Szerk
G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?
(4 pont)
de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán
Megoldás. Számozzuk be fentről lefelé az ellenállásokat, és rajzoljuk át az áramkört mindkét esetben jobban áttekinthető formába (ábra).
Az a) esetben a két ágban a sorosan kapcsolt ellenállások eredője:
\(\displaystyle R_{12}=R_1+R_2\quad\textrm{és}\quad R_{34}=R_3+R_4. \)
Ezek párhuzamosan vannak kapcsolva, így az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{12}\times R_{34}=\frac{R_{12}R_{34}}{R_{12}+R_{34}}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)
(Itt \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok szorzatának reciproka.)
A b) esetben az alsó ágban sorba kapcsolt ellenállások eredője:
\(\displaystyle R_{234}=R_2+R_3+R_4, \)
az eredő ellenállás pedig:
\(\displaystyle R_{\mathrm{b}}=R_1\times R_{234}=\frac{R_1R_{234}}{R_1+R_{234}}=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)
A két kapcsolás eredő ellenállása egyenlő, ha \(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{\mathrm{b}}\), amely a megegyező nevezők miatt akkor teljesül, ha a számlálók is egyenlők:
A feladat szerint mindegyik ellenállás nullától különböző, így \(\displaystyle R_2\neq 0\). A két elrendezés eredő ellenállása tehát akkor és csak akkor egyenlő, ha
\(\displaystyle R_3+R_4=R_1, \)
azaz (az eredeti ábrán) a felső ellenállás nagysága megegyezik a két alsó ellenállás nagyságának összegével.
Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)
50 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 18, hibás 5 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
