Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2026/2)

Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

I. rész

1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.

a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\)   (6 pont)

b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\)   (6 pont)

2. Egy online játékban a koordináta-rendszer origójából kell eljutni a katicabogár figurával az \(\displaystyle F(8; 4)\) koordinátájú pontba. A katicabogárral minden lépésben csak jobbra vagy felfelé léphetünk egyet.

a) Hányféle úton juthat el a katica az origóból \(\displaystyle F\)-be? (Két útvonal különböző, ha az egyikben lépünk olyan rácspontra, amelyre a másikban nem.)  (6 pont)

b) Az \(\displaystyle F(8;4)\) koordinátájú pont egy parabola fókuszpontja. Mi lehet a parabola egyenlete, ha tudjuk, hogy a parabola tengelye párhuzamos az \(\displaystyle y\) tengellyel és a \(\displaystyle 10\) ordinátájú pontban metszi az \(\displaystyle y\) tengelyt?  (6 pont)

3. Egy napközis csoport minden tagja egész délután papírrepülőket hajtogat. A tapasztalat szerint a meghajtogatott repülők \(\displaystyle 3\) százaléka hibás – nem lehet repülésre bírni.

a) Mennyi a valószínűsége, hogy ha \(\displaystyle 5\)-öt kiválasztunk – visszatevéssel – a papírrepülők közül, lesz köztük hibás?   (5 pont)

Egy tanuló statisztikát készített a \(\displaystyle 10\) percenként elkészülő papírrepülők számából. Azt tapasztalta, hogy az adatok mediánjának és alsó kvartilisének összege \(\displaystyle 28\), a felső és alsó kvartilis különbsége \(\displaystyle 6\), valamint a felső kvartilis és medián eltérése \(\displaystyle 4\).

b) Határozza meg az adatok ezen jellemzőit.  (4 pont)

c) Ábrázolja dobozdiagramon az adatokat, ha a minimum \(\displaystyle 8\), a maximum pedig \(\displaystyle 22\) és kiugró érték nincs.   (3 pont)

d) A csoport tagjai elhatározták, hogy felújítanak egy régi szokást: képeslappal lepik meg egymást a nyári szünetben. Ezért kicserélték egymással a lakcímüket (kölcsönösen). Egy gráfon képzelték el a cseréket. Az élek jelentették a lakcímcserét. Ha kettővel többen lettek volna – és ők is kicserélik mindenkivel a címüket –, a gráfnak \(\displaystyle 45\)-tel több éle lett volna. Hányan voltak a csoportban?   (3 pont)

4. Egy háromszög mindhárom oldalára kifelé egy-egy, a háromszög oldalával egyenlő oldalhosszúságú négyzetet rajzolunk. A szomszédos négyzetek szabad csúcsait összekötve kapjuk az \(\displaystyle ADE\), \(\displaystyle CFG\) és \(\displaystyle BHI\) háromszögeket az ábrának megfelelően.

r

a) Bizonyítsa be, hogy ezeknek a háromszögeknek a területe egyenlő az eredeti \(\displaystyle ABC\) háromszög területével.   (4 pont)

b) Határozza meg a \(\displaystyle DEFGHI\) hatszög területét, ha az eredeti háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle 6\) cm, \(\displaystyle 7\) cm és \(\displaystyle 8\) cm.   (6 pont)

c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét, ha \(\displaystyle \alpha\) tetszőleges valós szám.

\(\displaystyle A\): \(\displaystyle \cos(270^{\circ}+\alpha)=\sin(\alpha)\)

\(\displaystyle B\): \(\displaystyle 1+\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)\)

\(\displaystyle C\): \(\displaystyle \sin(60^{\circ}-\alpha)=\cos(30^{\circ}+\alpha)\)  (3 pont)

II. rész

5. Egy háromszög \(\displaystyle b\) oldalához tartozó magassága, az \(\displaystyle a\) oldala, a \(\displaystyle b\) oldala és a \(\displaystyle c\) oldala centiméterben kifejezve ebben a sorrendben egy \(\displaystyle 2\) differenciájú számtani sorozat négy egymást követő tagja.

a) Hányszorosa a háromszög területének mérőszáma a kerület mérőszámának?  (8 pont)

b) Mekkora részekre osztja a \(\displaystyle b\) oldalt a hozzátartozó magasság?   (3 pont)

c) Bizonyítsa be, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle 2^{4n}+4\) kifejezés osztható \(\displaystyle 20\)-szal.   (5 pont)

6. Koordináta-rendszerbe rajzolunk két körvonalat. A körök egyenlete \(\displaystyle x^2+y^2-14x-12y+60=0\) és \(\displaystyle x^2+y^2-2x-6y=0\). A nagyobb sugarú kör középpontja legyen \(\displaystyle O_1\), a kisebb sugarú kör középpontja legyen \(\displaystyle O_2\). A két kör metszéspontjait jelölje \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\).

a) Igazolja, hogy az \(\displaystyle O_1AB\) háromszög területe kétszer akkora, mint az \(\displaystyle O_2AB\) háromszög területe.  (8 pont)

Tekintsük az \(\displaystyle x^2+y^2-14x-12y+60\leq 0\) és \(\displaystyle x^2+y^2-2x-6y\leq \) körlapokat mint ponthalmazokat.

b) Határozza meg a két ponthalmaz metszetének területét.  (5 pont)

c) Adja meg a két ponthalmaz egyesítésének területét.  (3 pont)

7. Háromszögszámnak nevezzük az olyan számot, amelyet megkaphatunk úgy, hogy \(\displaystyle 1\)-től valameddig az összes természetes számot összeadjuk. Az első \(\displaystyle n\) pozitív egész szám összege az \(\displaystyle n\)-edik háromszögszám. Az ábrán látható elrendezés mutatja, hogy miért nevezik háromszögszámoknak.

a) Az első száz pozitív természetes számból kiválasztunk egyet. Nézzük az alábbi eseményeket:

\(\displaystyle A\): a választott szám háromszögszám,

\(\displaystyle B\): a választott szám négyzetszám,

\(\displaystyle C\): a választott szám prímszám.

Határozza meg a következő valószínűségeket: \(\displaystyle P(A)\); \(\displaystyle P(A\cdot C)\); \(\displaystyle P\bigl(\overline{A\!+\!B}\bigr)\).   (8 pont)

b) Az \(\displaystyle n\)-edik pozitív négyzetszámot hozzáadva az \(\displaystyle n\)-edik háromszögszámhoz \(\displaystyle 14\;751\)-et kapunk. Mennyi az \(\displaystyle n\) értéke, és melyek ezek a számok?   (8 pont)

8. Adott két, a pozitív valós számok halmazán értelmezett függvény: \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}\), \(\displaystyle f(x)=\cos(x)\) és \(\displaystyle g\colon\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}\), \(\displaystyle g(x)=2x-\frac{\pi}{2}\).

a) Határozza meg a következő értékeket: \(\displaystyle f\left(g\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\); \(\displaystyle g^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)\); \(\displaystyle g\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\).   (3 pont)

b) Határozza meg az \(\displaystyle y\) tengely, az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) függvény grafikonja, továbbá az \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\) egyenes által közrezárt terület nagyságát.   (5 pont)

c) Oldja meg a következő egyenletet a \(\displaystyle [0;2\pi]\) intervallumon:

\(\displaystyle \cos(2x)+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\sin(x).\quad {\hbox{\qquad\emph{(8~pont)}}} \)

9. Egy \(\displaystyle 60\) fokos nyílásszögű egyenes körkúpba két darab gömböt helyezünk egymás fölé úgy, hogy a nagyobbik gömb a kúp alapján nyugszik, a két gömb érinti egymást és a kúp palástját is.

a) Határozza meg a két gömb sugarának arányát.   (7 pont)

b) Hányszor nagyobb a kúp térfogata a két gömb össztérfogatánál?   (6 pont)

c) Adja meg a kúp térfogatát, ha tudjuk, hogy a magassága 18 cm.   (3 pont)