminek a visszakanyarodó vonalszakaszai egyforma távolságra helyezkednek el?

r(\alpha)=d(n - 1 + \frac{\alpha}{2\pi})

n\inN+ - spirálkör sorszáma

d - két spirálkör távolsága

Előzmény: [364] Sirpi, 2006-09-27 16:11:17
[364] Sirpi2006-09-27 16:11:17

Egyébként ez az utolsó eredményem már 4 egymáshoz csatlakozó ívből jön ki, nem 3-ból, mint amiről az ábra készült. Ha lesz rá igény, írok róla bővebben, de éppen más is megteheti :-)

Előzmény: [363] Sirpi, 2006-09-27 08:05:15
[363] Sirpi2006-09-27 08:05:15

38384m :-) És ezt már nem tudom tovább javítani, nem tudom, lehet-e.

Amúgy én nyáron a pusztafalui matektáborban másfél órás előadást tartottam erről a legrövidebb úthálózatos problémáról, úgyhogy talán nem szólnék hozzá egyelőre.

Előzmény: [361] Sirpi, 2006-09-27 07:44:12
[362] Hajba Károly2006-09-27 07:45:20

Üdv!

Nehezítsük rizsesz előbbi példáját az aálatlánosítás felé:

- Mi a helyzet a szabályos ötszög esetén?

- Mely szabályos sokszögeknél lesz a legrövidebb úthálózat a sokszög kerülete és melyeknél nem?

[361] Sirpi2006-09-27 07:44:12

Na, egy kicsit módosítottam a vonalon és most 40275 helyett csak 39558m-t kell gyalogolni, sőt, még ez se tökéletes.

Előzmény: [359] Sirpi, 2006-09-26 12:17:09
[360] rizsesz2006-09-26 22:13:21

köszönöm Sirpi.

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley