A P. 5670. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5670. Két, egymást merőlegesen keresztező úton egy-egy motoros halad. Az egyik sebessége $\displaystyle v_1$, a másiké $\displaystyle v_2$, és az egymástól való legkisebb távolságuk $\displaystyle d_0$. Milyen távolságra vannak ekkor a kereszteződéstől?

Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.

(5 pont)

Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest

I. megoldás. A két motoros távolsága akkor lesz minimális, amikor az 1-es motoroshoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a 2-es motoros sebességvektorának nincsen a két motorost összekötő egyenes irányába mutató komponense. Az 1. ábrán a motorosok a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben láthatók.

$\displaystyle d_0^2=d_1^2+d_2^2. $


1. ábra	2. ábra

A 2. ábrán az 1-es motoroshoz rögzített koordináta-rendszerben ábrázoltuk a mozgást. Az 1-es motorostól a 2-eshez mutató helyvektor:

$\displaystyle \boldsymbol{d}_0=(d_1,\,d_2), $

a 2-es motoros relatív sebessége:

$\displaystyle \boldsymbol{v}_2'=(-v_1,\,v_2). $

Minimális távolság esetén a két vektor merőleges:

$$\begin{gather*} \boldsymbol{d}_0\boldsymbol{v}_2'=0,\\ -d_1v_1+d_2v_2=0,\\ d_2=\frac{v_1}{v_2}d_1. \end{gather*}$$

Ezt behelyettesítve $\displaystyle d_0$ kifejezésébe és rendezve:

$$\begin{gather*} d_1=d_0\frac{v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}},\\ d_2=d_0\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}. \end{gather*}$$

Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory I. Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 12. évf.)

II. megoldás. Amikor a két motoros között minimális a távolság ($\displaystyle t_0$ időpont), akkor az egyik motoros közeledik a kereszteződéshez, a másik pedig távolodik a kereszteződéstől. (Ha mindketten közelednének vagy távolodnának, akkor nem lehetne minimális a távolság. ) Legyen ekkor az egyik motoros távolsága a kereszteződéstől $\displaystyle d_1$, és tegyük fel, hogy ő távolodik $\displaystyle v_1$ sebességgel, a másik motoros távolsága pedig $\displaystyle d_2$, és tegyük fel, hogy ő közeledik a kereszteződéshez $\displaystyle v_2$ sebességgel. Ekkor a Pitagorasz-tételből:

$\displaystyle (1) $

$\displaystyle d_0^2=d_1^2+d_2^2.$

Ugyanígy a $\displaystyle t_0-\Delta t$ időpontban:

$$\begin{align*} d_-^2&=(d_1-v_1\Delta t)^2+(d_2+v_2\Delta t)^2=\\ &=d_1^2+d_2^2-2d_1v_1\Delta t+2d_2v_2\Delta t+v_1^2(\Delta t)^2+v_2^2(\Delta t)^2=\\ &=d_0^2-2d_1v_1\Delta t+2d_2v_2\Delta t+v_1^2(\Delta t)^2+v_2^2(\Delta t)^2, \end{align*}$$

és a $\displaystyle t_0+\Delta t$ időpillanatban:

$$\begin{align*} d_+^2&=(d_1+v_1\Delta t)^2+(d_2-v_2\Delta t)^2=\\ &=d_1^2+d_2^2+2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t+v_1^2(\Delta t)^2+v_2^2(\Delta t)^2=\\ &=d_0^2+2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t+v_1^2(\Delta t)^2+v_2^2(\Delta t)^2. \end{align*}$$

A $\displaystyle t_0$ pillanatban akkor minimális a távolság, ha

$\displaystyle (2) $

$\displaystyle d_-\geq d_0\quad\textrm{és}\quad d_+\geq d_0,$

azaz

$$\begin{align*} -2d_1v_1\Delta t+2d_2v_2\Delta t+v_1^2(\Delta t)^2+v_2^2(\Delta t)^2&\geq 0\\ 2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t+v_1^2(\Delta t)^2+v_2^2(\Delta t)^2&\geq 0\tag*{\text{és}} \end{align*}$$

bármely kicsiny $\displaystyle \Delta t\geq 0$ érték esetén.

Ha $\displaystyle \Delta t$ értékét egyre kisebbre választjuk, akkor a $\displaystyle (\Delta t)^2$-es tagok elhanyagolhatókká válnak az elsőfokú tagok mellett, és a (2) feltétel csak akkor teljesül, ha

$\displaystyle 2d_1v_1\Delta t-2d_2v_2\Delta t=0. $

Ebből:

$\displaystyle (3) $

$\displaystyle d_2=\frac{v_1}{v_2}d_1,$

amit (1)-be behelyettesítve:

$\displaystyle d_1^2+d_1^2\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2=d_0^2. $

Ezt megoldva, majd (3)-at használva a keresett távolságok:

$$\begin{gather*} d_1=d_0\frac{v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}},\\ d_2=d_0\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}. \end{gather*}$$

Az eredmény nem függ attól, hogy a két motoros közül melyik közeledik, illetve melyik távolodik.

Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)

46 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 24, hiányos (1–3 pont) 9, hibás 5 dolgozat.

A Lap — Legfrissebb szám

A KöMaL 2025. októberi száma

A Lap — Legfrissebb szám

A KöMaL 2025. novemberi száma

A Lap — Legfrissebb szám

A KöMaL 2025. szeptemberi száma

A Lap — Legfrissebb szám

A KöMaL 2025. decemberi száma

A Lap — Legfrissebb szám

A KöMaL 2026. januári száma

A Lap — Legfrissebb szám

A KöMaL 2026. februári száma

A Lap — Megrendelés

A KöMaL megrendelése

A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.

Fizika — Mintamegoldás

Az M. 444. mérési feladat megoldása

M. 444. Határozzuk meg egy AA-s ceruzaelem szimmetriatengelyére és egy arra merőleges, a tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékait!

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

Megoldás. Az elem tömege (konyhai mérleggel mérve): $\displaystyle m=24~\mathrm{g}$, hossza $\displaystyle L=48~\mathrm{mm}$, átmérője (digitális tolómérővel mérve): $\displaystyle d=14{,}2~\mathrm{mm}$, amiből a sugara: $\displaystyle {r=d/2=7{,}1~\mathrm{mm}}$. A mérés során a szimmetriatengelyre vonatkozó $\displaystyle \Theta_\parallel$, illetve az arra merőleges tengelyre vonatkozó $\displaystyle \Theta_\perp$ tehetetlenségi nyomatékot egy-egy egymástól eltérő módszerrel mérjük meg.

Fizika — Mintamegoldás

A P. 5676. fizika feladat megoldása

P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje $\displaystyle 20~\mathrm{V}$, az ellenállások $\displaystyle R_1=50~\Omega$, illetve $\displaystyle R_2=150~\Omega$ nagyságúak, a kondenzátor $\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}$ kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.

a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?

b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az $\displaystyle R_1$ ellenálláson?

A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.

Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely

Fizika — Mintamegoldás

A P. 5660. fizika feladat megoldása

P. 5660. Egy pontszerűnek tekinthető, $\displaystyle m$ tömegű, átfúrt golyó az ábra szerint egy $\displaystyle R$ sugarú, vízszintes átmérőjű, függőleges síkú, félkör alakú, rögzített, merev drótra van fűzve, amelyen súrlódásmentesen csúszhat. A golyóhoz egy vékony fonál van kötve, amely a drót $\displaystyle C$ végén lévő, kicsiny csigán van átvetve. A fonál másik végéhez egy ugyancsak $\displaystyle m$ tömegű nehezék van erősítve. A bal oldali golyót a fonál vízszintes helyzetéből lökésmentesen elengedjük, amikor a fonál $\displaystyle \alpha=0^\circ$-os szöget zár be a vízszintes átmérővel.

a) Mekkora sebességgel mozognak a testek, amikor a bal oldali test a drótpálya legalsó pontján halad át?

b) Mekkora a testek gyorsulása ebben a pillanatban?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

Fizika — Mintamegoldás

A G. 900. fizika gyakorlat megoldása

G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?

de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán

Pontverseny — Versenykiírás

Versenykiírás a KöMaL 2025–2026. évi pontversenyeire

Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.

Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?