[1185] Lóczi Lajos | 2006-03-12 01:59:04 |
217. feladat. Adjunk példát (ha van) olyan F valós függvényre, amely deriválható az egész (0,1) intervallumon, de , ahol f=F'.
|
|
|
[1187] Csimby | 2006-03-13 19:56:42 |
218. feladat Az Euler-féle poliéder-tétel ugyenbár csak "nem lyukas" testekre igaz. Hogy-néz ez ki "k lyukú testek" (k=1: tórusz, k=2: kengyel-felület) esetében?
219. feladat Adott a gömbön egy térkép országokkal és a fővárosaikkal. Vegyük azt a gráfot, aminek csúcsai a fővárosok, és két csúcsot pontosan akkor kötünk össze, ha a nekik megfelelő fővárosok országai határosak. Mondjunk olyan testet minden k-ra, hogy a testre lehessen olyan térképet rajzolni, amihez az előbbi módon definiált gráf a teljes k csúcsú gráf.
|
|
[1188] Lóczi Lajos | 2006-03-13 22:41:14 |
Trükkös. Akkor a következő kérdés természetesen az, hogy
Van-e példa vajon olyan F függvényre, ami a zárt [0,1] intervallumon mindenhol értelmezve van, mindenhol deriválható, de az idézett Newton-Leibniz-formula nem igaz rá?
|
Előzmény: [1186] ágica, 2006-03-13 19:39:06 |
|
[1189] Lóczi Lajos | 2006-03-13 22:50:30 |
A deriválásokat elvégezve, ebben a feladatban nyilván csak annyit kell bizonyítani, hogy az y-szerinti integrálja 0-tól -ig az alábbi kifejezésnek
éppen nulla, ha n egész szám és x valós szám.
|
Előzmény: [1184] Lóczi Lajos, 2006-03-10 23:10:59 |
|
|
[1191] nadorp | 2006-03-14 20:43:23 |
Két helyen is találtam példát, mindkettő Volterra konstrukcióját közli. Azt látja be, hogy létezik olyan [0,1]-en mindenhol differenciálható függvény, melynek derivált függvénye korlátos, de nem Riemann integrálható.
|
Előzmény: [1188] Lóczi Lajos, 2006-03-13 22:41:14 |
|
[1192] ágica | 2006-03-14 22:50:28 |
Vagy pedig, mivel g(x) csupán egy 1/-s szorzóban különbözik az n-edik Bessel-függvénytől, melyre szintén teljesül ugyanez a differenciálegyenlet, így megoldható a feladat a Bessel-függvényekre vonatkozó bizonyítással teljesen analóg módon is (g(x) deriváltját számolva, majd parciálisan integrálva egy kis alakítgatás után kijön az egyenlet).
|
Előzmény: [1189] Lóczi Lajos, 2006-03-13 22:50:30 |
|
|
[1194] Lóczi Lajos | 2006-03-14 23:58:40 |
Valóban, úgy tűnik, Volterra csinált először ilyet Riemann integrálra (ami után persze adtak később egyszerűbb példákat is). A konstrukció lényege, hogy a korlátos derivált (mértékelméleti szempontból) túl sok helyen szakad: egy "kövér" Cantor-halmazon, az ilyeneket pedig Riemann nem tudja visszaintegrálni.
A feladatban viszont nem mondtam meg, milyen integrált használjunk.
220. feladat. U. az, mint a 217. feladat, csak az integrált értsük Lebesgue értelemben.
Ez a feladat jóval könnyebb, mint a Riemannos megfelelője, és az előzetes integrálos kérdések pont ezt készítették elő.
Fontos adalék, hogy Lebesgue (1900-as évek eleje) után fél évszázaddal kidolgozták a Henstock-Kurzweil integrált, amelynek definíciója formailag alig különbözik Riemannétól, és azzal a jó tulajdonsággal bír, hogy minden [a,b] intervallumon értelmezett deriváltat vissza tud integrálni (tehát a 217. feladatbeli formulában mindig egyenlőség áll), sőt egyúttal minden, [a,b]-n Lebesgue-integrálható függvényt is tartalmaz. Ezt az integrálfogalmat nyugodtan lehetne Riemann helyett tanítani, mert a bizonyítások csak alig bonyolultabbak és cserébe sokkal többet kapunk.
|
Előzmény: [1191] nadorp, 2006-03-14 20:43:23 |
|