Szerk
P. 5672. Az Egyenlítőn állva, éppen a fejünk felett halad át egy műhold, amely a Föld felszínétől \(\displaystyle 400~\mathrm{km}\)-re levő pályán kering. Legfeljebb mennyi ideig láthatjuk a műholdat?
(4 pont)
Közli: Németh László, Fonyód
Megoldás.
A Föld egyenlítői sugara \(\displaystyle {R=6378~\mathrm{km}}\). Az ábra alapján a \(\displaystyle h=400~\mathrm{km}\) magasan keringő műhold épp a horizonton látszik, amikor a megfigyelőhöz képest a szögelfordulása:
\(\displaystyle \alpha=\arccos\frac{R}{R+h}=19{,}78^\circ=0,3453. \)
A műholdat a Föld gravitációs vonzása tartja körpályán, így a mozgásegyenlete:
\(\displaystyle \frac{\gamma Mm}{r^2}=m\omega_\mathrm{m}^2r, \)
ahol \(\displaystyle \gamma=6{,}674\cdot 10^{-11}~\mathrm{Nm^2kg^{-2}}\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M=5{,}972\cdot 10^{24}~\mathrm{kg}\) a Föld tömege, \(\displaystyle m\) a műhold tömege, \(\displaystyle r=R+h\) a műhold pályasugara és \(\displaystyle \omega_\mathrm{m}\) a keringésének szögsebessége. Rendezve és az adatokat behelyettesítve:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{m}=\sqrt{\frac{\gamma M}{r^3}}=1{,}131\cdot 10^{-3}~\mathrm{s^{-1}}. \)
A Föld forgásának szögsebessége (az állócsillagokhoz képest, így a \(\displaystyle 23^\mathrm{h}\,56'\,4''\)-es csillagnappal kell számolni):
\(\displaystyle \omega_\mathrm{F}=\frac{2\pi}{86164~\mathrm{s}}=7{,}292\cdot 10^{-5}~\mathrm{s^{-1}}. \)
A műhold akkor látszik leghosszabb ideig, ha az Egyenlítő síkjában és a Föld forgásával azonos irányba kering. Ekkor a Földhöz viszonyított relatív szögsebessége:
\(\displaystyle \omega_\mathrm{r}=\omega_\mathrm{m}-\omega_\mathrm{F}=1{,}058\cdot 10^{-3}~\mathrm{s^{-1}}, \)
és így
\(\displaystyle t=\frac{2\alpha}{\omega_\mathrm{r}}\approx 653~\mathrm{s}=10{,}9~\mathrm{perc} \)
ideig láthatjuk.
Kádár Luca Linda (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 10. évf.)
Megjegyzés. A számításhoz sík felületet feltételeztünk, és a légkör fénytörését nem vettük figyelembe.
47 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 11, hiányos (1–2 pont) 24 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
