Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2025/7)

Németh László (Fonyód)

I. rész

1. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.

a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\),   (5 pont)

b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\).   (5 pont)

2. Adott az \(\displaystyle f(x)=\lvert x+1\rvert\), (\(\displaystyle x\in \mathbb{R}\)), és a \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}-2\), (\(\displaystyle x\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle x\geq0\)) függvény.

a) Adja meg a \(\displaystyle g(x)\) függvény inverzének értelmezési tartományát és hozzárendelési utasítását.   (4 pont)

b) Ábrázolja az \(\displaystyle f\circ g\) függvény grafikonját a \(\displaystyle [0,16]\) intervallumon.   (5 pont)

(Az \(\displaystyle f\circ g\) korábbi jelölése: \(\displaystyle f\bigl(g(x)\bigr)\).)

c) Határozza meg a \(\displaystyle g\circ f\) függvény összes zérushelyét.   (4 pont)