Fórum: Érdekes matekfeladatok

Tudnátok segíteni? Az O középpontú körvonalon az X, A, B és Y pontok úgy helyezkednek el, hogy az XOY szöget az OA és az OB félegyenesek három egyenlő részre osztják. Az XOA és az YOB szögek szögfelezői merőlegesek egymásra. Mekkora az XOY szög? Előre is köszönöm...

kérdés: a XOA és az YOB szögek szögfelezői által bezárt szög hányszorosa a XOY szögnek?

Ez a probléma tegnap merült fel bennem, úgyhogy ide be is írom (egyelőre még nem oldottam meg):

Az ugye közismert, hogy minden egész számnak van csupa 0-sból és 1-esből álló többszöröse. Hasonló minimalizmusra törekedve azt is meg lehet keresni, hogy az egyes számoknak melyik az a többszöröse, aminek számjegyösszege minimális: például az 1-nek a legkisebb ilyen többszöröse az 1 (számjegyösszeg 1), 2-nek 10 (1), 3-nak 3 (3), 4-nek 100 (1), 5-nek 10 (1), 6-nak 12 (3), 7-nek 1001 (2), 8-nak 1000 (1), 9-nek 9 (9) stb. Vagyis Ezt a sorozatot kapjuk: 1 1 3 1 1 3 2 1 9 1 2 3 ...

Na, akkor a kérdés: Igaz-e, hogy minden számnak van olyan többszöröse, ahol a számjegyösszeg legfeljebb 9? (a 9-cel osztható számok miatt ennél alacsonyabb korlát biztos nincs) Tovább megyek: ha ez igaz, és ha a 3-mal osztható számokat nem nézzük, akkor lehet vajon kisebb korlátot mondani?

Valamint általánosan is érdekelne a dolog: minden g számrendszerben igaz az, hogy minden számnak van olyan többszöröse, aminek (g-es számrendszerbeli) számjegyösszege legfeljebb g-1? És ha igen, akkor a g-1-hez relatív prím számoknál lejjebb lehet ezt a korlátot szorítani?

Vagy nagyon nem értem amit írsz, vagy kicsit összekevered a dolgokat. Ha az a kérdés, melyik az a legkisebb, tizes számrendszerben felírt, csak 0 és 1 jegyekből álló szám, amelyik az adott számnak többszöröse, és ebben mennyi a számjegyek összege, akkor "1 (számjegyösszeg 1), 2-nek 10 (1)" rendben van. Ugyancsak jó a "4-nek 100 (1), 5-nek 10 (1)" , valamint "7-nek 1001 (2), 8-nak 1000 (1)". De mi az, hogy 3-nak 3 (3) ? Mióta áll a "3" csak egyesekből és nullákból? Vagy mi az, hogy 6-nak 12 (3) ? És 9-nek 9? Szerintem 3-nak 111 (3), 6-nak 1110 (3) és 9-nek 111111111 (9).

Ami az érdemi részét illeti, miért gondolod, hogy egy jó nagy prímszámnak a csak 0-1 jegyekből álló többszörösei között van olyan, amelyben csak 9 egyes szerepel?

Szerintem félreértetted.

"Hasonló minimalizmusra törekedve azt is meg lehet keresni, hogy az egyes számoknak melyik az a többszöröse, aminek számjegyösszege minimális"

Ennek semmi köze nincs a csupa 0ákból és 1ekből álló számokhoz, az csak egy analógia volt a minimalizmusra, ha jól értem.

Az első ellenpélda n=99, ehhez 18 a minimális jegyösszeg. Ebből meg már könnyű látni, hogy a sorozatod nem korlátos, mert 10ⁿ-1-hez 9*n lesz a minimális jegyösszeg. Ez más számrendszerben is igaz: gⁿ-1-nek (g-1)*n a minimális jegyösszeg.

A két kérdés ugyanaz. Ha van s jegyösszegű többszöröse n-nek, akkor van s jegyösszegű 01 többszörös is.

Szép, frappáns megoldás. Viszont az még mindig kérdés, hogy a g-1-hez relatív prímekre is igaz-e a nemkorlátosság.

Csak egy érdekes példa, továbbra is 10-es számrendszernél maradva. A 31-hez legkisebb összegként 3 tartozik (bizonyítsátok be, hogy 2-vel nem lehet), és a legkisebb ilyen többszörös a 10000011. Jó messzire el kellett menni, hogy az eredeti 3+1-et megjavítsuk :-)

-hez a minimális jegyösszegű többszöröshöz n jegyösszeg kell. Ha n nem osztható 3-mal, akkor K sem, így ez a sorozat sem korlátos. Hasonló igaz minden számrendszerre.

Hello!

Prímszám-e a, 99999989 b, 66666667 c, 11111101?

MTM