Szerk
G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?
(4 pont)
de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán
Megoldás. Számozzuk be fentről lefelé az ellenállásokat, és rajzoljuk át az áramkört mindkét esetben jobban áttekinthető formába (ábra).
Az a) esetben a két ágban a sorosan kapcsolt ellenállások eredője:
\(\displaystyle R_{12}=R_1+R_2\quad\textrm{és}\quad R_{34}=R_3+R_4. \)
Ezek párhuzamosan vannak kapcsolva, így az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{12}\times R_{34}=\frac{R_{12}R_{34}}{R_{12}+R_{34}}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)
(Itt \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' műveletet jelöli, ami a reciprokok szorzatának reciproka.)
A b) esetben az alsó ágban sorba kapcsolt ellenállások eredője:
\(\displaystyle R_{234}=R_2+R_3+R_4, \)
az eredő ellenállás pedig:
\(\displaystyle R_{\mathrm{b}}=R_1\times R_{234}=\frac{R_1R_{234}}{R_1+R_{234}}=\frac{R_1(R_2+R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}. \)
A két kapcsolás eredő ellenállása egyenlő, ha \(\displaystyle R_{\mathrm{a}}=R_{\mathrm{b}}\), amely a megegyező nevezők miatt akkor teljesül, ha a számlálók is egyenlők:
A feladat szerint mindegyik ellenállás nullától különböző, így \(\displaystyle R_2\neq 0\). A két elrendezés eredő ellenállása tehát akkor és csak akkor egyenlő, ha
\(\displaystyle R_3+R_4=R_1, \)
azaz (az eredeti ábrán) a felső ellenállás nagysága megegyezik a két alsó ellenállás nagyságának összegével.
Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)
50 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 18, hibás 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
