Rejtvények, ördöglakatok – O'Beirne olvasztótégelye

Szilassi Lajos

Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.

Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.

Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak. Ezt a különálló elemet is el kell – és lehet! – helyezni a keretben, a többivel együtt. Ami eredetileg lehetetlennek tűnik, csodálatos módon – ügyes átrendezéssel – mégis megvalósítható! Ilyen például ez a háromszöges feladvány is (1. ábra): helyezzük be a nagy háromszög keretébe még a kicsi szabályos háromszöget is!

1. ábra

Hasonló, de talán még érdekesebb térbeli feladat Tom O'Beirne „olvasztótégelye”, ahol egy nyolc téglatesttel – „fahasábbal” – látszólag teljesen megtöltött dobozba kell elhelyezni egy kilencediket is, mintegy „felolvasztva” és a többi közé csorgatva azt. (Valójában persze nem olvasztunk fel semmit – a fát a legkevésbé –, a hasábok ügyes átrendezését igényli a feladat.)

2. ábra

A probléma szerzője Thomas O'Beirne brit matematikus a Puzzles and Paradoxes (Oxford University Press, 1965, a könyv borítója a 2. ábrán látható) című könyvében közölte ezt a „paradoxont”, amely azért inkább a könyv címében is jelzett fejtörők közé tartozik, semmint a paradoxonok közé. A feladvány a következő. Helyezzünk el egy \(\displaystyle 58\times 88\times 133\) méretű dobozban nyolc téglatestet a 3. ábrán látható elrendezést követve. (A jobb áttekinthetőség kedvéért két tömbre választottuk szét a téglákat, a dobozba természetesen ezeket szorosan egymás mellé téve fér el a nyolc hasáb.)

3. ábra

A feladat az, hogy a meglévő darabokat átrendezve egészítsük ki a doboz tartalmát egy kilencedik, \(\displaystyle 19\times 29\times 44\) méretű téglatesttel.

Aki szeretné kipróbálni a játékot, az még ne olvasson tovább, mert az 5. ábra már a feladat megoldását mutatja. A játék egyszerű elemekből áll, ezért akár fából, akár 3D nyomtatóval könnyen elkészíthetjük a téglatesteket. (Az egységet célszerű 1 mm-nek választani, így egy jól látható, kellemes méretű játékhoz jutunk.)

Mivel az eredeti elrendezésben a doboz mindhárom irányban egy egységgel nagyobb, mint a benne így elrendezett nyolc téglatest, számolással meggyőződhetünk róla, hogy „elvi” akadálya nincs az átrendezésnek (azaz a kilenc tégla térfogata nem nagyobb a dobozénál).

4. ábra. A képen a játék egy fából készült változata látható (Forrás: internet)

A doboz térfogata \(\displaystyle 58\cdot 88\cdot 133=678\;832\) térfogategység, a bele helyezett hasáboké pedig \(\displaystyle 57\cdot 87\cdot 132=654\;588\), így a kettő különbsége – \(\displaystyle 24\;244\) – éppen egyenlő a kilencedik test térfogatával. Ha tényleg önthetnénk a kilencedik testet – illetve vele egyenlő térfogatú folyadékot –, már készen is lennénk. De így még csak annyi nyilvánvaló, hogy úgy kell a téglatesteket elhelyezni a dobozban, hogy faltól falig érjenek, ne legyen rés sem köztük, sem egy ilyen test és a doboz fala között.

Az 5. ábrán látható a feladat megoldása.

5. ábra

Az átrendezés megtalálása természetesen a tervező zsenialitása. Érdekes végiggondolni, hogy miért éppen ezek a méretek szerepeltek a feladatban, miért éppen ekkorának érdemes választani a téglatesteket. Ehhez tekintsük a 6. ábra rajzait!

6. ábra

A bal oldali rajz méreteiből látszik, az első nyolc téglatest úgy keletkezett, hogy az eredeti téglatestet az élek harmadoló pontjain átmenő síkokkal nyolc részre osztottuk. Az átrendezés után kapott új téglatest élei rendre \(\displaystyle 2y\), \(\displaystyle 7z\), illetve \(\displaystyle 2x\). Ha az eredetihez hasonlóan csalafinta feladatot akarunk készíteni, akkor válasszunk olyan értékeket, hogy a kilencedik hasábot is tartalmazó nagy tégla minden éle 1-gyel legyen nagyobb, mint az eredetié. Ennek az egyenletrendszernek pedig éppen a fenti számok a megoldásai: \(\displaystyle x=29\), \(\displaystyle y=44\) és \(\displaystyle z=19\).

Elviekben felírhatjuk másként is az egyenletrendszert attól függően, hogy a két tégla melyik éleit állítjuk párba. Világos, hogy \(\displaystyle 3x+1=2x\) nem teljesülhet. Ha \(\displaystyle {3x+1}=7z\), akkor \(\displaystyle 3y+1=2x\) és \(\displaystyle 3z+1=2y\), azaz \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) szerepet cserél, de nem kapunk lényegesen új esetet. Vagyis kiderült, hogy „az eredetihez hasonlóan csalafinta” feladat csak az eredeti feladat lehet.

Jó szórakozást!