Jócsik Csilla (Győr)
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x. \)
(6 pont)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Megoldás. a) Az egyenlet értelmezési tartománya: \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\). Az első zárójelben szereplő nevezetes azonosság alkalmazása és a szorzás elvégzése után az \(\displaystyle (x+3)-(x-3)-(x^2-9)=9+x\) egyenlethez jutunk. Rendezve ezt az \(\displaystyle x^2+x-6=0\) másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek gyökei \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=2\), de az \(\displaystyle x_1\) nem eleme az értelmezési tartománynak. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az egyenlet megoldása az \(\displaystyle x=2\).
b) A \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\) egyenlet \(\displaystyle \left]0^{\circ};360^{\circ}\right[\) intervallumba eső megoldásai az \(\displaystyle \alpha_{1}=60^{\circ}\) és \(\displaystyle \alpha_{2}=120^{\circ}\). A \(\displaystyle \sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) egyenlet adott intervallumon belüli megoldásai az \(\displaystyle {\alpha_{3}=240^{\circ}}\) és \(\displaystyle \alpha_{4}=300^{\circ}\). A kapott négy megoldás igazzá teszi az egyenletet.
2. Zoli biciklikerekének átmérője \(\displaystyle 70~\mathrm{cm}\), a pedálhoz kapcsolódó első váltója olyan fokozatban van, ahol a fogaskerék kerületén \(\displaystyle 56\) ,,fog'' van, míg a hátsó kerékhez kapcsolódó váltó esetén a fogaskeréken \(\displaystyle 20\) ,,fog'' helyezkedik el. (A biciklin a pedálhoz kapcsolódó első váltó fogaskereke és a pedál teljesen együtt forog. Az első és a hátsó fogaskereket köti össze a biciklilánc, így a két fogaskerék mindig ugyanannyi ,,fogat'' fordul.)
a) Mekkora sebességgel halad Zoli, ha a pedálja \(\displaystyle 10\) teljes kört \(\displaystyle 8\) másodperc alatt tesz meg, illetve a hátsó kerék és a hátsó fogaskerék teljesen együtt forog? (4 pont)
b) Zoli \(\displaystyle 34\) barátjával együtt közös kerékpártúrára indul. A biciklik minden kereke egymástól függetlenül két egész kilométer között \(\displaystyle 0{,}0005\) valószínűséggel kap defektet. Milyen hosszú út esetén mondhatják, hogy legalább \(\displaystyle 0{,}95\) valószínűséggel lesz defekt a túrán? (6 pont)
c) Egy biciklikölcsönzőben kedden \(\displaystyle 48\)-an kértek kerékpárt, \(\displaystyle 4\)-gyel több nő, mint férfi. A legalább \(\displaystyle 40\) éves vendégek számának \(\displaystyle 60\%\)-a volt a \(\displaystyle 40\) évnél fiatalabbak száma; a legalább \(\displaystyle 40\) évesek közül ötször annyian kértek hagyományos kerékpárt, mint elektromosat. Egyetlen férfi kért elektromosat, \(\displaystyle 2\)-vel több legalább \(\displaystyle 40\) éves nő volt, mint férfi. Hány \(\displaystyle 40\) évesnél fiatalabb nő kölcsönzött kedden biciklit? (4 pont)
Megoldás. a) 8 másodperc alatt az első fogaskerék 560 ,,fogat'' fordul. Ugyanennyi ,,fogat'' fordul a hátsó fogaskerék is, ami \(\displaystyle 560:20=28\) teljes fordulatot jelent a hátsó kerék esetében. A kerék kerülete \(\displaystyle 2r\pi=2\cdot 35\cdot \pi =70\pi\) cm, ezért a Zoli által megtett út \(\displaystyle 28\cdot 70\pi\approx6158\) cm, így Zoli sebessége \(\displaystyle 61{,}58:8=7{,}7~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\).
b) Annak a valószínűsége, hogy \(\displaystyle n\) km alatt egy kerék nem lesz defektes: \(\displaystyle 0{,}9995^n\). Mivel a kerekeken függetlenül lesz defekt, ezért annak a valószínűsége, hogy \(\displaystyle 70\) kerék közül nem lesz defekt \(\displaystyle n\) km alatt: \(\displaystyle (0{,}9995^n)^{70} = 0{,}9995^{70n}\). Az előző esemény komplementere, hogy lesz defekt \(\displaystyle n\) km alatt: \(\displaystyle 1-0{,}9995^{70n}\), amelyre az alábbi egyenlőtlenségnek kell teljesülnie:
\(\displaystyle 1- 0{,}9995^{70n}\ge 0{,}95. \)
Ezt átrendezve kapjuk, hogy \(\displaystyle 0{,}05\ge 0{,}9995^{70n}\), amelyet azonos alapra hozva a
\(\displaystyle 0{,}9995^{\log_{0,9995}{0{,}05}}\ge 0{,}9995^{70n} \)
egyenlőtlenség adódik. Mivel az \(\displaystyle f(x)= 0{,}9995^x\) exponenciális függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért
\(\displaystyle \log_{0,9995}{0{,}05}\le{70n}, \)
vagyis
\(\displaystyle n\ge \frac{\log_{0,9995}{0{,}05}}{70}\approx 85{,}6. \)
Tehát legalább \(\displaystyle 86\) km-es túra esetén legalább \(\displaystyle 0{,}95\) annak a valószínűsége, hogy lesz defekt a túrán.
c) A kölcsönzőben \(\displaystyle \dfrac{48-4}{2}=22\) férfi kért kerékpárt, és \(\displaystyle 48-22=26\) nő. Összesen \(\displaystyle \dfrac{48}{1,6}=30\)-an voltak a legalább negyven évesek, és \(\displaystyle 48-30=18\)-an negyven év alattiak. A legalább 40 évesek közül \(\displaystyle 30\cdot \frac56=25\)-en kértek hagyományos, míg 5-en elektromos kerékpárt. Készítsünk táblázatot a feladathoz, jelentse \(\displaystyle x\) a 40 évnél fiatalabb nők számát.
A legalább \(\displaystyle 40\) éves nők és férfiak számára vonatkozó információ alapján
\(\displaystyle 4+(22-x)=1+(x+3)+2, \)
ebből \(\displaystyle x=10\), azaz \(\displaystyle 10\) negyven évesnél fiatalabb nő kölcsönzött kedden biciklit.
3. a) Adja meg az \(\displaystyle (m-1)x^2+(2m-9)x+1=0\) másodfokú egyenlet \(\displaystyle m\in \mathbb{R}\) paraméterének lehetséges értékeit úgy, hogy az egyenlet két különböző pozitív gyökének összege \(\displaystyle 5\)-nél nagyobb legyen. (7 pont)
b) Gondoltam egy számra, lejegyeztem egy lapra, és leírtam mellé a négyzetét. Lehet-e a gondolt szám páros, ha a leírt számok tízes alapú logaritmusainak összege kisebb, mint a számok összegének tízes alapú logaritmusa? (6 pont)
Megoldás. a) Az \(\displaystyle m\) paraméter értéke nem lehet 1, mivel akkor nem lenne másodfokú az egyenlet. Egy másodfokú egyenletnek pontosan akkor van két különböző valós gyöke, ha a diszkriminánsa pozitív: \(\displaystyle (2m-9)^2-4(m-1)>0\), amiből \(\displaystyle 4m^2-40m+85>0\). A másodfokú egyenlőtlenség megoldásával az \(\displaystyle m<3{,}06\) vagy \(\displaystyle m>6{,}94\) feltételeket kapjuk. Most alkalmazzuk az egyenlet \(\displaystyle x_{1}\) és \(\displaystyle x_{2}\) gyökeire a Viète-formulákat. Ekkor
\(\displaystyle x_{1} \cdot x_{2}=\frac{25}{m-1}>0, \)
így \(\displaystyle m>1\).
\(\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{2m-9}{m-1}>5. \)
Mivel a nevezőben szereplő algebrai kifejezés az előző feltétel miatt pozitív, ezért azzal beszorozva a \(\displaystyle -(2m-9)>5(m-1)\) egyenlőtlenséget kapjuk, amelyet átrendezve adódik, hogy \(\displaystyle m<2\). Ezt a fentiekkel összevetve az \(\displaystyle 1<m<2\) paraméterek kielégítik a feladat feltételeit.
b) Jelölje \(\displaystyle x\) a gondolt számot, a logaritmus definíciója miatt \(\displaystyle x>0\). Oldjuk meg a \(\displaystyle \lg x+\lg x^2<\lg (x+x^2)\) egyenlőtlenséget. Az összeg logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazva \(\displaystyle \lg x^{3}<\lg(x+x^2)\). A \(\displaystyle 10\)-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, illetve \(\displaystyle x>0\), ezért \(\displaystyle x\)-szel oszthatunk, így az \(\displaystyle x^2-x-1<0\) egyenlőtlenséghez jutunk. Az egyenlőtlenség megoldása a \(\displaystyle \left]\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right[\) intervallum, amelyben nincs pozitív páros szám, tehát a gondolt szám nem lehet páros.
4. Egy pozitív tagokból álló számtani sorozat első három tagjának összege \(\displaystyle 10{,}5\). Az \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}\), \(\displaystyle f(x)=2^{x}\) függvény helyettesítési értékeinek összege a sorozat első három tagjának helyén \(\displaystyle 73\sqrt{2}\). Határozza meg a sorozat differenciáját. (7 pont)
b) Igazolja, hogy ha egy sorozat első \(\displaystyle n\) tagjának összege \(\displaystyle S_{n}=1{,}5n^2-n\), akkor az egy \(\displaystyle 3\) differenciájú számtani sorozat. (5 pont)
Megoldás. a) A számtani sorozat második tagját \(\displaystyle a_{2}\)-vel, differenciáját \(\displaystyle d\)-vel jelölve \(\displaystyle a_{2}-d+a_{2}+a_{2}+d=10{,}5\), \(\displaystyle a_{2}=3{,}5\). Az exponenciális függvény helyettesítési értékeinek összege
Új változót vezethetünk be \(\displaystyle y=2^{d}\) helyett, és osztunk \(\displaystyle \sqrt{2}\)-vel. Így a \(\displaystyle {8y^2-65y+8=0}\) egyenlethez jutunk. Ennek megoldásai \(\displaystyle y_{1}=8\), amiből a \(\displaystyle 2^x\) függvény szigorú monotonitása miatt \(\displaystyle d_{1}=3\) és \(\displaystyle y_{2}=\dfrac{1}{8}\), így \(\displaystyle d_{2}=-3\). A kapott megoldások valóban kielégítik a feladat feltételeit.
b) A sorozat \(\displaystyle n\)-edik tagját meghatározhatjuk az \(\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\) összefüggés alapján. Így \(\displaystyle a_{n}=(1{,}5n^2-n)-\bigl(1{,}5(n-1)^2-(n-1)\bigr)=3n-2{,}5\). A sorozat differenciája \(\displaystyle d=a_{n}-a_{n-1}=(3n-2{,}5)-\bigl(3(n-1)-2{,}5\bigr)=3\). Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
5. Egy kastély parkjában a tulipánok virágágyása derékszögű trapéz alakú, amelynek párhuzamos oldalai \(\displaystyle 8~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\), derékszögű szára pedig \(\displaystyle 4~\mathrm{m}\) hosszúságú.
a) Igazolja, hogy a hegyesszögű csúcsból induló átló mentén ültetett tulipánok a hegyesszög szögfelezőjére illeszkednek. (6 pont)
Egy olyan húrtrapéz alakú területet füvesítenek be a kertészek, amelynek alapjai \(\displaystyle 6~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle 3~\mathrm{m}\) hosszúságúak, hegyesszögei \(\displaystyle 60^\circ\)-osak. Erre a területre a gyerekek \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) sugarú műanyag hulahoppkarikákat dobálnak. A karikák (képzeletbeli) középpontjai véletlenszerűen esnek valahová a füvesített területre.
b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy hulahoppkarika nem lóg le a füves területről? (5 pont)
A park közepén lévő tóban tavirózsákat láthatunk. A virágzás időszakában naponta \(\displaystyle 30\%\)-kal több kinyílt virágot láthatunk itt.
c) Ha június elsején tizenkét virágot számoltunk meg, akkor mikor lesz legalább kétszáz kinyílt virág ezen a tavon? (5 pont)
Megoldás. a) A \(\displaystyle TBC\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle TB=8-5=3\) m, így
\(\displaystyle \tg \alpha=\frac{4}{3}. \)
Az \(\displaystyle ABD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle \tg \beta=\frac{1}{2}\).
A kétszeres szögekre vonatkozó addíciós tételt alkalmazva
\(\displaystyle \tg 2\beta=\frac{2 \cdot \tg \beta}{1- \tg^2 \beta}=\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1- \frac{1}{4}}=\frac{4}{3}. \)
A hegyesszögű tartományban a tangensfüggvény kölcsönösen egyértelmű, ezért \(\displaystyle 2\beta=\alpha\). Ezzel igazoltuk az állítást.
b) A keresett valószínűség meghatározásához ki kell számítani az \(\displaystyle EFGH\) húrtrapéz területét, és a \(\displaystyle PQRS\) trapéz oldalainak hosszát, illetve területét, ahol ez utóbbi trapéz oldalai \(\displaystyle 0{,}3\) m-re vannak az \(\displaystyle EFGH\) trapéz oldalaitól párhuzamosan ,,befelé''.
Az \(\displaystyle EFGH\) trapéz magassága \(\displaystyle m_{1}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\), területe \(\displaystyle t_{1}=\frac{(6+3)\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{4}\) m\(\displaystyle ^{2}\). A \(\displaystyle PQRS\) trapéz párhuzamos oldalainak hossza \(\displaystyle PQ=6-2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{10}=4{,}96\) m és \(\displaystyle RS=3-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{10}=2{,}65\) m. Magassága pedig \(\displaystyle m_{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-2\cdot 0{,}3\approx 2\) m. Így területe \(\displaystyle {t_{2}=7{,}61}~\mathrm{m}^{2}\). A keresett valószínűséget geometriai modell alapján a két terület hányadosaként kapjuk \(\displaystyle P=\frac{t_{2}}{t_{1}}=0{,}651\).
c) A kinyílt virágok száma mértani sorozatot alkot, amelynek első tagja \(\displaystyle a_{1}=12\), hányadosa pedig \(\displaystyle q=1{,}3\). Megoldandó az \(\displaystyle a_{n}=12\cdot 1{,}3 ^{n-1}\geq 200\) egyenlőtlenség. Ez alapján \(\displaystyle n\geq11{,}7\), így június 12-étől lesz legalább 200 kinyílt virág a tavon.
6. A \(\displaystyle H\) halmazt azok az \(\displaystyle (a;b)\) számpárok alkotják, amelyekre teljesülnek a következő feltételek:
a) Igazolja, hogy a \(\displaystyle \mathrm{H}\) halmaznak \(\displaystyle 21\) eleme van. (3 pont)
Tekintsük azt a \(\displaystyle 21\) pontú gráfot, amelynek csúcsai a \(\displaystyle \mathrm{H}\) halmaz elemei. Ebben a gráfban két pontot akkor kötünk össze, ha a nekik megfelelő számpárok között vannak azonos számok. Pl. összekötjük a \(\displaystyle (4;6)\) pontot és a \(\displaystyle (6;12)\) pontokat, mert mindegyik számpárban szerepel a \(\displaystyle 6\).
b) Csúcsai felsorolásával adjon meg egy \(\displaystyle 5\) pontból álló kört ebben a gráfban. (2 pont)
c) Hány él van ebben a gráfban? (5 pont)
d) A \(\displaystyle 21\) pontú gráfnak megfelelő szabályos \(\displaystyle 21\) szöget szeretnénk egy körlapra megrajzolni úgy, hogy a szabályos sokszög leghosszabb átlója \(\displaystyle 18\) cm legyen. Ehhez minimálisan mekkora sugarú körlapra lesz szükség? (6 pont)
Megoldás. a) A \(\displaystyle 12\) pozitív osztói az \(\displaystyle \left\lbrace 1; 2; 3; 4;6;12\right\rbrace \), az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értéke egyaránt ezek közül választható ki ismétléssel. Ha \(\displaystyle a=1\), akkor \(\displaystyle b\) hatféle értéket vehet fel; ha \(\displaystyle a=2\), akkor \(\displaystyle b\) ötféle lehet. Így tovább, a lehetőségek száma \(\displaystyle 6+5+4+3+2+1=21\).
Megjegyzés. Természetesen az ismétléses kombinációra vonatkozó összefüggést használva is megadható a lehetőségek száma \(\displaystyle \binom{6+2-1}{2}=\binom{7}{2}=21\).
b) Az \(\displaystyle 5\) csúcs például \(\displaystyle (1;2)\); \(\displaystyle (2;3)\); \(\displaystyle (3;4)\); \(\displaystyle (4;6)\) és \(\displaystyle (1;6)\).
c) Annak a 6 darab csúcsnak mindegyike, amelyben azonos számok szerepelnek, 5 másik csúccsal vank összekötve, a különböző számokból álló 15 csúcs 10-zel. A fokszámok összege \(\displaystyle 6 \cdot 5+15 \cdot 10=180\), emiatt az élek száma 90.
d) A szabályos 21-szög egy belső szögének nagysága \(\displaystyle 162{,}86^{\circ}\), két szomszédos átló által bezárt szög \(\displaystyle \alpha=8{,}57^{\circ}\). Ekkora szöget zár be két \(\displaystyle 18~\mathrm{cm}\)-es átló is, ezzel kiszámítható a szabályos sokszög oldalainak hossza: \(\displaystyle a=2\cdot 18\cdot\sin\frac{\alpha}{2}=2{,}69~\mathrm{cm}\). A szabályos sokszög köréírható körének sugarát kell kiszámítanunk:
\(\displaystyle R=\frac{a}{2\cdot \sin\alpha}=9{,}03~\mathrm{cm}. \)
7. a) Szilárd időjárás előrejelzésében hétfőtől péntekig a napi maximumok a következő módon alakulnak: \(\displaystyle 34~{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(\displaystyle 30~{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(\displaystyle 26~{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(\displaystyle 22~{}^{\circ}\mathrm{C}\) és \(\displaystyle 28~{}^{\circ}\mathrm{C}\). Szilárd azt is elmondta, hogy a teljes hétre számítva a napi maximumok átlaga \(\displaystyle 28~{}^{\circ}\mathrm{C}\) és az átlagtól való átlagos abszolút eltérés értéke \(\displaystyle \frac{18}{7}~{}^{\circ}\mathrm{C}\). Határozza meg a hétvégi napi maximumokat, ha vasárnapra várhatóan kicsit lehűl az idő. (6 pont)
b) A \(\displaystyle 2023\). évre vonatkozóan Szilárd összegyűjtötte a napi csapadékmennyiséget és megadta a sodrófadiagram elkészítéséhez szükséges adatokat. \(\displaystyle Q_{0}=0~\mathrm{mm}\); \(\displaystyle {Q_{1}=1~\mathrm{mm}}\); \(\displaystyle Q_{2}=5~\mathrm{mm}\); \(\displaystyle Q_{3}=8~\mathrm{mm}\) és \(\displaystyle Q_{4}=32~\mathrm{mm}\). Mennyi lehet a \(\displaystyle 2023\). évben összesen mért csapadék mennyiségének legkisebb, illetve legnagyobb értéke? (5 pont)
c) Szilárd számítógépén elromlott a \(\displaystyle 7\)-es számjegy, ezért az adatok továbbításához a \(\displaystyle 10\)-es számrendszer helyett a \(\displaystyle 7\)-es számrendszert használja. Mekkora a szélerősség, illetve a legalacsonyabb és legmagasabb hőmérséklet \(\displaystyle 10\)-es számrendszerbeli értéke, ha Szilárd üzenete így szólt:
A mai napon mért legnagyobb szélerősség \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\). A legmagasabb és legalacsonyabb hőmérséklet összege \(\displaystyle 105~{}^\circ\mathrm{C}\), különbsége pedig \(\displaystyle 15~{}^\circ\mathrm{C}\). (5 pont)
Megoldás. a) Jelölje \(\displaystyle x_{1}\) a szombati, \(\displaystyle x_{2}\) a vasárnapi hőmérsékletet úgy, hogy \(\displaystyle x_{1}>x_{2}\). Megoldandó a következő egyenletrendszer:
Ennek a megoldásából a szombati maximum \(\displaystyle x_{1}=29~{}^{\circ}\mathrm{C}\) és a vasárnapi maximum \(\displaystyle x_{2}=27~{}^{\circ}\mathrm{C}\). A kapott értékek megfelelnek a feladat feltételeinek.
b) A 365 nagyság szerint sorba rendezett adat esetén az első érték a minimum, a \(\displaystyle 91\). és \(\displaystyle 92\). adat átlaga az alsó kvartilis, a \(\displaystyle 183\). adat a medián, a \(\displaystyle 274\). és \(\displaystyle 275\). adat átlaga a felső kvartilis, illetve a \(\displaystyle 365\). adat a maximum. Az összesen mért csapadék mennyiségének legkisebb értéke így \(\displaystyle {90\cdot 0}+{92\cdot 1}+{91\cdot5}+{91\cdot8}+32=1307~\mathrm{mm}\). Az összesen mért csapadék mennyiségének legnagyobb értéke így \(\displaystyle {1\cdot 0}+{91\cdot 1}+{91\cdot5}+{92\cdot8}+{90\cdot 32}=4162~\mathrm{mm}\).
c) A legnagyobb szélerősség \(\displaystyle 35~\mathrm{km}/\mathrm{h}\). A legmagasabb hőmérséklet \(\displaystyle 7\)-es szám-rendszerbeli értéke \(\displaystyle 45\), ami a \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben \(\displaystyle 33~{}^{\circ}\mathrm{C}\), a legalacsonyabb \(\displaystyle 7\)-es számrendszerbeli értéke \(\displaystyle 30\), ami a \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben \(\displaystyle 21~{}^{\circ}\mathrm{C}\).
8. a) Egy négyzetes hasáb tetejére olyan \(\displaystyle 6~\mathrm{cm}\) magas szabályos négyoldalú gúlát helyezünk, amelynek alaplapja pontosan illeszkedik a négyzetes hasáb négyzet alakú lapjára. Számítsa ki a test felszínét, ha az alapéleinek hossza \(\displaystyle 12~\mathrm{cm}\), teljes magassága pedig \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\). (4 pont)
b) Az előbbi test éleire pozitív prímszámokat írunk úgy, hogy az egy csúcsba befutó éleken különböző számoknak kell szerepelni. Lehetséges-e olyan eset, hogy az élekre írt számok összege kevesebb, mint \(\displaystyle 70\)? Válaszát indokolja! (4 pont)
c) Van egy \(\displaystyle 22~\mathrm{cm}\) magas négyzetes hasábunk, amelynek az egyik négyzet alakú lapjára \(\displaystyle 6~\mathrm{cm}\) magas szabályos négyoldalú gúlát illesztünk. Az összeillesztett testet a négyzetlapjára állítjuk, \(\displaystyle 500~\mathrm{ml}\) folyadékot töltünk bele, és megjelöljük a vízszintet. Ezt követően a testet a gúla csúcsára állítjuk, és azt tapasztaljuk, hogy a folyadékszint most \(\displaystyle 2~\mathrm{cm}\)-rel magasabban van, mint az első esetben bejelölt szint, de mindkét esetben a hasáb alakú részre esik. Mekkora a hasáb alapéleinek hossza? (8 pont)
Megoldás. a) Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) téglatest felszíne a fedőlapja nélkül
\(\displaystyle A_{1}=12 \cdot 12+4\cdot 12\cdot 24=1\,296~\textrm{cm}^{2}. \)
A tetejére helyezett gúla oldallapjainak magassága \(\displaystyle m_o=6\sqrt{2}\), így az oldallapok területének összege \(\displaystyle A_{2}=4\cdot \frac{12 \cdot 6\sqrt{2}}{2}=203{,}65~\textrm{cm}^{2}\). A test felszíne \(\displaystyle A\approx 1500~\textrm{cm}^{2}\).
b) Igen, lehetséges. Szemléltessük a test élhálózatát gráffal. Induljunk el az ábra közepén lévő csúcsból, és írjuk a lehető legkisebb pozitív prímszámot az élekre a feltételeknek megfelelően. Az éleken megjelenő prímek összege \(\displaystyle 68\).
c) \(\displaystyle 500~\mathrm{ml}=500~\mathrm{cm}^3\).
Az első esetben a folyadék térfogatára felírhatjuk az
egyenletet. A második esetben, a gúla alakú rész teljesen megtelik és még hozzáadódik egy téglatest alakú rész, így
A hasáb alakú rész magassága és a \(\displaystyle 2~\mathrm{cm}\)-es szintkülönbség miatt
Az első egyenletből \(\displaystyle m_1\)-et, a másodikból \(\displaystyle m_2\)-t kifejezzük, és beírjuk a harmadikba. Így az
\(\displaystyle \dfrac{500}{a^2}+\dfrac{500-2a^2}{a^2}=24 \)
egyenlet adódik. Ennek pozitív megoldása
\(\displaystyle a=\sqrt{\dfrac{500}{13}}\approx6{,}2~\mathrm{cm}. \)
Tehát a hasáb alapélének hossza \(\displaystyle 6{,}2~\mathrm{cm}\).
9. Az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgarészének fontos eleme az adott témakörhöz kapcsolódó gyakorlati alkalmazások ismertetése. A diákok a differenciál- és integrálszámításhoz kapcsolódóan gyakran hoznak példákat a fizika területéről.
a) Egy autó pillanatnyi sebességét olyan másodfokú függvény írja le az idő függvényében, amelynek két zérushelye a \(\displaystyle 0\) másodpercnél, illetve a \(\displaystyle 10\) másodpercnél van, maximális értéke pedig a mozgás \(\displaystyle 5\). másodpercében \(\displaystyle 8~\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Igazolja, hogy a sebességnek megfelelő függvény hozzárendelési szabálya \(\displaystyle f(x)=-0{,}32x^{2}+3{,}2x\). (4 pont)
b) Az autó által megtett út nagyságát a sebesség-idő grafikon alatti terület számértéke adja meg. Számítsa ki az autó által a megállásig megtett utat. (4 pont)
c) A testek gyorsulását úgy számíthatjuk ki a sebesség-idő függvény ismeretében, ha meghatározzuk a függvény adott időponthoz tartozó érintőjének a meredekségét. Egy harmonikus rezgő mozgást végző test esetén a sebességet leíró függvény: \(\displaystyle f(x)=0{,}3\cos(3x)\). Számítsa ki az \(\displaystyle x=2\) másodperchez tartozó gyorsulás számértékét. (4 pont)
d) A munka kiszámításához az erő és az erő irányába történő elmozdulás szorzatát kell kiszámítani. Mekkora a munkavégzés számértéke abban az esetben, ha a testre ható állandó \(\displaystyle 45~\mathrm{N}\) nagyságú erő a derékszögű koordinátarendszer \(\displaystyle x\) tengelyének pozitív irányába mutat, miközben a test az origóból felfelé induló \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x\) függvényre illeszkedő emelkedőn \(\displaystyle 160~\mathrm{m}\) utat tesz meg? (4 pont)
Megoldás. a) Legyen a pillanatnyi sebességet leíró másodfokú függvény általános hozzárendelési szabálya \(\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\). A függvény átmegy az origón, így \(\displaystyle f(0)=0\), amiből \(\displaystyle c=0\). A másik zérushely \(\displaystyle x=10\), így \(\displaystyle a\cdot 10^2+b \cdot 10=0\), valamint a maximumra vonatkozó információ alapján használhatjuk az \(\displaystyle {f(5)=a\cdot 5^2+b \cdot 5=8}\) egyenletet vagy a szélsőértékre alkalmazható \(\displaystyle {-\dfrac{b}{2a}=5}\) összefüggést. Ezekből kiszámítható az \(\displaystyle {a=-0{,}32}\) és a \(\displaystyle {b=3{,}2}\) együtthatók értéke, tehát a hozzárendelési szabály valóban a megadott.
b) A grafikon alatti területet az alábbi határozott integrál kiszámításával határozhatjuk meg:
\(\displaystyle \int_{0}^{10}(-0{,}32x^{2}+3{,}2x)\,dx=\left[-0{,}32 \cdot \frac{x^{3}}{3}+3{,}2 \cdot \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{10}=53{,}33 \)
méter a megtett út.
c) Az érintő meredekségének meghatározásához szükségünk van a deriváltfüggvény megadására: \(\displaystyle f'(x)=-0{,}3 \sin(3x) \cdot 3\). A deriváltfüggvény \(\displaystyle x=2\) helyen felvett helyettesítési értéke az érintő meredeksége, így a gyorsulás számértéke
\(\displaystyle f'(2)=-0{,}3 \sin(3 \cdot 2)\cdot 3=0{,}25. \)
d) A megadott \(\displaystyle f(x)\) függvény meredeksége \(\displaystyle m=\frac{1}{2}\), így irányszöge \(\displaystyle m=\tg \alpha\) alapján \(\displaystyle \alpha=26{,}6^{\circ}\). Az erő irányába történő elmozdulás nagysága
\(\displaystyle 160 \cdot \cos \alpha=143{,}11~\mathrm{m}. \)
Ebből kiszámíthatjuk a végzett munka nagyságát \(\displaystyle W=45\cdot 143{,}11=6439{,}9\) (J).
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
