Szerk
P. 5670. Két, egymást merőlegesen keresztező úton egy-egy motoros halad. Az egyik sebessége \(\displaystyle v_1\), a másiké \(\displaystyle v_2\), és az egymástól való legkisebb távolságuk \(\displaystyle d_0\). Milyen távolságra vannak ekkor a kereszteződéstől?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
(5 pont)
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
I. megoldás. A két motoros távolsága akkor lesz minimális, amikor az 1-es motoroshoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a 2-es motoros sebességvektorának nincsen a két motorost összekötő egyenes irányába mutató komponense. Az 1. ábrán a motorosok a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben láthatók.
\(\displaystyle d_0^2=d_1^2+d_2^2. \)
A 2. ábrán az 1-es motoroshoz rögzített koordináta-rendszerben ábrázoltuk a mozgást. Az 1-es motorostól a 2-eshez mutató helyvektor:
\(\displaystyle \boldsymbol{d}_0=(d_1,\,d_2), \)
a 2-es motoros relatív sebessége:
\(\displaystyle \boldsymbol{v}_2'=(-v_1,\,v_2). \)
Minimális távolság esetén a két vektor merőleges:
Ezt behelyettesítve \(\displaystyle d_0\) kifejezésébe és rendezve:
Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory I. Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 12. évf.)
II. megoldás. Amikor a két motoros között minimális a távolság (\(\displaystyle t_0\) időpont), akkor az egyik motoros közeledik a kereszteződéshez, a másik pedig távolodik a kereszteződéstől. (Ha mindketten közelednének vagy távolodnának, akkor nem lehetne minimális a távolság. ) Legyen ekkor az egyik motoros távolsága a kereszteződéstől \(\displaystyle d_1\), és tegyük fel, hogy ő távolodik \(\displaystyle v_1\) sebességgel, a másik motoros távolsága pedig \(\displaystyle d_2\), és tegyük fel, hogy ő közeledik a kereszteződéshez \(\displaystyle v_2\) sebességgel. Ekkor a Pitagorasz-tételből:
Ugyanígy a \(\displaystyle t_0-\Delta t\) időpontban:
és a \(\displaystyle t_0+\Delta t\) időpillanatban:
A \(\displaystyle t_0\) pillanatban akkor minimális a távolság, ha
azaz
bármely kicsiny \(\displaystyle \Delta t\geq 0\) érték esetén.
Ha \(\displaystyle \Delta t\) értékét egyre kisebbre választjuk, akkor a \(\displaystyle (\Delta t)^2\)-es tagok elhanyagolhatókká válnak az elsőfokú tagok mellett, és a (2) feltétel csak akkor teljesül, ha
\(\displaystyle 2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t=0. \)
Ebből:
amit (1)-be behelyettesítve:
\(\displaystyle d_1^2+d_1^2\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=d_0^2. \)
Ezt megoldva, majd (3)-at használva a keresett távolságok:
Az eredmény nem függ attól, hogy a két motoros közül melyik közeledik, illetve melyik távolodik.
Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)
46 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 24, hiányos (1–3 pont) 9, hibás 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
