Fórum: Érdekes matekfeladatok

Azt érdemes megfigyelni, hogy ha egy számot páros hosszú részekre vágunk szét, akkor elég a részek maradékát nézni mod 11, ezek összege ugyanaz lesz, mint a feldarabolt számé (és így tovább, a megjegyzés az egyes darabokra is alkalmazható). Először vegyük az egy-, két-, három- és négyjegyű számokból álló csoportokat (A₁, A₂, A₃, A₄):

A = A₁*10^2n₁ + A₂*10^2n₂ + A₃*10^2n₃ + A₄ .

A könnyebbtől elkezdve, a kétjegyűek sorozata kettesével: A₂=10+11+...+99, ez a 90 tagú sorozat a harmadik tagjától kezdve teljes maradékosztályokból áll, tehát A₂=10+11+0=10 (mod 11). Ugyanígy felírhatjuk az A₄-et négyesével: A₄=1000+1001+...+1979, ez egy 980 tagú összeg, a másodiktól kezdve teljes maradékosztályok összege, tehát A₄=1000+0=10 (mod 11). Az A₃-at hatosával érdemes csoportosítani: A₃=100101+102103+...+998999, így egy 450 tagú számtani sorozatot kapunk (d=2002), tehát A₃=450*(100101+998999)/2=10 (mod 11). Végül A₁=01+23+45+67+89=225=5 (mod 11). Tehát a keresett maradék A=5+10+10+10=2 (mod 11).

Szó szerint ugyanezzel az érveléssel (mod 99) az A=27+54+54+54=90 (mod 99) összefüggést kapnánk, de közvetlenül is beláthatjuk, hogy A = 0 (mod 9). Mivel ezen kívül A = -1 (mod 20), így végül is A=1179 (mod 1980).

Még egy pontosítás, a periodikus jelző rövid o-val van. Még egy pontosítás, nincsen olyan nem konstans függvény, aminek minden szám a periódusa volna.

köszönöm szépen a megoldást! ez az ötlet hiányzott!

:-)

"ha g(x) minden valós intervallumon korlátos változású függvény, és g(x=0) létezik, akkor g(x) előállítható megszámlalhatóan sok periódikus tag és egy nem periódikus tagnak az összegeként."

Bizonyítás:

g(x)=sinx+(g(x)-sinx)

:-)

Én is arra gondoltam, hogy ha az összegben megenged nem periodikus tagot, akkor nincs miről beszélni, hiszen az lehet maga az előállítandó fv. mindenféle periodikus tag nélkül. Nekem úgy tűnik, hogy valamilyen könyvből kiollózott néhány bekezdést, esetleg idegen nyelvből fordítva, majd egymás után dobálta (pl. mi az a véletlen tag?). Nem tudom mi volt ezzel a célja, de szerintem ne is kérdezzük meg. Na mindegy, hagyjuk.

Amúgy érthető amit írtam? Szerintem nagyon érdekes, hogy az egyes osztályokon egymástól teljesen függetlenül lehet megadni az f-et. Nem tudom konkrétan megadni, hogy egy x pontban mi lesz f értéke, mert ehhez meg kéne találni annak az osztálynak a már kijelölt reprezentáns elemét (x₀), amelyben f értékét tetszőlegesen rögzítettük. Ha a reprezentáns elem már megvan, akkor n könnyen kiszámítható. Tehát x-re meg kéne találni x₀-t és n-et, hogy az {x}={x₀+np} egyenlőség teljesüljön (adott p mellett, pl. legyen gyök 2). Persze lehetne x₀ maga az x, ez is reprezentálja az osztályt, csak ahhoz hogy f értékét bármely x-re meg tudjuk mondani, az osztály minden x elemére ugyanazt az előre kiválasztott x₀-t kéne megkapni. Egyelőre nem találtam olyan algoritmust, amely ezt a problémát megoldaná (mindegy milyen reprezentáns elemet találunk, de az egy osztályba tartozó számokhoz mindig ugyanazt). Ebben kérek segítséget.

Esetleg más, két periodikus fv. összegeként nem előállítható fv.-ek előállíthatók több periodikus fv. összegeként. Ennek szerintem az lenne a szükséges és elégséges feltétele (pl. 3 fv-re), hogy létezzen p,q,r páronként nem összemérhető periodusok, hogy h(x+p+q)-h(x+p)-h(x+q)+h(x) r szerint periodikus legyen. Ez szerintem pl igaz a másodfokú polinomokra. S.í.t, n-ed fokú polinom előállítható n+1 db. periodikus fv. összegeként. Ezt még nem gondoltam végig. Vélemények?

Oké. periódus , periodikus

Dirichlet-függvény f(x) f(x)=1 ha, x racionális f(x)=o ha x irracionális periódusa minden racionális szám.

Akkor a periodikus fv definiciója:

f:D--R, az f függényt perodikusnak nevezzük, ha van p nem nulla valós szám ahol a függvény értelmezve van, és minden értelmezési tartománybeli x re x-p, x+p is értelmezési tartománybeli és f(x+l)=f(x), f(x-l)=f(x)

Ezt írtad: Ha h(x)=x, akkor h(x+np)-h(x)=np természetesen 1 szerint periodikus fv. Ezért írtam be a pontos definiciót.

Tartózkodj a személyeskedéstől!

Ezzel nem értem mi a baj. A h identitás fv.-re ez a különbség (h(x+np)-h(x)) konstans fv., ami valóban tekinthető akár 1 szerint periodikusnak. Ez nem mond ellent a definíciónak. Vagy még mindig azt hiszed, nem vagyok tisztában a periodikus fv. fogalmával? Hát, ez sem túl hízelgő, de azért elviselem. De személyeskedés ida vagy oda, áruld már el, hogy hoztad össze azt a sok butaságot amit írtál. Vagy csak ha rosszul fogalmaztad meg, akkor légyszíves fejtsd ki érthetőbben. Vagy csak kötekedni akartál?

Válaszok fordított sorrendben: 1. Dehogy kötekszek 2. Nem butaság, csak mondtad, ortogonális fv-ek szerinti sorfejtésben nem vagy otthon. Ezért ejtettem ennek egy speciálisát a Fourier sorokat. 3.Az könnyen eldönthető, hogy alkalmazva a definiciót (h(x+np)-h(x)) ha h(x)=x periodikus fv. Állításod az , hogy 1 periodikus. Igaz? Nem igaz? 4. A kritikát el kell viselni. Te mondtad olvassuk, elemezzük amit írtál. Így papírt ceruzát rántottam. Kardok azért maradjanak hüvelyükbe. Hízelegni nem kell. 3.ra kell válaszolni.