Rejtvények, ördöglakatok: Szoliterek megoldása

Gál Péter

Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.

Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.

Az egyik legrégebben ismert egyszemélyes logikai játék a szoliter. Már a Napkirály udvarában játszottak vele, kicsit később pedig korának egyik legnagyobb tudósa, Gottfried Wilhelm Leibniz is elismerően nyilatkozott róla.

A szoliter legismertebb változatát egy 33 mezős, kereszt alakú táblán játsszák. Ezt hívják angol táblának. Kezdetben a középsőt kivéve minden mezőn áll egy bábu. Cél az elrendezés megfordítása, vagyis, hogy csak a középső mezőn álljon egy bábu!

Ezt a feladatot tűztük ki rovatunkban a KöMaL 2025. márciusi számában. Ebben a cikkben a feladvány részletes elemzése olvasható.

1. ábra

Egy lépésben egy szomszédos bábut kell átugrani. Ezt csak akkor lehet megtenni, ha mögötte üres hely található. Ugrani vízszintesen vagy függőlegesen szabad, de átlósan nem. Az átugrott bábut azonnal le kell venni.

Ezek a játék szabályai, de pusztán a szabályok ismeretében a feladat szinte megoldhatatlanul nehéz. (Ebben talán hasonlít egy kicsit a bűvöskockára.) Már az is szép eredmény, ha sikerül elérni, hogy csak 3-4 bábu maradjon a táblán, tetszőleges elrendezésben. A következőkben olyan módszerekről lesz szó, amelyek segítségével nem csupán egyszerűen megoldhatóvá válik a feladat, de az eljárások más táblákon is sikerrel alkalmazhatóak.

Tekintsük a következő kezdőállást és lépéssorozatot:

2. ábra

A világosabb bábuk eltűntek, míg a sötétebb a helyén maradt. A világosabb bábuk ilyen elrendezését nevezzük önmegsemmisítő alakzatnak, a sötétet pedig katalizátornak. A következő állás hasonló:

3. ábra

Itt a lépéssorozat végén az előző (2.) ábra kezdőállását kaptuk (elforgatott helyzetben, de ez a megoldás szempontjából lényegtelen), vagyis ez is egy önmegsemmisítő alakzat. A katalizátor lehet az X-szel jelölt helyen is.

És még egy, talán a legszellemesebb:

4. ábra

De hogyan használhatjuk ezeket az alakzatokat az eredeti játék megoldására? Osszuk fel a táblát ilyen önmegsemmisítő alakzatokra úgy, hogy a szükséges üres mezőkre és katalizátorokra is figyeljünk. Pl. egy lehetséges felosztást mutat az 5. ábra.

5. ábra

A számok sorrendjében el tudjuk távolítani az önmegsemmisítő alakzatokat. Ezek után a két körül nem kerített bábu marad a táblán. Az alsóval beugorhatunk a tábla közepére, így megoldottuk a feladványt.

Még könnyebben megjegyezhető módszert kapunk, ha a 6. ábra szerinti alakzatot és lépéseket jegyezzük meg.

6. ábra

A kiinduló lyukas L-ből eljutunk az ,,inverzéhez'', amikor csak ott van bábu, ahol eredetileg nem volt. Ennek felhasználásával feloszthatjuk a táblát a 7. ábrán látható módon.

  
8. ábra

Először az 1-es, majd a 2-es bábuval lépve megkapunk egy lyukas L-et. Ennek inverze után lesz hely a következő L-hez, majd a harmadikhoz, aztán a negyedikhez. Ezek után a 8. ábrán látható, már egyszerűen megoldható táblát kapjuk.

Ennek megoldását már az olvasóra bízzuk.

* * *

Eddig az angol tábla megoldási lehetőségeivel foglalkoztunk. Most térjünk át a francia táblára. A francia tábla a 9. ábrán látható, az angol táblához négy sarokmezőt illesztve kapjuk.

9. ábra

Vajon megoldható-e az alapfeladvány? El lehet-e érni, hogy a középső mező kivételével teli tábláról eljussunk ennek inverzéhez, amikor csak a középső mezőn áll bábu?

10. ábra

Betűzzük meg a mezőket a 10. ábra szerint.

Minden lépésben három különböző betűvel jelölt mező érintett. Ezek közül kettőn eggyel csökken a bábuk száma, a harmadikon pedig eggyel nő, és a táblán szereplő bábuk száma is eggyel csökken. Vagyis, ha kivonjuk pl. az A-val jelölt mezőkön szereplő bábuk számát a táblán levőkéből, akkor ennek paritása nem változik akárhogy is lépünk. Ugyanez igaz a B-vel és C-vel jelölt mezőkre is.

Ha kezdetben minden mező foglalt, csak a középső, B-vel jelölt nem, akkor 12 mező foglalt minden betűvel jelölt közül. \(\displaystyle 36-12=28\), vagyis a különbség páros mindhárom esetben. Ez a játék során nem is fog változni. Ha az utolsó bábu a középső, B mezőn maradna, akkor a három különbség közül csak egy lenne páros, a másik kettő páratlanná válna, ami lehetetlen. Így beláttuk, hogy a francia táblán nemcsak az alapfeladvány megoldhatatlan, hanem mindegyik, ahol kezdetben a középső mező üres egyedül, sőt az is következik az eddigiekből, hogy akármelyik B-vel jelölt mező üres kezdetben, megoldhatatlan feladványt kapunk.

Mi a helyzet abban az esetben, ha egy A vagy C jelű mező üres kezdetben? Ilyenkor megoldható az inverz feladvány? Ebben az esetben, ha 36 bábu van a táblán, akkor 13 B jelű mező foglalt, és 11 A, illetve 12 C jelű (vagy fordítva, 12 A és 11 C jelű). A három különbség közül kettő páratlan, egy pedig páros. Ez lehetséges a megoldott táblán is, mert a végén egy bábu esetén is ugyanez a helyzet. Az is következik az eddigiekből, hogy ha kezdetben A jelű mező volt üres, akkor a végén C jelűn maradhat csak bábu, és fordítva. Vagyis sosem oldható meg az inverz probléma.

11. ábra

Az előbbi okfejtések mind csak szükséges feltételei a megoldhatóságnak. Az eddigiek alapján az is elképzelhető, hogy semmilyen kezdő állásból, ahol csak egy üres mező van, nem érhető el az, hogy csak egyetlen bábu maradjon a táblán. Szerencsére ez nincs így. Van néhány (szimmetriáktól eltekintve mindössze három) mező, amelyek közül kezdéskor egyet üresen hagyva, megoldható feladványt kapunk. Ezek közül lássunk egyet, a megoldást is bemutatva a már megismert önmegsemmisítő alakzatokkal, lásd 11. ábra.

Az ábrán S jelöli a kezdetben üres mezőt, C pedig azt, ahova a végén érkezik az utolsó bábu.

Láttuk, hogy a francia táblán nem megoldható az inverz probléma, semelyik kezdetben üres mező esetén sem. Van-e olyan tábla, ahol akármelyik mező üresen marad, és megoldható az inverz feladvány? Belátható, hogy az angol tábla is ilyen, de vajon létezik-e kisebb, egyszerűbb? George Bell és társai számítógépes elemzésekkel megtalálták a legkisebb, négyzetes szimmetriával rendelkező, minden mezőre megoldható táblákat. Érdemes ezeken is kipróbálni az inverz feladványokat, komolyabb elméleti háttér nélkül is megoldhatóak.

12. ábra