Szerk
P. 5660. Egy pontszerűnek tekinthető, \(\displaystyle m\) tömegű, átfúrt golyó az ábra szerint egy \(\displaystyle R\) sugarú, vízszintes átmérőjű, függőleges síkú, félkör alakú, rögzített, merev drótra van fűzve, amelyen súrlódásmentesen csúszhat. A golyóhoz egy vékony fonál van kötve, amely a drót \(\displaystyle C\) végén lévő, kicsiny csigán van átvetve. A fonál másik végéhez egy ugyancsak \(\displaystyle m\) tömegű nehezék van erősítve. A bal oldali golyót a fonál vízszintes helyzetéből lökésmentesen elengedjük, amikor a fonál \(\displaystyle \alpha=0^\circ\)-os szöget zár be a vízszintes átmérővel.
a) Mekkora sebességgel mozognak a testek, amikor a bal oldali test a drótpálya legalsó pontján halad át?
b) Mekkora a testek gyorsulása ebben a pillanatban?
(6 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
Megoldás. a) A dróton mozgó golyó adatait jelölje 1-es, a fonálon függő testét 2-es index. A mechanikai energia megmaradását felírva a kezdeti és a vizsgált állapot között:
\(\displaystyle mgR+mg(2-\sqrt{2})R=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2. \)
A kényszerfeltétel (a fonál nyújthatatlansága miatt) a vizsgált pillanatban:
\(\displaystyle v_2=\frac{v_1}{\sqrt{2}}, \)
ezt beírva az energiaegyenletbe és rendezve:
b) A testre ható erők az ábrán láthatók.
A 2-es test mozgásegyenlete:
Ha az 1-es test mozgását az \(\displaystyle O\) pont körül vizsgáljuk (amelytől a távolsága időben nem változik), akkor a centripetális gyorsulása:
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp},O}=\frac{v_1^2}{R}. \)
Az erre felírt mozgásegyenlet:
Ha a test mozgását a \(\displaystyle C\) ponthoz viszonyítva nézzük, akkor a \(\displaystyle C\) pont irányába egyrészt (a fonál nyújthatatlansága miatt) \(\displaystyle a_2\) gyorsulással mozog, másrészt a fonál elfordulása miatt centripetális gyorsulása is van:
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp},C}=\frac{\left(\frac{v_1}{\sqrt{2}}\right)^2}{\sqrt{2}R}=\frac{v_1^2}{2\sqrt{2}R}. \)
Ezt felhasználva a mozgásegyenlet:
Az (1) egyenletet beírva (3)-ba, majd abból (2) \(\displaystyle \sqrt{2}\)-ed részét kivonva, és rendezve:
\(\displaystyle K=\frac{2}{3}mg-\frac{mv_1^2}{3\sqrt{2}R}, \)
majd az a) részből \(\displaystyle v_1\) kifejezését behelyettesítve:
\(\displaystyle K=\frac{10-6\sqrt{2}}{9}mg. \)
Az 1-es test gyorsulásának két komponense van. A tangenciális gyorsulás a mozgásegyenlet alapján:
\(\displaystyle a_{\mathrm{t}}=\frac{K}{\sqrt{2}m}=\frac{5\sqrt{2}-6}{9}g\approx 0{,}119~g, \)
a centripetális gyorsulása pedig
\(\displaystyle a_{\mathrm{cp},O}=\frac{v_1^2}{R}=\frac{4(3-\sqrt{2})}{3}g\approx 2{,}11~g. \)
Ezekből az 1-es test keresett gyorsulása:
\(\displaystyle a_1=\sqrt{a_{\mathrm{t}}^2+a_{\mathrm{cp},O}^2}\approx 2{,}12~g. \)
A 2-es test gyorsulása pedig (1) alapján:
\(\displaystyle a_2=g-\frac{K}{m}=\frac{6\sqrt{2}-1}{9}g\approx 0{,}832~g. \)
Ujvári Sarolta (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
15 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Hiányos (1–4 pont) 11, hibás 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
