Szerk
M. 444. Határozzuk meg egy AA-s ceruzaelem szimmetriatengelyére és egy arra merőleges, a tömegközépponton áthaladó tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékait!
(6 pont)
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
Megoldás. Az elem tömege (konyhai mérleggel mérve): \(\displaystyle m=24~\mathrm{g}\), hossza \(\displaystyle L=48~\mathrm{mm}\), átmérője (digitális tolómérővel mérve): \(\displaystyle d=14{,}2~\mathrm{mm}\), amiből a sugara: \(\displaystyle {r=d/2=7{,}1~\mathrm{mm}}\). A mérés során a szimmetriatengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\parallel\), illetve az arra merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomatékot egy-egy egymástól eltérő módszerrel mérjük meg.
Az első esetben (\(\displaystyle \Theta_\parallel\)) azt mértük, mennyi idő alatt gördül le megcsúszás nélkül egy lejtőn az elem. A testre ható erők és a számításban használt mennyiségek az 1. ábrán láthatók.
1. ábra
A mozgásegyenletek és a kényszerfeltételek:
Az egyenletrendszerből kifejezzük a tehetetlenségi nyomatékot:
\(\displaystyle \Theta_\parallel=\frac{mgr^2\sin\alpha}{a}-mr^2, \)
ahol az \(\displaystyle a\) gyorsulást az \(\displaystyle x\) hosszúságú lejtőn való legurulás \(\displaystyle t\) idejének mérésével kaphatjuk meg:
\(\displaystyle a=\frac{2x}{t^2}. \)
Ezt behelyettesítve:
Az egyenletrendszerből \(\displaystyle S\) is kifejezhető:
\(\displaystyle S=\frac{mg\sin\alpha}{1+\frac{\Theta_\parallel}{mr^2}}, \)
amit az egyenlőtlenségbe behelyettesítve és rendezve a megcsúszás nélküli gördülés feltétele:
2. ábra
A mérési elrendezés a 2. ábrán látható. A két láb távolsága \(\displaystyle \ell=1017~\mathrm{mm}\). Először az asztal egyik lábát addig emeltem, amíg a lejtéssel párhuzamos tengellyel ráhelyezett elem meg nem csúszott. Ez akkor következett be, amikor \(\displaystyle h_\mathrm{m}=245~\mathrm{mm}\), amiből \(\displaystyle \alpha_\mathrm{m}=\arcsin\tfrac{h_\mathrm{m}}{\ell}\approx 14^\circ\) és \(\displaystyle \mu=\tg\alpha_\mathrm{m}\approx 0{,}25\). A (2) összefüggés alapján az elem akkor gördül le csúszásmentesen, ha
\(\displaystyle \alpha\leq\arctg\left(\left(1+\frac{mr^2}{\Theta_\parallel}\right)\mu\right)\approx\arctg 3\mu\approx 37^\circ, \)
ahol felhasználtuk a \(\displaystyle \tfrac{mr^2}{\Theta_\parallel}\approx 2\) becslést a homogén henger ismert tehetetlenségi nyomatéka alapján.
Az 1. táblázatban a mérési eredmények láthatók az asztal különböző döntése esetén (a legnagyobb szög is jóval kisebb, mint az előbb meghatározott határszög). Minden esetben \(\displaystyle x=1~\mathrm{m}\) és minden dőlésszögnél 5 mérést végeztünk.
1. táblázat
Az (1) kifejezést átrendezve:
\(\displaystyle t^2=\frac{2x(\Theta_\parallel+mr^2)}{mgr^2}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}=k\cdot\frac{1}{\sin\alpha}, \)
azaz ha \(\displaystyle t^2\)-et \(\displaystyle \tfrac{1}{\sin\alpha}\) függvényében ábrázoljuk, akkor a pontokra illesztett, origón átmenő egyenes \(\displaystyle k\) meredekségéből \(\displaystyle \Theta_\parallel\) kifejezhető. A 2. táblázat az ábrázolandó adatokat tartalmazza, a grafikon a 3. ábrán látható.
2. táblázat
3. ábra
Az illesztett egyenes meredeksége:
\(\displaystyle k=(0{,}308\pm 0{,}016)~\mathrm{s^2}, \)
amiből
\(\displaystyle \Theta_\parallel=\left(\frac{kg}{2x}-1\right)mr^2=(6{,}18\pm 0{,}94)\cdot 10^{-7}~\mathrm{kg\,m}^2. \)
A merőleges tengelyre vonatkozó \(\displaystyle \Theta_\perp\) tehetetlenségi nyomaték méréséhez az elemből egy fizikai ingát készítünk, és annak lengési idejét mérjük meg. A fizikai inga lengésideje:
ahol \(\displaystyle s\) a forgástengely és a tömegközéppont távolsága.
A méréshez az elem egyik végére egy könnyű fogpiszkálót ragasztunk, amelynek végeit két kartondobozba szúrjuk (4. ábra). A hegyes végeken a kicsiny sugár miatt kicsiny fékező forgatónyomaték lép fel, így az inga lengése akár 100 lengésen át is megfigyelhető.
4. ábra
A mérési eredmények:
A tömegközéppont helyét körülbelül az elem geometriai középpontjában feltételeztük. (Az elem feltételezhetően forgásszimmetrikus, de a két vége kicsit különbözik. A tömegközéppont helye a szimmetriatengely mentén könnyen kimérhető, ha az elemet egy vízszintes, éles peremű asztal szélén óvatosan toljuk kifelé, és megnézzük, mikor billen le.) Így
\(\displaystyle s\approx \frac{L}{2}=(24\pm 0{,}25)~\mathrm{mm}. \)
A keresett tehetetlenségi nyomaték a (3) összefüggés alapján:
\(\displaystyle \Theta_\perp=\frac{mgsT^2}{4\pi^2}-ms^2=(4{,}55\pm 0{,}20)\cdot 10^{-6}~\mathrm{kg\,m}^2. \)
Homogén hengert feltételezve a méretek és a tömeg alapján adódó értékek:
Bár az eltérés a mért értékektől mindkét esetben kicsiny (az első esetben hibahatáron belüli), az elem a felépítése miatt nem tekinthető homogén hengernek.
Hegedüs Márk (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)
17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 5, hiányos (3 pont) 2, hibás 3, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
