Fórum: Érdekes matekfeladatok

If &tex;\displaystyle \ln(2\pi)<\log_{2}(2+\sqrt{3})<\ln(3\pi)&xet; Then number of real roots of &tex;\displaystyle 4\cos(e^x) = 2^x+2^{-x}&xet;

also thanks Fálesz Mihály

Ezt olvasva, a Kömal-szerkesztőket kérdezem:

Hány hónapos nem közlés után vehető tutira, hogy egy kitűzésre javasolt feladatot tényleg, végleg ejtettek? (Mondjuk A. v. B./6 pontos lenne a példa.)

Egy ilyen, Kömal-szerkesztőségi parkolópályán veszteglő feladatot a javaslattevő később esetleg továbbíthatna más folyóirathoz, "más versenyre, vagy valamilyen gyakorlaton házi- vagy vizsgafeladatként", ahogyan azt "jonas" bölcsen írta.

Azaz: mennyi az elévülési idő, kedves Kömal-szerkesztők?

Nagyon szeretnem tudni a megoldas:

Egy ember azt állítja, hogy ránézésre meg tudja állapítani egy fáról, hogy hány levele van.

Hogyan tudnánk meggyőződni arról, hogy igazat beszél-e?

Forras: Algebra 7-8 evfolyam (Fazekas math. )

Menjünk el egy olyan fához aminek ránézésre sokszáz levele van (nyilván egy 4-5 levelű fának bárki megszámolja a leveleit).

Kérdezzük meg, hogy hány levele van, majd játszunk 10 fordulót: minden egyes fordulóban bekötjük az (ál)fejszámoló szemét, és \(\displaystyle \frac 12\) valószínűséggel letépünk egy levelet a fáról (szabályos érme feldobásával is eldönthetjük ezt), majd levesszük a kötést a szeméről és megkérdezzük a levelek számát. Így a fának még mindig sok levele marad, és a döntésünktől függetlenül minden fordulóban, ha álfejszámoló, akkor \(\displaystyle \frac 12\) esélye van eltalálni a levelek számát (feltéve, hogy tudja, hogy ezt a játékot játsszuk vele). Így, ha nem igazi fejszámoló, akkor \(\displaystyle \frac{1}{1024}<0.001\) esélye van, hogy átmenjen ezen a teszten, azaz roppant nagy valószínűséggel lebukik, ha álfejszámoló.

ps. Figyeljük meg, hogy mi sem tudjuk, hogy az egyes fordulók végén hány levél van a fán, de ha az első kérdésre \(\displaystyle l\) volt a válasza, akkor \(\displaystyle 1\) levél letépése után, ha nem \(\displaystyle (l-1)\)-et válaszol, akkor vagy most tévedett, vagy a legelső kérdésnél és ekkor nem \(\displaystyle l\) levél volt a fán. Hasonló érveléssel például az is eldönthető, hogy valaki a levélszám paritását meg tudná mondani: egy levél letépésénél a paritás változik, egyébként megmarad. Továbbá nyilván úgy is eldönthető lenne, hogy igazat mond-e, hogy \(\displaystyle l\) levelet letépünk, de \(\displaystyle l<1024\)-nél az én tesztem pontosabb, és gyorsabb, környezetbarátabb.

15261198345933964248972668816735. feladat

Igazak-e a következők minden \(\displaystyle 2\le n \) egész számra?

(a) \(\displaystyle n \) akkor és csak akkor prím, ha minden \(\displaystyle 1\le k<n \) egészre

\(\displaystyle \binom{n}{k} \equiv 0 \pmod n \)

(b) \(\displaystyle n \) akkor és csak akkor prím, ha minden \(\displaystyle 1\le k<n-1 \) egészre

\(\displaystyle \binom{n-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod n \)

Kedves fórumozók!

A KöMaL-ban van matek, fizika, mérési és informatika pontverseny is, de vannak olyan példák, amik egyik kategóriába sem passzolnak. Olyan kreativitást igénylő fejtörők, amikhez nem a tananyag ismerete a fontos, diákok és felnőttek számára egyaránt élvezetesek tudnak lenni. Jómagam annak idején lelkes KöMaL versenyző voltam több pontversenyben is, jelenleg pedig rendszeres példa kitűző vagyok, de úgy éreztem, hogy szükség lenne egy új pontversenyre, ami szerintem hiánypotló. Ez az új pontverseny szándékom szerint egy űrt töltene be, ami a KöMaL és a sablonos tömegrejtvények műfaja közé esne. Kísérleti jelleggel egy éven keresztül a blogomon futott egy ilyen pontverseny, lásd a Fejtörő feladatok címkét a duplapluszjo.blogspot.hu oldalon. Erre felfigyelt egy újonnan induló ismeretterjesztő napi híportál, a Qubit, ahol november óta nagy sikerrel és nagy látogatottsággal fut az Ész Ventura rovat. Jelenleg az év utolsó fejtörőjét még be lehet küldeni péntekig. Jövőre pedig indul a 2018-as pontverseny, amit szeretnék mindenki figyelmébe ajánlani, aki szereti a fejtörőket. Ha kíváncsi valaki, hogy milyen jellegű példákról beszélek, akkor nézze meg a blogomat vagy keressen rá a Ventura szóra a Qubit keresőjében. Előre is hálás köszönet, és ha tetszik, akkor terjesszétek!

Bizonyítsuk be: ha

\(\displaystyle {x\in\Re}\), akkor

\(\displaystyle {\sin(x) + \sin([x]) + \sin(\{x\}) \le \frac{13}5.}\)

Aranyos.

Legyen x=n+r, ahol n egész és \(\displaystyle 0\leq r <1\). Ekkor felhasználva, hogy \(\displaystyle r<\pi\)

\(\displaystyle A(x)=\sin x+\sin[x]+\sin\{x\}=\sin(n+r)+\sin n +\sin r=2\sin(n+\frac r2)\cos\frac r2+\sin r\leq 2\cos\frac r2+\sin r\)

Mivel \(\displaystyle r<\frac\pi3\) és az \(\displaystyle f(x)=2\cos\frac x2+\sin x\) könnyen láthatóan a \(\displaystyle [0,\frac\pi3]\) intervallumon szigorúan monoton nő, ezért

\(\displaystyle A(x)<2\cos\frac12+\sin1=2,59...<\frac{13}5\).

A fenti felső becslés már nem javítható, ugyanis a Dirichlet tételből (http://mathworld.wolfram.com/DirichletsApproximationTheorem.html) következik, hogy

\(\displaystyle |n+\frac 12-\frac\pi2-2k\pi|\) tetszőlegesen kicsi lehet alkalmas k és n esetén.

A Re parancs (\(\displaystyle \Re\)) az a valós rész inkább, mint a valós számok halmaza. Legalábbis a legtöbb render fraktúr