Szerk
M. 444. Határozzuk meg egy AA-s ceruzaelem szimmetriatengelyére és egy arra merőleges, a tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékait!
(6 pont)
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
Megoldás. Az elem tömege (konyhai mérleggel mérve): \(\displaystyle m=24~\mathrm{g}\), hossza \(\displaystyle L=48~\mathrm{mm}\), átmérője (digitális tolómérővel mérve): \(\displaystyle d=14{,}2~\mathrm{mm}\), amiből a sugara: \(\displaystyle {r=d/2=7{,}1~\mathrm{mm}}\). A mérés során a szimmetriatengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\parallel\), illetve az arra merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomatékot egy-egy egymástól eltérő módszerrel mérjük meg.
Az első esetben (\(\displaystyle \Theta_\parallel\)) azt mértük, mennyi idő alatt gördül le megcsúszás nélkül egy lejtőn az elem. A testre ható erők és a számításban használt mennyiségek az 1. ábrán láthatók.
1. ábra
A mozgásegyenletek és a kényszerfeltételek:
Az egyenletrendszerből kifejezzük a tehetetlenségi nyomatékot:
\(\displaystyle \Theta_\parallel=\frac{mgr^2\sin\alpha}{a}-mr^2, \)
ahol az \(\displaystyle a\) gyorsulást az \(\displaystyle x\) hosszúságú lejtőn való legurulás \(\displaystyle t\) idejének mérésével kaphatjuk meg:
\(\displaystyle a=\frac{2x}{t^2}. \)
Ezt behelyettesítve:
Az egyenletrendszerből \(\displaystyle S\) is kifejezhető:
\(\displaystyle S=\frac{mg\sin\alpha}{1+\frac{\Theta_\parallel}{mr^2}}, \)
amit az egyenlőtlenségbe behelyettesítve és rendezve a megcsúszás nélküli gördülés feltétele:
2. ábra
A mérési elrendezés a 2. ábrán látható. A két láb távolsága \(\displaystyle \ell=1017~\mathrm{mm}\). Először az asztal egyik lábát addig emeltem, amíg a lejtéssel párhuzamos tengellyel ráhelyezett elem meg nem csúszott. Ez akkor következett be, amikor \(\displaystyle h_\mathrm{m}=245~\mathrm{mm}\), amiből \(\displaystyle \alpha_\mathrm{m}=\arcsin\tfrac{h_\mathrm{m}}{\ell}\approx 14^\circ\) és \(\displaystyle \mu=\tg\alpha_\mathrm{m}\approx 0{,}25\). A (2) összefüggés alapján az elem akkor gördül le csúszásmentesen, ha
\(\displaystyle \alpha\leq\arctg\left(\left(1+\frac{mr^2}{\Theta_\parallel}\right)\mu\right)\approx\arctg 3\mu\approx 37^\circ, \)
ahol felhasználtuk a \(\displaystyle \tfrac{mr^2}{\Theta_\parallel}\approx 2\) becslést a homogén henger ismert tehetetlenségi nyomatéka alapján.
Az 1. táblázatban a mérési eredmények láthatók az asztal különböző döntése esetén (a legnagyobb szög is jóval kisebb, mint az előbb meghatározott határszög). Minden esetben \(\displaystyle x=1~\mathrm{m}\) és minden dőlésszögnél 5 mérést végeztünk.
1. táblázat
Az (1) kifejezést átrendezve:
\(\displaystyle t^2=\frac{2x(\Theta_\parallel+mr^2)}{mgr^2}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}=k\cdot\frac{1}{\sin\alpha}, \)
azaz ha \(\displaystyle t^2\)-et \(\displaystyle \tfrac{1}{\sin\alpha}\) függvényében ábrázoljuk, akkor a pontokra illesztett, origón átmenő egyenes \(\displaystyle k\) meredekségéből \(\displaystyle \Theta_\parallel\) kifejezhető. A 2. táblázat az ábrázolandó adatokat tartalmazza, a grafikon a 3. ábrán látható.
2. táblázat
3. ábra
Az illesztett egyenes meredeksége:
\(\displaystyle k=(0{,}308\pm 0{,}016)~\mathrm{s^2}, \)
amiből
\(\displaystyle \Theta_\parallel=\left(\frac{kg}{2x}-1\right)mr^2=(6{,}18\pm 0{,}94)\cdot 10^{-7}~\mathrm{kg\,m}^2. \)
A merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomaték méréséhez az elemből egy fizikai ingát készítünk, és annak lengési idejét mérjük meg. A fizikai inga lengésideje:
ahol \(\displaystyle s\) a forgástengely és a tömegközéppont távolsága.
A méréshez az elem egyik végére egy könnyű fogpiszkálót ragasztunk, amelynek végeit két kartondobozba szúrjuk (4. ábra). A hegyes végeken a kicsiny sugár miatt kicsiny fékező forgatónyomaték lép fel, így az inga lengése akár 100 lengésen át is megfigyelhető.
4. ábra
A mérési eredmények:
A tömegközéppont helyét körülbelül az elem geometriai középpontjában feltételeztük. (Az elem feltételezhetően forgásszimmetrikus, de a két vége kicsit különbözik. A tömegközéppont helye a szimmetriatengely mentén könnyen kimérhető, ha az elemet egy vízszintes, éles peremű asztal szélén óvatosan toljuk kifelé, és megnézzük, mikor billen le.) Így
\(\displaystyle s\approx \frac{L}{2}=(24\pm 0{,}25)~\mathrm{mm}. \)
A keresett tehetetlenségi nyomaték a (3) összefüggés alapján:
\(\displaystyle \Theta_\perp=\frac{mgsT^2}{4\pi^2}-ms^2=(4{,}55\pm 0{,}20)\cdot 10^{-6}~\mathrm{kg\,m}^2. \)
Homogén hengert feltételezve a méretek és a tömeg alapján adódó értékek:
Bár az eltérés a mért értékektől mindkét esetben kicsiny (az első esetben hibahatáron belüli), az elem a felépítése miatt nem tekinthető homogén hengernek.
Hegedüs Márk (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)
17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 5, hiányos (3 pont) 2, hibás 3, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5676. Az ábrán látható kapcsolási rajz szerint összeállított áramkörben szereplő feszültségforrás elektromotoros ereje \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), az ellenállások \(\displaystyle R_1=50~\Omega\), illetve \(\displaystyle R_2=150~\Omega\) nagyságúak, a kondenzátor \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\) kapacitású. Kezdetben a K kapcsoló zárva van.
a) Mekkora a kondenzátor töltése a kapcsoló zárt állása esetén?
b) A kapcsoló nyitását követően kialakuló állandósult állapot eléréséig mennyivel változik meg a kondenzátor energiája, és mennyi hő fejlődik az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson?
A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
P. 5660. Egy pontszerűnek tekinthető, \(\displaystyle m\) tömegű, átfúrt golyó az ábra szerint egy \(\displaystyle R\) sugarú, vízszintes átmérőjű, függőleges síkú, félkör alakú, rögzített, merev drótra van fűzve, amelyen súrlódásmentesen csúszhat. A golyóhoz egy vékony fonál van kötve, amely a drót \(\displaystyle C\) végén lévő, kicsiny csigán van átvetve. A fonál másik végéhez egy ugyancsak \(\displaystyle m\) tömegű nehezék van erősítve. A bal oldali golyót a fonál vízszintes helyzetéből lökésmentesen elengedjük, amikor a fonál \(\displaystyle \alpha=0^\circ\)-os szöget zár be a vízszintes átmérővel.
a) Mekkora sebességgel mozognak a testek, amikor a bal oldali test a drótpálya legalsó pontján halad át?
b) Mekkora a testek gyorsulása ebben a pillanatban?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
G. 900. Megválasztható-e az ábrán látható ohmos ellenállások (nullától különböző) nagysága úgy, hogy az eredő ellenállás az a) és b) esetekben egyenlő legyen?
de Châtel Péter (1940–2023) feladata nyomán
