Szerk
P. 5670. Két, egymást merőlegesen keresztező úton egy-egy motoros halad. Az egyik sebessége \(\displaystyle v_1\), a másiké \(\displaystyle v_2\), és az egymástól való legkisebb távolságuk \(\displaystyle d_0\). Milyen távolságra vannak ekkor a kereszteződéstől?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
(5 pont)
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
I. megoldás. A két motoros távolsága akkor lesz minimális, amikor az 1-es motoroshoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a 2-es motoros sebességvektorának nincsen a két motorost összekötő egyenes irányába mutató komponense. Az 1. ábrán a motorosok a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben láthatók.
\(\displaystyle d_0^2=d_1^2+d_2^2. \)
A 2. ábrán az 1-es motoroshoz rögzített koordináta-rendszerben ábrázoltuk a mozgást. Az 1-es motorostól a 2-eshez mutató helyvektor:
\(\displaystyle \boldsymbol{d}_0=(d_1,\,d_2), \)
a 2-es motoros relatív sebessége:
\(\displaystyle \boldsymbol{v}_2'=(-v_1,\,v_2). \)
Minimális távolság esetén a két vektor merőleges:
Ezt behelyettesítve \(\displaystyle d_0\) kifejezésébe és rendezve:
Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory I. Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 12. évf.)
II. megoldás. Amikor a két motoros között minimális a távolság (\(\displaystyle t_0\) időpont), akkor az egyik motoros közeledik a kereszteződéshez, a másik pedig távolodik a kereszteződéstől. (Ha mindketten közelednének vagy távolodnának, akkor nem lehetne minimális a távolság. ) Legyen ekkor az egyik motoros távolsága a kereszteződéstől \(\displaystyle d_1\), és tegyük fel, hogy ő távolodik \(\displaystyle v_1\) sebességgel, a másik motoros távolsága pedig \(\displaystyle d_2\), és tegyük fel, hogy ő közeledik a kereszteződéshez \(\displaystyle v_2\) sebességgel. Ekkor a Pitagorasz-tételből:
Ugyanígy a \(\displaystyle t_0-\Delta t\) időpontban:
és a \(\displaystyle t_0+\Delta t\) időpillanatban:
A \(\displaystyle t_0\) pillanatban akkor minimális a távolság, ha
azaz
bármely kicsiny \(\displaystyle \Delta t\geq 0\) érték esetén.
Ha \(\displaystyle \Delta t\) értékét egyre kisebbre választjuk, akkor a \(\displaystyle (\Delta t)^2\)-es tagok elhanyagolhatókká válnak az elsőfokú tagok mellett, és a (2) feltétel csak akkor teljesül, ha
\(\displaystyle 2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t=0. \)
Ebből:
amit (1)-be behelyettesítve:
\(\displaystyle d_1^2+d_1^2\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=d_0^2. \)
Ezt megoldva, majd (3)-at használva a keresett távolságok:
Az eredmény nem függ attól, hogy a két motoros közül melyik közeledik, illetve melyik távolodik.
Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)
46 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 24, hiányos (1–3 pont) 9, hibás 5 dolgozat.
A most kezdődő évadban lesz néhány újdonság, illetve változás, amikről itt is tájékoztatni szeretnénk a ,,kömalozókat''.
A KöMaL egy példányának ára 2026. szeptembertől 1850 Ft, előfizetése 1 évre 15000 Ft – BJMT tagoknak 14500 Ft.
Megrendelem
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
