Tatár Zsuzsanna Mária, Esztergom
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
Megoldás. a) Az alap miatt \(\displaystyle x>0\) és \(\displaystyle x\ne1\), az argumentum miatt \(\displaystyle -2x^2-7x+15>0\). Az egyenlőtlenség megoldása \(\displaystyle -5<x<1{,}5\), ezért a természetes számok halmazán nincs értelmezve a kifejezés, hiszen \(\displaystyle x\neq1\) és \(\displaystyle x\neq0\).
b) A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle {\dfrac{x^2-2x}{-2x^2+9x-9}}\geq0\). A számláló pozitív, ha \(\displaystyle x<0\), vagy \(\displaystyle x>2\), negatív, ha \(\displaystyle 0<x<2\), nulla az értéke, ha \(\displaystyle x=0\) vagy \(\displaystyle x=2\). A nevező pozitív, ha \(\displaystyle -5<x<1{,}5\), negatív, ha \(\displaystyle x<-5\), vagy \(\displaystyle x>1{,}5\). Ezért a kifejezés a következő természetes számokon értelmezhető: \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 2\). Ekvivalens átalakításokat végeztünk.
2. Egy online játékban a koordináta-rendszer origójából kell eljutni a katicabogár figurával az \(\displaystyle F(8; 4)\) koordinátájú pontba. A katicabogárral minden lépésben csak jobbra vagy felfelé léphetünk egyet.
a) Hányféle úton juthat el a katica az origóból \(\displaystyle F\)-be? (Két útvonal különböző, ha az egyikben lépünk olyan rácspontra, amelyre a másikban nem.) (6 pont)
b) Az \(\displaystyle F(8;4)\) koordinátájú pont egy parabola fókuszpontja. Mi lehet a parabola egyenlete, ha tudjuk, hogy a parabola tengelye párhuzamos az \(\displaystyle y\) tengellyel és a \(\displaystyle 10\) ordinátájú pontban metszi az \(\displaystyle y\) tengelyt? (6 pont)
Megoldás. a) Az \(\displaystyle F(8;4)\) koordinátájú pontba az origóból \(\displaystyle 8\) balra és \(\displaystyle 4\) felfelé irányuló lépéssel lehet eljutni. Például (\(\displaystyle b\)-balra, \(\displaystyle f\)-felfelé) \(\displaystyle bbbbbbbbffff\) vagy \(\displaystyle fbfbffbbbbbb\). A betűk különböző sorrendje adja meg a lehetséges utakat: \(\displaystyle \dfrac{12!}{8!\cdot4!}=495\), tehát 495-féle úton juthat a katica az origóból az \(\displaystyle F\) pontba.
b) A parabola tengelypontja \(\displaystyle T(u;v)\), paramétere \(\displaystyle p\) (\(\displaystyle p>0\)). A parabola az \(\displaystyle y\) tengelyt \(\displaystyle 10\)-ben metszi, ezért pontja a \(\displaystyle P(0;10)\) pont. Mivel a parabola tengelye az \(\displaystyle y\) tengellyel párhuzamos, ezért két esetet vizsgálunk.
Ha a parabola ,,lefele nyíló'', tengelypontja \(\displaystyle T\left(8;4+\frac{p}{2}\right)\), ekkor az egyenlete
\(\displaystyle y-v=-\frac{(x-u)^2}{2p}. \)
Ebbe az összefüggésbe behelyettesítve \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle P\) koordinátáit:
\(\displaystyle 10-\left(4+\frac{p}{2}\right)=-\frac{(0-8)^2}{2p}. \)
Rendezve az egyenletet: \(\displaystyle p^2-12p-64=0\). A pozitív megoldás a parabola paramétere: \(\displaystyle p=16\), tehát az egyik lehetséges parabola egyenlete \(\displaystyle y-12=-\dfrac{(x-8)^2}{32}\).
Ha pedig a parabola ,,felfele nyíló'', tengelypontja \(\displaystyle T\left(8;4-\frac{p}{2}\right)\), az egyenlete pedig
\(\displaystyle y-v=\frac{(x-u)^2}{2p}. \)
Ebbe ez összefüggésbe behelyettesítve \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle P\) koordinátáit:
\(\displaystyle 10-\left(4-\frac{p}{2}\right)=\frac{(0-8)^2}{2p}. \)
Rendezve ezt az egyenletet: \(\displaystyle p^2+12p-64=0\), pozitív megoldása: \(\displaystyle p=4\). Így a másik lehetséges parabola egyenlete \(\displaystyle y-2=\dfrac{(x-8)^2}{8}\).
3. Egy napközis csoport minden tagja egész délután papírrepülőket hajtogat. A tapasztalat szerint a meghajtogatott repülők \(\displaystyle 3\) százaléka hibás – nem lehet repülésre bírni.
a) Mennyi a valószínűsége, hogy ha \(\displaystyle 5\)-öt kiválasztunk – visszatevéssel – a papírrepülők közül, lesz köztük hibás? (5 pont)
Egy tanuló statisztikát készített a \(\displaystyle 10\) percenként elkészülő papírrepülők számából. Azt tapasztalta, hogy az adatok mediánjának és alsó kvartilisének összege \(\displaystyle 28\), a felső és alsó kvartilis különbsége \(\displaystyle 6\), valamint a felső kvartilis és medián eltérése \(\displaystyle 4\).
b) Határozza meg az adatok ezen jellemzőit. (4 pont)
c) Ábrázolja dobozdiagramon az adatokat, ha a minimum \(\displaystyle 8\), a maximum pedig \(\displaystyle 22\) és kiugró érték nincs. (3 pont)
d) A csoport tagjai elhatározták, hogy felújítanak egy régi szokást: képeslappal lepik meg egymást a nyári szünetben. Ezért kicserélték egymással a lakcímüket (kölcsönösen). Egy gráfon képzelték el a cseréket. Az élek jelentették a lakcímcserét. Ha kettővel többen lettek volna – és ők is kicserélik mindenkivel a címüket –, a gráfnak \(\displaystyle 45\)-tel több éle lett volna. Hányan voltak a csoportban? (3 pont)
Megoldás. a) Ha hibás van a repülők között, az lehet \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) vagy több, akár \(\displaystyle 5\) is. Ezért egyszerűbb a komplementer esemény valószínűségét meghatározni először: nincs a kiválasztottak között hibás.
\(\displaystyle p(\text{van köztük hibás})=1-p(\text{nincs köztük hibás})=1-{0{,}97}^5\approx0{,}14, \)
tehát \(\displaystyle 14\) százalék annak a valószínűsége, hogy lesz a kiválasztottak között hibás.
b) Vezessük be a következő jelöléseket. Alsó kvartilis: \(\displaystyle a\), medián: \(\displaystyle m\), felső kvartilis: \(\displaystyle f\). Így \(\displaystyle m+a=28\), \(\displaystyle f-a=6\) és \(\displaystyle f-m=4\). Az egyenletrendszer megoldása \(\displaystyle a=13\), \(\displaystyle m=15\), illetve \(\displaystyle f=19\). (A kapott értékek megfelelnek a feladat szövegének.)
c)
d) Ha \(\displaystyle n\) fő cserél címet, a kialakuló \(\displaystyle n\) pontú gráfban \(\displaystyle \binom{n}{2}\) él lesz. Kettővel több résztvevő esetén \(\displaystyle \binom{n+2}{2}\) él lesz. Ezért
amiből \(\displaystyle n=22\), tehát eredetileg \(\displaystyle 22\)-en voltak a csoportban.
Másképp: mindketten \(\displaystyle n\) emberrel cserélnének lakcímet és még egymás között, azaz \(\displaystyle 2n+1=45\), amiből \(\displaystyle n=22\). (A kapott érték megfelel a feladat feltételeinek.)
4. Egy háromszög mindhárom oldalára kifelé egy-egy, a háromszög oldalával egyenlő oldalhosszúságú négyzetet rajzolunk. A szomszédos négyzetek szabad csúcsait összekötve kapjuk az \(\displaystyle ADE\), \(\displaystyle CFG\) és \(\displaystyle BHI\) háromszögeket az ábrának megfelelően.
a) Bizonyítsa be, hogy ezeknek a háromszögeknek a területe egyenlő az eredeti \(\displaystyle ABC\) háromszög területével. (4 pont)
b) Határozza meg a \(\displaystyle DEFGHI\) hatszög területét, ha az eredeti háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle 6\) cm, \(\displaystyle 7\) cm és \(\displaystyle 8\) cm. (6 pont)
c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét, ha \(\displaystyle \alpha\) tetszőleges valós szám.
\(\displaystyle A\): \(\displaystyle \cos(270^{\circ}+\alpha)=\sin(\alpha)\)
\(\displaystyle B\): \(\displaystyle 1+\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)\)
\(\displaystyle C\): \(\displaystyle \sin(60^{\circ}-\alpha)=\cos(30^{\circ}+\alpha)\) (3 pont)
Megoldás. a) Az \(\displaystyle ABC\) háromszög megfelelő oldalhosszait a szokásoknak megfelelően \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\)-vel, belső szögeit pedig \(\displaystyle \alpha\)-val, \(\displaystyle \beta\)-val, illetve \(\displaystyle \gamma\)-val jelölve az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe
\(\displaystyle t=\frac{ab\sin(\gamma)}{2}=\frac{bc\sin(\alpha)}{2}=\frac{ac\sin(\beta)}{2}. \)
A \(\displaystyle DAE\) szög nagysága
\(\displaystyle 360^\circ-2\cdot 90^\circ-\alpha=180^\circ-\alpha, \)
ezért az \(\displaystyle ADE\) háromszög területe
\(\displaystyle \frac{bc\sin(180^\circ-\alpha)}{2}=\frac{bc\sin(\alpha)}{2}=t. \)
A másik két új háromszög területéről is hasonlóan be lehet látni, hogy az eredeti háromszög területével egyenlők.
b) Koszinusztétellel kiszámíthatjuk az \(\displaystyle ABC\) háromszög egy szögét. Például
Innen \(\displaystyle \alpha \approx 75{,}52^\circ\). Így a háromszög területe \(\displaystyle T_{\triangle}=\dfrac{7\cdot6\cdot 75{,}52^\circ}{2}\approx 20{,}33~\mathrm{cm}^2\). A hatszög területe
\(\displaystyle T_{\text{hatszög}}=a^2+b^2+c^2+4T_{\triangle}=8^2+7^2+6^2+4\cdot20{,}33=230{,}32~\mathrm{cm}^2. \)
c) Az állítások logikai értéke: \(\displaystyle A\): igaz, \(\displaystyle B\): hamis, \(\displaystyle C\): igaz.
5. Egy háromszög \(\displaystyle b\) oldalához tartozó magassága, az \(\displaystyle a\) oldala, a \(\displaystyle b\) oldala és a \(\displaystyle c\) oldala centiméterben kifejezve ebben a sorrendben egy \(\displaystyle 2\) differenciájú számtani sorozat négy egymást követő tagja.
a) Hányszorosa a háromszög területének mérőszáma a kerület mérőszámának? (8 pont)
b) Mekkora részekre osztja a \(\displaystyle b\) oldalt a hozzátartozó magasság? (3 pont)
c) Bizonyítsa be, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle 2^{4n}+4\) kifejezés osztható \(\displaystyle 20\)-szal. (5 pont)
Megoldás. a) Jelölje \(\displaystyle b\) a középső oldalt, ekkor \(\displaystyle a=b-2\), \(\displaystyle c=b+2\). Legyen a \(\displaystyle b\) oldalhoz tartozó magasság \(\displaystyle m\). A feladat feltétele szerint \(\displaystyle m=b-2d=b-4\). Mivel \(\displaystyle m>0\), ezért \(\displaystyle b>4\) lehet csak. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen, egyrészt az alap és a hozzá tartozó magasság segítségével: \(\displaystyle T=\dfrac{1}{2}bm=\frac{b(b-4)}{2}\). Másrészt használjuk a Héron-képletet:
\(\displaystyle T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \)
ahol \(\displaystyle s=\dfrac{a+b+c}{2}\) a félkerület. Behelyettesítve az oldalak kifejezéseit:
\(\displaystyle s=\frac{(b-2)+b+(b+2)}{2}=\frac{3b}{2}. \)
Ezért
\(\displaystyle T=\sqrt{\frac{3b}{2}\left(\frac{b+4}{2}\right)\frac{b}{2}\left(\frac{b-4}{2}\right)}=\frac{b(b-4)}{2}. \)
A terület pozitív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
\(\displaystyle 3\cdot \frac{b}{2}\cdot\frac{b+4}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{b-4}{2}=\frac{b^2(b-4)^2}{4}, \)
ahonnan a pozitív \(\displaystyle b^2(b-4)\)-gyel osztva és 16-tal szorozva \(\displaystyle 3(b+4)=4(b-4)\), azaz \(\displaystyle b=28\) cm adódik. Ekkor \(\displaystyle m=b-4=24\), a háromszög másik két oldala pedig \(\displaystyle {a=28-2=26}\), illetve \(\displaystyle c=28+2=30\) centiméter hosszú. A kapott hosszúságokkal valóban szerkeszthető háromszög, amelynek a kerülete \(\displaystyle K=84\) cm, a területe \(\displaystyle {T=\dfrac{28~\mathrm{cm}\cdot 24~\mathrm{cm}}{2}=336~\mathrm{cm}^2}\), tehát a terület és kerület mérőszámának aránya: \(\displaystyle \dfrac{336}{84}=4\).
b) A háromszög \(\displaystyle b\) oldalához tartozó magassága az \(\displaystyle a\) oldallal és a \(\displaystyle b\) oldal egyik szeletével derékszögű háromszöget hoz létre.
Pitagorasz-tétellel kiszámítható a \(\displaystyle b\) oldal két szeletének hossza: \(\displaystyle 10\) cm és \(\displaystyle 18\) cm. Ekkora részekre osztja a \(\displaystyle b\) oldalt a hozzá tartozó magasság.
c) \(\displaystyle 2^{4n}+4=16^n+4\) nyilván osztható 4-gyel. 16 minden hatványa 6-ra végződik, ehhez 4-et adva 0-ra végződő, tehát 10-zel osztható számot kapunk. Ezért \(\displaystyle 2^{4n}+4\) osztható 4 és 10 legkisebb közös többszörösével, 20-szal is.
De teljes indukcióval is bizonyítható az állítás. Az első lépésben megvizsgáljuk, hogy teljesül-e az adott tulajdonság 1-re.
1. Az állítás teljesül 1-re. \(\displaystyle 2^{4\cdot 1}+4=20\), valóban osztható 20-szal.
2. Be kell bizonyítanunk, hogy ha egy számra teljesül az adott oszthatóság (indukciós feltétel), akkor a nála 1-gyel nagyobb számra is teljesül. Vagyis ha például \(\displaystyle 2^{4n}+4\) osztható 20-szal, akkor \(\displaystyle 2^{4(n+1)}+4\) is osztható 20-szal.
Ezt ekvivalens algebrai átalakítással vezetjük le.
\(\displaystyle 2^{4(n+1)}+4=2^4\cdot 2^{4n}+2^4\cdot 4-2^4\cdot 4+4=2^4(2^{4n}+4)-60. \)
Ez a kifejezés pedig osztható \(\displaystyle 20\)-szal, hiszen az indukciós feltétel miatt \(\displaystyle 2^{4n}+4\) osztható \(\displaystyle 20\)-szal, és a \(\displaystyle 60\) is többszöröse \(\displaystyle 20\)-nak. Beláttuk, hogy az állítás öröklődik \(\displaystyle n\)-ről \(\displaystyle (n+1)\)-re, ezért az állítás is igaz minden pozitív egész számra.
6. Koordináta-rendszerbe rajzolunk két körvonalat. A körök egyenlete \(\displaystyle x^2+y^2-14x-12y+60=0\) és \(\displaystyle x^2+y^2-2x-6y=0\). A nagyobb sugarú kör középpontja legyen \(\displaystyle O_1\), a kisebb sugarú kör középpontja legyen \(\displaystyle O_2\). A két kör metszéspontjait jelölje \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\).
a) Igazolja, hogy az \(\displaystyle O_1AB\) háromszög területe kétszer akkora, mint az \(\displaystyle O_2AB\) háromszög területe. (8 pont)
Tekintsük az \(\displaystyle x^2+y^2-14x-12y+60\leq 0\) és \(\displaystyle x^2+y^2-2x-6y\leq \) körlapokat mint ponthalmazokat.
b) Határozza meg a két ponthalmaz metszetének területét. (5 pont)
c) Adja meg a két ponthalmaz egyesítésének területét. (3 pont)
Megoldás. a) Első kör: \(\displaystyle (x-7)^2+(y-6)^2=25\), ennek középpontja \(\displaystyle (7;6)\), sugara: \(\displaystyle r_1=5\). Második kör: \(\displaystyle (x-1)^2+(y-3)^2=10\), ennek középpontja \(\displaystyle (1;3)\), sugara: \(\displaystyle {r_2=\sqrt{10}}\). Az első kör sugara nagyobb, így annak a középpontja \(\displaystyle O_1\), a másiké \(\displaystyle O_2\).
Meghatározzuk a két kör metszéspontját. A két kör egyenletének különbségéből \(\displaystyle 2x+y-10=0\), ahonnan \(\displaystyle y=10-2x\). Ezt behelyettesítve a második kör egyenletébe, egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x^2-6x+8=0\). Ennek az egyenletnek a megoldásai: \(\displaystyle x_1=4\), \(\displaystyle x_2=2\), innen: \(\displaystyle y_1=2\), \(\displaystyle y_2=6\). Ezért \(\displaystyle A(4;2)\) és \(\displaystyle B(2;6)\) (vagy fordítva, de ennek nincs jelentősége).
Mivel \(\displaystyle BO_1\) oldal párhuzamos az \(\displaystyle x\) tengellyel, az \(\displaystyle O_1AB\) háromszögben hozzá tartozó magasság \(\displaystyle 4\) egység, így az \(\displaystyle O_1 AB\) háromszög területe:
\(\displaystyle t_1=\frac{5 \cdot 4}{2}=10~\text{területegység}. \)
Az \(\displaystyle O_2AB\) háromszög oldalainak hossza:
\(\displaystyle O_2B=O_2A=\sqrt{10}, \qquad AB=\sqrt{20}, \)
ezért ez a háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Területe:
\(\displaystyle \frac{(\sqrt{10})^2}{2}=5~\text{területegység}, \)
tehát \(\displaystyle O_1AB\) háromszög területe kétszer akkora, mint az \(\displaystyle O_2 AB\) háromszög területe.
b) A két kör metszetének területe két körszelet területének összegeként számítható ki. A kisebb körből levágott körszelet területe: az \(\displaystyle O_2AB\) körcikk területéből kivonjuk az \(\displaystyle O_2AB\) háromszög területét.
\(\displaystyle \frac{(\sqrt{10})^2 \cdot \pi}{4}-5 \approx 2{,}85~\text{területegység.} \)
A nagyobb körből levágott körszelet területéhez először kiszámítjuk a \(\displaystyle BO_1A\) szöget koszinusztétellel:
\(\displaystyle 20=5^2+5^2-2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos \alpha, \qquad \alpha \approx 53{,}13^\circ. \)
Az \(\displaystyle O_1AB\) körcikk területéből kivonjuk az \(\displaystyle O_1AB\) háromszög területét:
\(\displaystyle \frac{53{,}13^\circ}{360^\circ} \cdot 5^2 \cdot \pi-10 \approx 1{,}59~\text{területegység}. \)
Így a két kör alakú ponthalmaz metszetének területe: \(\displaystyle 4{,}44\) területegység.
c) A két ponthalmaz uniójának területét megkapjuk, ha a két kör területének összegéből kivonjuk a két kör metszetének területét:
\(\displaystyle 5^2\pi+\big(\sqrt{10}\big)^2\pi-4{,}44 \approx 105{,}52~\text{területegység.} \)
7. Háromszögszámnak nevezzük az olyan számot, amelyet megkaphatunk úgy, hogy \(\displaystyle 1\)-től valameddig az összes természetes számot összeadjuk. Az első \(\displaystyle n\) pozitív egész szám összege az \(\displaystyle n\)-edik háromszögszám. Az ábrán látható elrendezés mutatja, hogy miért nevezik háromszögszámoknak.
a) Az első száz pozitív természetes számból kiválasztunk egyet. Nézzük az alábbi eseményeket:
\(\displaystyle A\): a választott szám háromszögszám,
\(\displaystyle B\): a választott szám négyzetszám,
\(\displaystyle C\): a választott szám prímszám.
Határozza meg a következő valószínűségeket: \(\displaystyle P(A)\); \(\displaystyle P(A\cdot C)\); \(\displaystyle P\bigl(\overline{A+B}\bigr)\). (8 pont)
b) Az \(\displaystyle n\)-edik pozitív négyzetszámot hozzáadva az \(\displaystyle n\)-edik háromszögszámhoz \(\displaystyle 14\;751\)-et kapunk. Mennyi az \(\displaystyle n\) értéke, és melyek ezek a számok? (8 pont)
Megoldás. a) A háromszögszámok \(\displaystyle 100\)-ig könnyen felsorolhatók: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78 és 91, tehát 13 háromszögszám van 1 és 100 között, ezért \(\displaystyle P(A)=0{,}13\).
A felsorolt háromszögszámok között csak egy prímszám van, ezért \(\displaystyle P(A\cdot C)=0{,}01\).
A felsorolt háromszögszámok között két négyzetszám van, az 1 és a 36. A négyzetszámok száma tíz. Ezért olyan szám, amely négyzetszám vagy háromszögszám (a logikai szita alapján) \(\displaystyle 13+10-2=21\) van. Így
\(\displaystyle P(A+B)=\frac{21}{100}=0{,}21,\qquad \text{amiből} \qquad P\big(\overline{A + B}\big)=1-0{,}21=0{,}79. \)
b) Az \(\displaystyle n\)-edik háromszögszám az első \(\displaystyle n\) pozitív egész szám összege: \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\), ezért az \(\displaystyle n\)-edik háromszögszámhoz hozzáadva az \(\displaystyle n\)-edik négyzetszámot: \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+n^2=14\;751\), \(\displaystyle 3n^2+n-29\;502=0\). Ennek pozitív megoldása: \(\displaystyle n=99\). A 99-edik háromszögszám a 4950, a 99-edik négyzetszám a 9801. Ellenőrzés: ezek összege \(\displaystyle 14\;751\).
8. Adott két, a pozitív valós számok halmazán értelmezett függvény: \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}\), \(\displaystyle f(x)=\cos(x)\) és \(\displaystyle g\colon\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}\), \(\displaystyle g(x)=2x-\frac{\pi}{2}\).
a) Határozza meg a következő értékeket: \(\displaystyle f\left(g\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)\); \(\displaystyle g^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)\); \(\displaystyle g\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\). (3 pont)
b) Határozza meg az \(\displaystyle y\) tengely, az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) függvény grafikonja, továbbá az \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\) egyenes által közrezárt terület nagyságát. (5 pont)
c) Oldja meg a következő egyenletet a \(\displaystyle [0;2\pi]\) intervallumon:
Megoldás. a) \(\displaystyle f\left(g\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)=\cos\left(2\cdot \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\pi)=-1\).
A \(\displaystyle g^{-1}\) a \(\displaystyle g\) függvény inverze: \(\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\), \(\displaystyle g^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\).
\(\displaystyle g\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{2}=\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}\).
b)
A terület két darabból tehető össze: a \(\displaystyle \cos(x)\) függvény grafikonja alatti terület az adott intervallumon, és a \(\displaystyle (0; 0)\), \(\displaystyle \left(\frac{\pi}{4};0\right)\), \(\displaystyle \left(0;-\frac{\pi}{2}\right)\) csúcspontokkal megadott háromszög területe.
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos x\,dx=\left[\sin(x)\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071. \)
A háromszög területe:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{16}\approx 0{,}6169. \)
A kérdéses terület \(\displaystyle 1{,}324\) területegység.
c) Végezzük el az alábbi átalakításokat:
Innen: \(\displaystyle \cos(x)\approx 0{,}523\) vagy \(\displaystyle \cos(x)\approx -0{,}956\). Ha \(\displaystyle \cos(x)\approx 0{,}523\), akkor \(\displaystyle x_1 \approx 1{,}02\); \(\displaystyle x_2\approx 5{,}26\). Ha \(\displaystyle \cos(x)\approx -0{,}956\), akkor \(\displaystyle x_3 \approx 2{,}84\); \(\displaystyle x_4\approx 3{,}44\). Ez a négy érték valóban megoldása az egyenletnek.
9. Egy \(\displaystyle 60\) fokos nyílásszögű egyenes körkúpba két darab gömböt helyezünk egymás fölé úgy, hogy a nagyobbik gömb a kúp alapján nyugszik, a két gömb érinti egymást és a kúp palástját is.
a) Határozza meg a két gömb sugarának arányát. (7 pont)
b) Hányszor nagyobb a kúp térfogata a két gömb össztérfogatánál? (6 pont)
c) Adja meg a kúp térfogatát, ha tudjuk, hogy a magassága 18 cm. (3 pont)
Megoldás. a) Megrajzoljuk a kúp tengelymetszetét. A tengelymetszet háromszög szabályos, mert tengelyesen szimmetrikus és az egyik szöge \(\displaystyle 60^\circ\)-os.
A nagyobb kör (a szabályos háromszög beírható köre) középpontja \(\displaystyle O\), sugara \(\displaystyle R=OE\), a kisebb kör középpontja \(\displaystyle O_1\), sugara: \(\displaystyle r=O_1G\), ahol \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle E\) az oldallal vett érintési pontok. \(\displaystyle CO_1G\) háromszög hasonló \(\displaystyle COE\) háromszöghöz, hiszen megfelelő szögeik páronként egyenlők. A két kör érintési pontja \(\displaystyle H\). Mivel a \(\displaystyle CO_1G\) háromszög szögei \(\displaystyle 30^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\) és \(\displaystyle 90^\circ\) fokosak, \(\displaystyle CO_1=2O_1G=2r\), mivel a \(\displaystyle COE\) háromszög szögei is \(\displaystyle 30^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\) és \(\displaystyle 90^\circ\) fokosak, \(\displaystyle CO=2OE=2R\), így \(\displaystyle CH=3r=R\), tehát a két kör sugarának aránya: \(\displaystyle 1:3\).
b) A kúp alkotója legyen \(\displaystyle a\). Az alapkörének sugarát is fel tudjuk írni a beírt gömbök sugarainak segítségével. A tengelymetszet szabályos háromszög, a magassága \(\displaystyle 3R=a\frac{\sqrt{3}}{2}\), amiből
\(\displaystyle a=\frac{6R}{\sqrt{3}}, \)
ezért a kúp alapkörének sugara:
\(\displaystyle p=\frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3}. \)
A kúp térfogata:
\(\displaystyle V=(R\sqrt{3})^2\cdot\pi\cdot 3R\cdot\frac{1}{3}=3\cdot R^3\cdot\pi=81\cdot r^3\cdot\pi. \)
A gömbök térfogatának összege:
Ezért a kúp térfogata \(\displaystyle \frac{243}{112} \approx 2{,}17\)-szerese a gömbök össztérfogatának.
c) A kúp magassága \(\displaystyle m=18~\mathrm{cm}\), valamint mivel \(\displaystyle m=3R\), \(\displaystyle R=6~\mathrm{cm}\). A kúp térfogata:
\(\displaystyle V=\left(R\sqrt{3}\right)^2\cdot\pi\cdot3R\cdot\frac{1}{3}=648\cdot\pi\approx2035{,}75~\mathrm{cm}^3. \)
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
