Szerk
C. 1844 Ági pirossal, Laci kékkel színezgeti egy \(\displaystyle n \times n\)-es (\(\displaystyle n>1\)) fehér táblázat mezőit, amely \(\displaystyle i\)-edik sorának \(\displaystyle j\)-edik mezőjét \(\displaystyle (i;j)\)-vel jelöljük. Első lépésben Ági pirosra festi a főátló (bal felsőtől a jobb alsóig) mezőit. Ezután felváltva jönnek: ha Laci \(\displaystyle (i;j)\)-t színezi, akkor Ági \(\displaystyle (j;i)\)-t. Minden mezőt pontosan egyszer színeznek be. A \(\displaystyle k\)-adik sort különlegesnek hívjuk, ha bármely kék \(\displaystyle (k;j)\) esetén létezik \(\displaystyle l\), hogy \(\displaystyle (k;l)\) és \(\displaystyle (l;j)\) is piros. Bizonyítsuk be, hogy a színezgetés végeztével Ági talál különleges sort.
Javasolta: Paulovics Zoltán (Budapest)
1. megoldás. Tegyük fel, hogy nem talál. Válasszunk ki egy olyan sort, amelyben maximális számú piros van. Ez a sor legyen a \(\displaystyle k\)-adik, és legyen benne \(\displaystyle m\) darab piros négyzet.
Mindenképpen lesz legalább egy olyan kék \(\displaystyle (k;j)\) mező, amihez nem talál megfelelő \(\displaystyle l\)-et, különben a sor különleges lenne.
A \(\displaystyle k\)-adik sorból válasszunk egy ilyen kék \(\displaystyle (k;j)\)-t. Ekkor nézzük meg az összes \(\displaystyle l\)-re, hogy \(\displaystyle (k;l)\) piros-e. Összesen \(\displaystyle m\) darab olyan \(\displaystyle l\) van, amelyre piros. Ekkor, mivel nincs megfelelő \(\displaystyle l\), ezért mind az \(\displaystyle m\) darab \(\displaystyle (l;j)\) kék lesz.
Viszont mivel minden \(\displaystyle (l;j)\) kék, ezért minden \(\displaystyle (j;l)\) piros (\(\displaystyle m\) darab) a színezési szabály szerint. Valamint \(\displaystyle (j;k)\) is biztosan piros, mivel \(\displaystyle (k;j)\) kék. Tehát a \(\displaystyle j\)-edik sorban legalább \(\displaystyle m+1\) darab piros négyzet van, ami ellentmond annak, hogy a \(\displaystyle k\)-adikban maximális számú \(\displaystyle m\) van.
Bodó Rókus Dániel (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 8. o. t.) dolgozata alapján
2. megoldás. Képzeljük el ezt a táblázatot úgy, mintha egy focibajnokság táblázatát látnánk. Ekkor ha az \(\displaystyle (i, j)\)-edik piros, akkor az \(\displaystyle i\)-edik csapat megverte a \(\displaystyle j\)-edik csapatot, ha pedig kék, akkor meg a \(\displaystyle j\)-edik csapat verte meg az \(\displaystyle i\)-edik csapatot. (Tegyük fel, hogy nem születhet döntetlen, továbbá a piros \(\displaystyle (i;i)\) mezők jelentésével ne foglalkozzunk.) Ekkor igazából az a kérdés, hogy ha \(\displaystyle n\) csapat van, akkor biztosan van-e olyan csapat, amelyik minden csapatot vagy megvert, vagy legyőzött egy olyan csapatot, amelyik legyőzte azt a csapatot, amelyik legyőzte őt. Hiszen, ha egy különleges sor valamely (például a \(\displaystyle j\)-edik) eleme kék (tehát valakitől kikapott), de létezik egy olyan eleme (például az \(\displaystyle l\)-edik), amely piros – azaz az \(\displaystyle l\)-edik csapatot legyőzte –, és ráadásul \(\displaystyle (l;j)\) is piros – azaz az \(\displaystyle l\)-edik csapat legyőzte a \(\displaystyle j\)-edik csapatot –, akkor a különleges sorunkra valóban teljesül, hogy az őt legyőző csapat egyik legyőzőjét legyőzte.
Jelöljön \(\displaystyle X\) egy olyan csapatot, amelyik a legtöbbször győzött, bebizonyítjuk, hogy \(\displaystyle X\) teljesíti ezeket a feltételeket, vagyis \(\displaystyle X\) sora különleges.
Most vizsgáljuk azokat a csapatokat, amelyek legyőzték \(\displaystyle X\)-et. Ha \(\displaystyle X\) nem teljesíti a feltételeket, akkor valamelyik csapat, amelyik megverte \(\displaystyle X\)-et biztos, hogy megvert minden olyan csapatot is, amit \(\displaystyle X\) megvert, így ekkor ez a csapat többet nyert volna, mint \(\displaystyle X\), tehát ez ellentmondás. Tehát mindig lesz ilyen csapat. Így egy olyan sort kell kiválasztania Áginak, ahol maximális számú piros mező van. Így beláttuk, hogy a színezgetés végeztével Ági talál különleges sort.
Molnár-Sáska Tamás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 7. o. t.) dolgozata alapján
3. megoldás. Teljes indukcióval bizonyítjuk az állítást. Az állítás \(\displaystyle n=2\), 3-ra igaz, ez könnyen ellenőrizhető.
Tegyük fel, hogy igaz az állítás (azaz létezik különleges sor) \(\displaystyle n\)-re. Ekkor bebizonyítjuk, hogy igaz \(\displaystyle (n+1)\)-re is.
Tekintsünk tehát egy tetszőleges \(\displaystyle (n+1) \times (n+1)\)-es, a feladat szerint kiszínezett táblázatot, és vizsgáljuk annak első \(\displaystyle n\) sorából és oszlopából képzett \(\displaystyle n \times n\)-es résztáblázatát.
Az indukciós feltétel miatt ennek a résztáblázatnak van különleges sora, legyen ez a \(\displaystyle p\)-edik sor. Ha a \(\displaystyle p\)-edik sor a teljes táblázatban is különleges, akkor készen vagyunk. Ha nem az, akkor van olyan kék \(\displaystyle (p;j)\) mezője a sornak, amelyre bármely \(\displaystyle l\) esetén a \(\displaystyle (p;l)\) vagy az \(\displaystyle (l;j)\) kék. Melyik szám lehet a \(\displaystyle j\)?
Mivel a résztáblázatban ez a sor különleges volt, ezért minden \(\displaystyle 1 \leq j \leq n\) számra, ha \(\displaystyle (p;j)\) kék, úgy a teljes, \(\displaystyle (n+1) \times (n+1)\)-es táblázatunkban is megfelelő lesz ugyanaz az \(\displaystyle l\), amelyre teljesült, hogy \(\displaystyle (p;l)\) és \(\displaystyle (l;j)\) piros. Tehát \(\displaystyle j=n+1\).
Ha tehát \(\displaystyle j=n+1\) „rontotta el” a \(\displaystyle p\)-edik sort, akkor az \(\displaystyle (n+1)\)-edik sor olyan, hogy \(\displaystyle (p;n+1)\) kék (így \(\displaystyle (n+1;p)\) piros), továbbá bármely \(\displaystyle l\)-re, ha \(\displaystyle (p,l)\) piros, úgy \(\displaystyle (l;n+1)\) kék. Ám ha \(\displaystyle (l;n+1)\) kék, akkor \(\displaystyle (n+1;l)\) piros. Tehát arra jutottunk, hogy az \(\displaystyle (n+1)\)-edik sorban minden olyan mező piros, amely a \(\displaystyle p\)-edik sorban is piros. Ekkor könnyű ellenőrizni a különlegesség feltételét az \(\displaystyle (n+1)\)-edik sorra – mivel \(\displaystyle (n+1;n+1)\) piros, ezért elég a sor \(\displaystyle 1 \leq j \leq n\) mezőire. Ha ugyanis a \(\displaystyle j\)-edik mezője kék, akkor \(\displaystyle (p;j)\) is kék, így – a \(\displaystyle p\)-edik sor résztáblázatban való különlegessége miatt – létezik olyan \(\displaystyle l\), amelyre \(\displaystyle (p;l)\) és \(\displaystyle (l;j)\) is piros, de ekkor \(\displaystyle (n+1;l)\) és \(\displaystyle (l;j)\) is piros. Ezzel beláttuk, hogy amennyiben a \(\displaystyle p\)-edik sor nem különleges a teljes táblázatban, úgy az \(\displaystyle (n+1)\)-edik sor az.
Bencze Mátyás (Székelyudvarhely, Tamási Á. Gimn., 12. o. t.) ötlete alapján
A feladatra összesen 71 versenyző és csapat küldött megoldást. 5 pontos 10, 4 pontos 3, 3 pontos 5, 1 pontos 50 dolgozat.
B. 5489. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=15^\circ\) és \(\displaystyle CAB\sphericalangle=75^\circ\), továbbá az \(\displaystyle AB\) átfogó felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BC\) befogón vegyük fel a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BD=CA\), a \(\displaystyle CA\) félegyenesen az \(\displaystyle A\) ponton túl az \(\displaystyle E\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle CE=BC\) teljesüljön. A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DM\) és \(\displaystyle CM\) egyenesek érintik az \(\displaystyle AEF\) háromszög köré írt kört.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
B. 5472. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögben \(\displaystyle AB=BC=CD\). Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle BCD\sphericalangle=2DAB\sphericalangle\), akkor \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CDA\sphericalangle\).
Javasolta: Kós Géza (Budapest) és Vígh Viktor (Sándorfalva)
