[2558] epsilon | 2008-01-21 13:15:55 |
Kedves Lajos! Amint nézem, Te éppen a kijavított feladatra is céloztál, éppen az érdekelne, hogyan lehetne megkapni egy olyan asszimtótikus sorbafejtést, vagy esetleg egy olyan dupla egyenlőtlenséget, amiből a limesz kiszámítható lenne, mert azt nem tudom "megfogni", hogy x(n) a tgx=x megoldása, az illető intervallumban. Üdv: epsilon
|
Előzmény: [2554] Lóczi Lajos, 2008-01-20 22:33:56 |
|
|
|
|
|
[2563] epsilon | 2008-01-21 17:16:39 |
Helló nadorp! A feleletválasztós tesztben ahonnan a feladat származik lehetséges válaszok: 1, 0, 1/pi, pi/2, pi/4 és ahogy nézem, az asszimptótikus megközelítéseid alapján 1/pi lenne...csak az a gondom, hogy nem igazán látom az utolsó 2 sorodban honnan vannak az asszimptótikus megközelítések, na meg hogyan lehetne ezt a feladatot 12. osztályt végzettnek feladni (mert az kapta fel) hiszen az asszimptótikus megközelítés nincs a tananyagban...szóval vajon hogyan lehetne a megoldást leszállítani 12. osztályos szintre? Üdv: epsilon
|
|
[2564] Lóczi Lajos | 2008-01-21 19:29:01 |
Tényleg nem értem, hogy lehetne ez egy tesztkérdésben benne (amikor, ahogyan illusztráltam, sok 18 évesnek problémája van a törtekkel és hatványozás azonosságaival...)
Szóval technikailag kicsit talán egyszerűbb így elmondani:
xn=n+/2-n, ebből egyszerűen kapjuk (figyelembe véve, hogy xn melyik intervallumban van, illetve hogy xn melyik egyenlet megoldása), hogy
/2-arctg(n+/2-n)=n.
Most használjuk fel, hogy 0<n</2 (de konkrét becslés nem is kell, elegendő annyit tudnunk, hogy n korlátos, hiszen nullsorozat). Ekkor /2-arctg(n+/2-n) alulról és felülről becsülhető /2-arctg(n+konstans) alakú kifejezésekkel, használva az arkusz tangens monotonitását. Ezt most már valós x-ekre kiterjesztve, a L'Hospital-szabállyal egy deriválás után látszik, hogy
limesze (x tart végtelen esetén, tetszőleges, rögzített "konstanssal") 1/, a közrefogási elv miatt az előző bekezdés értelmében tehát nn határértéke valóban 1/.
|
Előzmény: [2563] epsilon, 2008-01-21 17:16:39 |
|
[2565] Lóczi Lajos | 2008-01-21 19:36:40 |
Ez tehát azt mutatja, hogy a fixpontegyenlet gyökei aszimptotikusan
Kíváncsiságból egy lépéssel tovább is kiszámoltam, az előzőhöz hasonló érveléssel (a nehézség nem nőtt), és azt kaptam, hogy
|
Előzmény: [2564] Lóczi Lajos, 2008-01-21 19:29:01 |
|
|
[2567] nadorp | 2008-01-21 21:45:23 |
Lajos megoldása rövidebb, de álljon itt az enyém is.( Ha túl hosszú és unalmas, akkor hagyjátok ki.)
Azt láttuk, hogy
Tehát tetszőlesges >0-hoz létezik N, ha n>N, akkor
Ezt elvégezve az n+1,...,n+k-1 számokra is és összeadva a k db egyenlőtlenséget
Ha most felhasználjuk,hogy
és hogy
akkor
teljesül minden k-ra.Ha k=n2
Másrészt
is igaz, ui. ellenkező esetben
igaz lenne minden k-ra, de ez ellentmond a 0-ba tartásnak. Tehát
|
Előzmény: [2563] epsilon, 2008-01-21 17:16:39 |
|