[719] Atosz | 2005-01-17 16:52:17 |
Sziasztok!
Újabb "Rés a pajzson..." a gyógyszeres feladatban. Kis lépés, de ez is valami.
Sokáig próbálkoztam a pk,k vizsgálatával de nem bírtam zárt, "szumma" nélküli alakra hozni. Arra gondoltam, hátha alulról építkezve, speciális eseteket vizsgálva érnénk el eredményt.
Megnéztem a p1,k (1 egész, k fél) valségét. Ilyenkor abban az esetben marad egész, ha végig feleket húzunk egymás után, azaz
Ekkor felírtam p2,k-ra az eredeti rekurziós képletet, azaz:
Beírva p1,k+1 helyére az értéket, kapjuk hogy:
Rengeteg egyváltozós függvényt vizsgáltam meg, hogy eleget tesz-e az előző függvényegyenletnek, de nem jártam sikerrel. Ekkor p2,k-1-et tovább alakítottam p2,k-2-vé és így tovább, amíg el nem érünk p2,0-ig, melynek értéke A kapott hosszú szörnyet addig néztem, amíg ki nem jött, hogy:
Jó lenne ennek egy zárt alakot felírni, de nekem már ez is tetszik. Viszonylag jól lehet vele számolni is:
pl.
További jó munkát!
|
|
[720] Lóczi Lajos | 2005-01-17 17:51:35 |
A Mathematicába beírtam a p2,k-ra vonatkozó rekurzív képletet, és az alábbi alakot kaptam vissza, ami talán kicsit egyszerűbb, mint az említett:
Látható, hogy a (k+2)-edik harmonikus szám szerepel a képletben, tehát ennél "zártabb" alak p2,k-ra szerintem nem várható.
|
Előzmény: [719] Atosz, 2005-01-17 16:52:17 |
|
[721] Atosz | 2005-01-17 23:26:18 |
Kedves Lóczi Lajos és többiek!
Egész ügyes ez a Mathematica, a képlet tényleg zártabb, és módot ad p2,k egy elég jó felső becslésére.
Előszedtem a harmonikus sor és a számtani közép közti egyenlőtlenséget, miszerint:
Itt most n=k+2 és ai=i, amit ha elkezdünk alakítgatni, kapjuk, hogy
Szeretnék azoknak akiknek nem fekszik teljesen ez a gyógyszeres feladat egy új példát adni a valség köréből, ami nem túl nehéz, ám a megoldása miatt az egyik kedvencem:
100 utas várakozik a reptéren, hogy végre beszállhassanak. A gépen 100 ülőhely van, mindenkinek máshová szól a jegye. Az első utas "őrült" nem törődik a jegyével, s beszálláskor véletlenszerűen elfoglal egy széket. Az összes többi utas "normális" és a helyére fog ülni, feltéve, ha ott még nem ül senki. Ha a helyük foglalt, akkor ők is véletlenszerűen választanak egy széket. (az utasok egymás után egyesével szállnak a gépre)
Mekkora a valsége annak, hogy a 100. utas a helyére tud ülni? Mi a helyzet n utas és abból k őrült esetén?
|
Előzmény: [720] Lóczi Lajos, 2005-01-17 17:51:35 |
|
|
[723] xviktor | 2005-01-18 18:13:48 |
Hello Atosz!
Szerintem a feladat kissé egyszerűbb. Véleményem szerint az mindegy, hogy hány őrült van köztük, és szerintem annak az esélye, hogy a 100. utas a helyére tud ülni mindig 1/n, így 100 utasnál 0,01.
Üdv: Viktor
|
Előzmény: [721] Atosz, 2005-01-17 23:26:18 |
|
[724] Atosz | 2005-01-18 23:11:16 |
Kedves Viktor!
Sajnos nem jó a válasz! Ennél azért egy kicsit bonyolultabb ez a feladat. Először 1 "őrültre" próbáld megoldani. Gondold végig, hogy sorba állnak az ajtónál, elől az 1-es, majd a 2-es... végül pedig a 100-as. Most az 1-es az "őrült" (gondolom érzed, hogy a sorszámozásnak nincs jelentősége), aki berohan és leül pl. a 38-as székre. Ekkor 2-37-ig nincs gond, ám jön a 38-as akinek foglalt a helye...Ha az "őrült" a 100-as helyére ült volna, akkor 0 valséggel ül a helyére a 100-as. Ezt a gondolatmenetet kövesd '38' nélkül általánosan.
Egy darabig még hagyok időt mindenkinek - aztán közzéteszem a megoldást!
Minden jót: Atosz
|
Előzmény: [723] xviktor, 2005-01-18 18:13:48 |
|
|
|
[727] jenei.attila | 2005-01-19 14:47:07 |
Jelöljük pn-nel annak a valószínűségét, hogy n utas esetén az utolsó a saját helyére ül. Nyilván p2=1/2. Annak a valószínűsége, hogy az őrült a helyére ül, az 1/n. Az hogy a 2. utas helyére ül, szintén 1/n. Ha az őrült a második utas helyére ült, akkor a 2. utas lesz az új őrölt (a helye az 1. hely lenne), az utasok száma pedig n-1. Ha az őrült 1/n valószínűséggel a 3. utas helyére ült, akkor a 3. utas lesz az új őrült, és az utasok száma n-2,...s.í.t. Vagyis . Ebből teljes indukcióval könnyen kiszámítható, hogy pn=1/2.
|
Előzmény: [726] Atosz, 2005-01-19 12:26:08 |
|
[728] rizs | 2005-01-19 15:13:38 |
nekem inkább egy olyan ötletem volt, hogy az esetek párbaállíthatóak, de közben rájöttem, hogy elvi hibás a dolog. mivel azonban az 1/2 jó, valószínűleg mégis erről lehet szó :)
|
|