[387] lorantfy | 2004-06-17 11:35:20 |
84. feladat: Ha a2+a+1=0, akkor mennyi az értéke a
kifejezésnek?
|
|
[388] Sirpi | 2004-06-17 13:01:13 |
Ez a 84. feladat poénos. A valós számok korében ugyanis nem teljesül a kezdeti feltétel, hiszen , de ettől pl. a komplex számok körében meg lehet a feladatot oldani.
Viszont az is meg tudja oldani a feladatot, aki nem is hallott a komplex számokról.
Vezessük be a következő jelölést: f(k)=ak+a-k.
Ekkor f(k)f(l)=(ak+a-k)(al+a-l)=(ak+l+a-(k+l))+(ak-l+a-(k-l))=f(k+l)+f(k-l)
Vagyis: f(k+l)=f(k)f(l)-f(k-l) (*)
Mi éppen f(2004)-et akarjuk kiszámolni. Amit tudunk a fenti összefüggésen kívül, az az, hogy f(0)=2, f(1)=-1 és f(k)=f(-k) minden egész k-ra.
Állítás: f(k+3)=f(k) minden k-ra, ez indukcióval bizonyítható a (*) összefüggésből (ezt a részt, ami nem is túl nehéz, rábízom másra). Innen f(2004)=f(0)=2.
/persze tudom, hogy a egy harmadik egységgyök, és innen triviálisan kijön a 2, mint megoldás, de elemi módszerekkel próbáltam a feladatot megoldani./
|
Előzmény: [387] lorantfy, 2004-06-17 11:35:20 |
|
[389] Sirpi | 2004-06-17 15:08:06 |
Lehet, hogy elbonyolítottam...
0=0(a-1)=(a2+a+1)(a-1)=a3-1, ahonnan a3=1. Innen pedig a2004=(a3)668=1, ennek a reciproka is 1, összegük 2, ez tehát a végeredmény. Hogy minek gépeltem az előbb ennyit???
|
Előzmény: [388] Sirpi, 2004-06-17 13:01:13 |
|
[390] lorantfy | 2004-06-17 16:01:24 |
Szia Sirpi!
Tetszik az f(k) függvényed! Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.
Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam, hogy mivel a=1 nem megoldása az egyenletnek, be lehet szorozni mindkét oldalt (a-1)-el.
Így (a-1)(a2+a+1)=0 vagyis a3-1=0 és ha a3=1 akkor persze a2004=1, tehát a keresett kifejezés értéke 2.
Persze a megoldás elég "misztikus" annak aki a komplex számokat nem ismeri. Hogy lehet az, hogy a1 és a3=1?
|
Előzmény: [388] Sirpi, 2004-06-17 13:01:13 |
|
[391] Sirpi | 2004-06-17 16:38:57 |
Komplex számok ismerete nélküli megoldásként én arra gondoltam...
Igen, ez az egyszerű, de a második hozzászólásomban erre már én is rájöttem :-)
Az alapállítást f(1)=-1 jelenti, csak (*)-ból nem jöhet ki az állítás.
Teljesen jogos, pontatlanul fogalmaztam. A megoldás vázlata kb. így néz ki:
f(k+3)=f(k)f(3)-f(k-3)=2f(k)-f(k)=f(k), kihasználva az indukciót, a (*) összefüggést, valamint azt, hogy f(3)=2. Utóbbi pedig könnyen látszik, még ha nem is közvetlenül számolunk, akkor is: f(2)=f(1)f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(1)f(2)-f(1)=(-1)2-(-1)=2
Tudom, túlragoztam a dolgot...
|
Előzmény: [390] lorantfy, 2004-06-17 16:01:24 |
|
|
[393] Fálesz Mihály | 2004-06-18 14:06:40 |
Mutassunk példát olyan valós függvényre, ami csak a 0-ban differenciálható, de ott kétszer is.
|
|
[394] Lóczi Lajos | 2004-06-24 12:55:57 |
Kedves Mihály!
Ahhoz, hogy egy valós függvény deriváltját a 0-ban kiszámolhassuk, szükséges, hogy a függvény értelmezve legyen legalább egy 0-hoz torlódó pontsorozat mentén.
Nem beszélhetünk tehát "csak az origóban deriválható függvényről, amely ott ráadásul kétszer is deriválható", hiszen a második derivált 0-beli értékének kiszámításához az előző bekezdés értelmében ismernünk kellene az első derivált értékeit egy 0-hoz torlódó pontsorozat mentén. Mivel azonban az első derivált csak a 0-ban van definiálva, ez nem lehetséges.
A válasz tehát, hogy ilyen függvény nincs.
|
Előzmény: [393] Fálesz Mihály, 2004-06-18 14:06:40 |
|
[395] lorantfy | 2004-06-27 12:54:37 |
85. feladat: Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:
(x+y)2-4(x-y)=13
|
|
[396] nadorp | 2004-06-28 08:35:24 |
Úgyis régen szóltam hozzá. Megoldás a 85. feladatra.
Egészítsük ki az egyenlet bal oldalát teljes négyzetté.Ekkor
(x+y)2-4(x-y)+4(x-y)2=13+4(x-y)2
[x+y-2(x-y)]2=13+(2x-2y)2
(x-3y)2-(2x-2y)2=13
Két négyzetszám különbsége csak a 49 és 36 esetén lesz 13, ezért a
x-3y=7
x-y=3
egyenletrendszereket kell megoldani. Látható, hogy a négy egyenletrendszerből csak y=2 x=-1 esetén kapunk megoldást.
|
Előzmény: [395] lorantfy, 2004-06-27 12:54:37 |
|