KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.


K. 235. A Kloppar bolygón a hivatalos fizetőeszköz a tirof, ennek nagyobbik váltópénze a dimar, kisebbik váltópénze a nepi. Egy dimar egész számú nepivel, egy tirof egész számú dimarral egyenlő. Sangi ezen a bolygón bemegy egy étterembe, vacsorázik, és az alábbi számlát kapja:

Sült vondar: 7 dimar 2 nepi; Ecetes rotin: 10 dimar 5 nepi; Vundeg kenyér: 1 dimar 6 nepi; Szénsavas nesztaki: 6 dimar 4 nepi; Krabban torta: 4 dimar; fizetendő összesen 2 tirof 8 dimar 1 nepi. Hány dimar egy tirof, és hány nepi egy dimar?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 236. Egy paralelogramma két belső szögfelezőjének metszéspontja a paralelogramma egyik oldalára esik. Milyen arányban osztja ketté ez a pont a paralelogramma oldalát?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 237. Egy parkolóóránál reggel 8 és este 6 óra között kell fizetni a parkolásért, 120 Ft-ot egy óráért. Legalább 30 Ft-ot kell bedobni, és legfeljebb 3 órára lehet jegyet venni. Az óra 10, 20, 50 és 100 Ft-os érméket fogad el. Az óra folyamatosan mutatja, hogy az addig bedobott összeggel hány óra hány percig parkolhatunk érvényesen, ez az időpont nem lépheti át a 18:00-át (tehát, 17:15-kor már 100 Ft-ost biztosan nem dobhatunk be).

a) Milyen időintervallumban érkezve nem válthatunk érvényes parkolócédulát?

b) 11:28-kor állunk a parkolóóra előtt, és szeretnénk este 7-ig maradni. Hányszor, mikor és milyen összegeket kell az órába dobnunk, ha a lehető legkevesebbszer szeretnénk bedobni, és nem akarunk egy percet sem érvénytelenül parkolni?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 238. Az ABCDE szabályos ötszög középpontja az O pont. Az A, B, C, D, E, O pontokat úgy szeretnénk kiszínezni piros, sárga, kék vagy zöld színnel (egy pontot csak egy színnel), hogy az OAB, OBC, OCD, ODE, OEA háromszögek közül egyiknek se legyen két azonos színű csúcsa. Hányféleképpen színezhetjük ki a pontokat ennek megfelelően?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 239. Valaki vett egy csokit, majd csodálkozva látta, hogy egy másik boltban ugyanaz a csoki ugyanannyi százalékkal kerül többe, mint ahány forintért ő vette azt. Mennyiért vette a csokit, ha a második boltban 75 Ft-ba került?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 240. Egy T tagú társaság kirándulni indult. A társaság pontosan fele gyalog ment. A gyalogúton T kilométerre lévő célt 1 óra alatt tették meg. A társaság másik fele biciklivel indult útnak egy másik úton. Az átlagsebességük (nem számolva, amikor álltak) T híján T-szerese volt a gyalogosok sebességének.

A biciklisek útközben egyikük defektje miatt megálltak T percre, majd egy másikuk láncszakadása miatt még T-szer annyi időre. Mikor továbbindultak, T percig egy addig sértetlen bicikli haladt az élen, majd átadta a vezetést másnak. Végül a biciklisek T perccel hamarabb érkeztek, mint a gyalogosok. Milyen hosszú volt a biciklis és milyen hosszú a gyalogos út?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.


C. 1015. Egy háromjegyű számhoz hozzáadtuk a számjegyeinek összegét, így egy ugyanolyan számjegyekből álló számot kaptunk. Ezután az eredeti számból levontuk a számjegyeinek összegét és így is ugyanolyan számjegyekből álló számot kaptunk. Mi volt az eredeti szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1016. Az ABC derékszögű háromszögben a B csúcsnál 30o van. A BC átfogóra kifelé írt négyzet középpontja D. Mekkora az ADB szög?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1017. Az ábrán látható két kockát egy vízszintes asztalon helyeztük el. A kockák egy-egy élének összege 2 cm, a kockák térfogatösszege pedig 5,375 cm3. Mekkora a fekete téglalap területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1018. Egy 5 lányból és 7 fiúból álló óvodai csoport ,,lakodalmast'' játszik. Választanak maguk közül egy jegyespárt, egy anyakönyvvezetőt, két koszorúslányt, egy vőfélyt a menyasszonynak és egyet a vőlegénynek, egy tanút a menyasszonynak és egyet a vőlegénynek. Tudjuk, hogy három lánynak egy-egy öccse is benne van a csoportban és több testvérpár nincs. Hányféleképpen történhet a választás, ha a testvérek nem lehetnek jegyespárok és az anyakönyvvezető sem lehet testvére a jegyespár egyik tagjának sem? (Koszorúslány csak lány, vőfély csak fiú lehet, a tanúk nemére nincs megkötés.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1019. Vízszintes síkon fekvő hengert úgy rögzítünk, hogy palástjához kétoldalt egy-egy hasábot illesztünk. (A hasábok egyik felső élükkel a henger palástjával érintkeznek.) Mekkora a henger sugara, ha a hasábok magassága 9, illetve 2 cm, távolságuk pedig 23 cm?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.


B. 4232. Két vitorlás hajó halad egymásra merőleges irányban, 10 km/h sebességgel a Balatonon. Egy adott időpontban útjaik képzeletbeli metszéspontjához közeledve az \(\displaystyle A\) hajó attól 1 km, míg a \(\displaystyle B\) hajó 2 km távolságra van. Az \(\displaystyle A\)-ról egy ember egyenletes sebességgel úszva, át szeretne jutni a \(\displaystyle B\) hajóhoz. Mikor ugorjon a vízbe, hogy a lehető legkevesebb időt kelljen a vízben töltenie, ha 2 km/h sebességgel képes úszni?

Javasolta: Koncz Levente

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4233. Egy hételemű halmaz háromelemű részhalmazait kell kiszíneznünk úgy, hogy ha két részhalmaz metszete üres, akkor színük különböző. Legalább hány színre van ehhez szükségünk?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4234. Egy \(\displaystyle k\) elemű ABC-ből képezzük az összes olyan \(\displaystyle n\) hosszúságú szót, amely csupa különböző betűből áll. Két ilyen szót összekötünk egy éllel, ha csak egyetlenegy helyen különböznek. Az így kapott gráfban mekkora az átmérő?

CIIM, Kolumbia, 2009

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4235. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög oldalait \(\displaystyle n\ge 2\) egyenlő részre osztottuk. Az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalakon az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) csúcsoktól számított \(\displaystyle k\)-adik osztópontok legyenek \(\displaystyle A_k\), \(\displaystyle B_k\), \(\displaystyle C_k\), \(\displaystyle D_k\). Mely \(\displaystyle (n,k)\) párokra teljesül, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög is az?

Javasolta: Mészáros Gábor (Kemence)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4236. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), a belső szögfelezők hossza \(\displaystyle f_a\), \(\displaystyle f_b\) és \(\displaystyle f_c\), a belső szögfelezők körülírt körbe eső szakaszai \(\displaystyle t_a\), \(\displaystyle t_b\) és \(\displaystyle t_c\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle a^2b^2c^2= f_af_bf_ct_at_bt_c\).

(Mathematics Magazine, 1977)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4237. Legyen n pozitív egész szám. Határozzuk meg az összes olyan \frac{1}{xy} törtnek az összegét, amelyre az n-nél nem nagyobb x és y számok relatív prímek és összegük nagyobb, mint n.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4238. Mutassuk meg, hogy a \sqrt{X}+\sqrt{Y}=1 egyenletű görbe pontjai egy parabolán helyezkednek el.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4239. Oldjuk meg a

8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4240. Az S1 és S2 síkok metszésvonala m. Az e egyenes az Si síkot az Di pontban döfi, az e és Si szöge pedig \alphai. Mutassuk meg, hogy ha D1\neD2, akkor \alpha1>\alpha2 pontosan akkor teljesül, ha D1 közelebb van m-hez mint D2.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4241. Legyen p1=2, és n\ge1 esetén jelölje pn+1 a np_1^{1!}p_2^{2!}\ldots p_n^{n!}+1 szám legkisebb prímosztóját. Igazoljuk, hogy a p1,p2,... sorozatban minden prímszám előfordul.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.


A. 497. Adott a síkon egy hegyesszögű ABC háromszög. A háromszög egy tetszőleges belső P pontjának a BC, CA és AB oldalakra eső vetületeit jelölje A1, B1, illetve C1. A PAC1, PC1B, PBA1, PA1C, PCB1 és PB1A háromszögek beírt köreinek sugarai legyenek rendre \varrho1,\varrho2,...,\varrho6.

Határozzuk meg azon P pontok mértani helyét, amelyekre

\varrho1+\varrho3+\varrho5=\varrho2+\varrho4+\varrho6.

Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 498. Legyen p(x) egész együtthatós polinom, w pedig egységnyi abszolút értékű komplex szám. Igazoljuk, hogy ha a c=p(w) szám tisztán valós, akkor létezik olyan q(x) egész együtthatós polinom, amire {c=q\left(w+\frac 1w\right)}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 499. Bizonyítsuk be, hogy léteznek pozitív c és n0 konstansok az alábbi tulajdonsággal. Ha A egész számokból álló véges halmaz, |A|=n>n0, akkor

|A-A|-|A+A|\len2-cn8/5.

Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny, 2009

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley