Szerk
P. 5672. Az Egyenlítőn állva, éppen a fejünk felett halad át egy műhold, amely a Föld felszínétől \(\displaystyle 400~\mathrm{km}\)-re levő pályán kering. Legfeljebb mennyi ideig láthatjuk a műholdat?
(4 pont)
Közli: Németh László, Fonyód
Megoldás.
A Föld egyenlítői sugara \(\displaystyle {R=6378~\mathrm{km}}\). Az ábra alapján a \(\displaystyle h=400~\mathrm{km}\) magasan keringő műhold épp a horizonton látszik, amikor a megfigyelőhöz képest a szögelfordulása:
\(\displaystyle \alpha=\arccos\frac{R}{R+h}=19{,}78^\circ=0,3453. \)
A műholdat a Föld gravitációs vonzása tartja körpályán, így a mozgásegyenlete:
\(\displaystyle \frac{\gamma Mm}{r^2}=m\omega_\mathrm{m}^2r, \)
ahol \(\displaystyle \gamma=6{,}674\cdot 10^{-11}~\mathrm{Nm^2kg^{-2}}\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M=5{,}972\cdot 10^{24}~\mathrm{kg}\) a Föld tömege, \(\displaystyle m\) a műhold tömege, \(\displaystyle r=R+h\) a műhold pályasugara és \(\displaystyle \omega_\mathrm{m}\) a keringésének szögsebessége. Rendezve és az adatokat behelyettesítve:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{m}=\sqrt{\frac{\gamma M}{r^3}}=1{,}131\cdot 10^{-3}~\mathrm{s^{-1}}. \)
A Föld forgásának szögsebessége (az állócsillagokhoz képest, így a \(\displaystyle 23^\mathrm{h}\,56'\,4''\)-es csillagnappal kell számolni):
\(\displaystyle \omega_\mathrm{F}=\frac{2\pi}{86164~\mathrm{s}}=7{,}292\cdot 10^{-5}~\mathrm{s^{-1}}. \)
A műhold akkor látszik leghosszabb ideig, ha az Egyenlítő síkjában és a Föld forgásával azonos irányba kering. Ekkor a Földhöz viszonyított relatív szögsebessége:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{r}=\omega_\mathrm{m}-\omega_\mathrm{F}=1{,}058\cdot 10^{-3}~\mathrm{s^{-1}}, \)
és így
\(\displaystyle t=\frac{2\alpha}{\omega_\mathrm{r}}\approx 653~\mathrm{s}=10{,}9~\mathrm{perc} \)
ideig láthatjuk.
Kádár Luca Linda (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 10. évf.)
Megjegyzés. A számításhoz sík felületet feltételeztünk, és a légkör fénytörését nem vettük figyelembe.
47 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 11, hiányos (1–2 pont) 24 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
M. 445. Mérjük meg, hogy egy adott granuláris anyagnak (pl. rizs, gersli stb.) mekkora a térkitöltése! Mennyire függ ez a rendszer preparálásától (pl.: tömörítés, rázogatás stb.)?
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
