KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - Nehezebb matematikai problémák

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[6] Pach Péter Pál2003-12-04 22:32:09

Kedves Péter! (Csak tippeltem, ha tévedek, javíts ki!)

Köszi a megoldást a 4. feladatra. A 3. feladatnál szerintem azért nem zavaró a 2-es szorzó elhagyása, mert az egyenlet 0-ra volt rendezve. A [4]-ben feltett kérdésemen nagyon sokat nem érdemes töprengeni, ugyanis kicsit becsapós. :-) Nos?

Sok sikert az első két feladathoz!

Előzmény: [5] nadorp, 2003-12-04 14:12:26
[5] nadorp2003-12-04 14:12:26

Kedves Péter !

A 3. feladatra adott megoldás nem annyira remek, mert egyrészt elhagytam a nevezőben egy 2-es szorzót ( bár ez a lényegen nem változtat), másrészt nem általánosítható n>3 esetére, mert ekkor \frac1{\sqrt{n}} csak egyszeres gyök, ezért nem a négyzeten szerepel a szorzatban. Azért még küzdök vele.Viszont van egy megoldásom a 4. feladatra.

Elég bizonyítani, hogy

\frac{(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)}8<=\Big(\frac{x^3+y^3+z^3}3\Big)^2

Vonjunk mindkét oldalból 6-ik gyököt. Ekkor

\sqrt{\frac{\root{3}\of{(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)}}{2}}<=\sqrt{\frac{x^2+yz+y^2+xz+z^2+xy}{2\cdot3}}<=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}3}

Felhasználva hogy a 2-dik hatványközép kisebb egyenlő a 3-dik hatványközépnél, a bizonyítandó állítást kapjuk

Előzmény: [2] Pach Péter Pál, 2003-12-01 22:09:03
[4] Pach Péter Pál2003-12-02 23:05:43

Kedves nadorp!

A megoldás remek. :-) Bizonyítható ehhez hasonlóan, hogy \sum_{i=1}^n{\frac{x_i}{1-x_i^2}}\ge\frac{n\sqrt n}{n-1}, ha n pozitív egész, és minden xi pozitív?

Előzmény: [3] nadorp, 2003-12-02 17:11:35
[3] nadorp2003-12-02 17:11:35

Megoldás a 3. feladatra.

Az ember a szimmetria miatt akaratlanul arra gondol, egyenlőség csak a=b=c=\frac1{\sqrt3} esetén van. Ekkor a balodalon álló összes tört értéke \frac{\sqrt3}2. Másrészt \frac{3{\sqrt3}}2\cdot(\frac1{\sqrt3})^2=\frac{\sqrt3}2 is teljesül, ezért az

\frac{x}{1-x^2}-\frac{3{\sqrt3}}2\cdot{x^2}=0

egyenletnek az \frac1{\sqrt3} szám gyöke,ezért belőle a \sqrt3x-1 kifejezés kiemelhető. Valóban, nem részletezve a számolást, a fenti egyenlet bal oldalára a következőt kapjuk:

\frac{x({\sqrt3}x-1)^2({\sqrt3}x+2)}{1-x^2}, ami a (0;1) nyílt intervallumon nemnegatív.

Most már az eredeti feladat könnyen megoldható. A fenti egyenelet bal oldalán szereplő kifejezésbe helyettesítsük rendre az a,b és c számokat és adjuk össze ezt a három kifejezést. Felhasználva a négyzetösszegekre vonatkozó feltételt, pont a kívánt egyenlőtlenséget kapjuk.

Előzmény: [2] Pach Péter Pál, 2003-12-01 22:09:03
[2] Pach Péter Pál2003-12-01 22:09:03

A továbbiakban „Bizonyítsuk be, hogy” röviden „Bbh” lesz. Kezdetnek négy feladat: (Kedvcsinálónak könnyebb példa is van köztük. :-))

1. feladat: Bbh bármely véges csoporthoz létezik olyan véges egyszerű gráf, amelynek az automorfizmuscsoportja izomorf vele.

2. feladat: Bbh egy gráfban akkor és csak akkor létezik teljes párosítás, ha akárhogyan is hagyunk el néhány pontot (és a belőlük kiinduló éleket), a maradékban a páratlan komponensek száma nem nagyobb az elhagyott pontok számánál. Megjegyzés: bocs mindenkitől, aki ismeri.

3. feladat: 0<a,b,c<1 és a2+b2+c2=1. Bbh


%>
\frac a{1-a^2}+\frac b{1-b^2}+\frac c{1-c^2}\ge\frac{3\sqrt3}{2}

4. feladat: x,y,z nemnegatívak, bbh

9(x2+yz)(y2+zx)(z2+xy)\le8(x3+y3+z3)2

[1] Pach Péter Pál2003-12-01 22:04:53

Azért nyitottam ezt a témát, hogy a nehezebb példákat is kitűzhessük valahol. Tehát itt olyan feladatokat adnánk fel és oldanánk meg, amiket nem írunk be az Érdekes matekfeladatok-hoz, mert nehéznek érezzük őket. Természetesen kevésbé nehéz példákat is kitűzhetünk, senki se tartson vissza példát csupán azért, mert aggódik, hogy az nem elég kemény.

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley