Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
Jócsik Csilla (Győr)
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium matematika munkaközössége
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
Kozma Katalin Abigél
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
Németh László (Fonyód)
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.
a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\), (5 pont)
b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\). (5 pont)
Bíró Bálint
1. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \cos\Bigl(\dfrac{\pi}{6}\cos{x}\Bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) egyenletet. (5 pont)
b) Határozza meg a \(\displaystyle px+ry=28\) egyenletben szereplő \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) pozitív prímszámokat, ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számpár a \(\displaystyle \sqrt{3x+y+5}=4x-20\); \(\displaystyle x^2+y=29\) egyenletrendszer megoldása. (7 pont)
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) ...
Kozma Katalin Abigél (Győr)
1. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.
