 Megoldás a 26. feladatra
Bontsuk két részre R(k;n)-et! A korlátos tartományok maximális száma legyen S(k;n), a nem korlátos tartományok maximális száma pedig legyen T(k;n). Először határozzuk meg T(k;n)-et! A körök csak a sík korlátos részén „tevékenykednek”, látszik, hogy T(k;n)-et az egyenesek meghatározzák. Ha elég ügyesek vagyunk, és fel tudjuk úgy venni az (0<)n darab egyenest úgy, hogy semelyik kettő ne essen egybe, akkor 2n darab végtelen tartományt kapunk, különben pedig kevesebbet.
Így T(k;n)=2n.
Már csak S(k;n)-et kell meghatároznunk. (Egyelőre feltesszük, hogy a két maximum egyszerre is megvalósulhat.) Tegyük fel, hogy már néhány egyenest és kört megrajzoltunk, és most megrajzolunk még egy kört, ami az eddigi alakzatokat összesen m darab (különböző) pontban metszi. Azt állítjuk, hogy ilyenkor pontosan m új korlátos tartomány keletkezik. Valóban, ha végigmegyünk a körvonalon, akkor két „szomszédos” metszéspontot összekötő ív mindig egy korlátos tartományt oszt két (korlátos) részre, vagy pedig egy végtelenből „vág” le egy korlátos részt.
Ehhez teljesen hasonlóan, ha egy új egyenes összesen m különböző pontban metszi az eddigi alakzatokat, akkor m-1 új korlátos tartomány keletkezik, hiszen a „szomszédos” metszéspontokat összekötő szakaszokkal 1-1 új korlátos tartományt nyerünk, a megmaradó két félegyenessel pedig egyet sem.
Ha van k-1 darab körünk, akkor egy új kör ezeket összesen lf. (legfeljebb) k pontban metszi, mert a feladat feltételei szerint mind a k darab kör áthalad 1 ponton, két (különböző) körnek pedig lf. 2 metszéspontja van. Így S(k;n)=S(k-1;n)+k, azaz  .
Ha van k-1 darab körünk, akkor egy egyenes ezeket összesen lf. k pontban metszi, hiszen a feladat kikötése szerint át kell haladnia a közös metszésponton. A már meglévő egyeneseket csak a közös metszéspontban metszi, de azt már számoltuk. Ez azt jelenti, hogy  .
Az eddigiek alapján  . Az pedig könnyen végiggondolható, hogy létezik konstukció. (Pl.: úgy vegyük fel a k darab kört, hogy ne essenek egybe, de sugaruk egyezzen. Nem lehetséges, hogy a közös ponton kívül is van olyan pont, amelyen három kör is áthalad, mert ezen és a közös ponton keresztül adott sugárral csak két különböző kör rajzolható. Az egyenesek felvételénél csak véges sok irányt kell kizárni: ne essen egybe az előzőekkel, ne haladjon át a körök metszéspontjain, ne érintse a köröket. Ilyenkor kívánt számú metszéspont, és így kívánt számú tartomány keletkezik.)
Megjegyzés:
Úgy is megoldhatjuk a feladatot, hogy invertálunk egy olyan körre, aminek a közös pont a középpontja. Ekkor k+n darab egyenest kapunk, azonban közülük n darab egy ponton megy át.
|
