Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2025/7)

Németh László (Fonyód)

I. rész

1. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.

a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\),   (5 pont)

b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\).   (5 pont)

2. Adott az \(\displaystyle f(x)=\lvert x+1\rvert\), (\(\displaystyle x\in \mathbb{R}\)), és a \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}-2\), (\(\displaystyle x\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle x\geq0\)) függvény.

a) Adja meg a \(\displaystyle g(x)\) függvény inverzének értelmezési tartományát és hozzárendelési utasítását.   (4 pont)

b) Ábrázolja az \(\displaystyle f\circ g\) függvény grafikonját a \(\displaystyle [0,16]\) intervallumon.   (5 pont)

(Az \(\displaystyle f\circ g\) korábbi jelölése: \(\displaystyle f\bigl(g(x)\bigr)\).)

c) Határozza meg a \(\displaystyle g\circ f\) függvény összes zérushelyét.   (4 pont)

3. Egy szabályos tetraéder adott csúcsából induló éleinek a csúcshoz közelebbi harmadolópontjain átmenő síkkal lemetszettük a test csúcshoz közelebbi részét. Mindegyik csúcsnál elvégeztük ezt a csonkolást, és az ábra szerinti, \(\displaystyle 10\) cm élű poliéderhez jutottunk.

a) Mekkora a poliéder felszíne és térfogata?   (9 pont)

b) Mekkora szöget zár be egymással egy hatszög és egy vele szomszédos háromszöglap?   (5 pont)

4. Döntse el az alábbi A), B), C) állításokról, hogy igazak, vagy hamisak. Válaszait indokolja!

A) Egy háromszög súlypontját a csúcsokkal összekötő szakaszok olyan kisebb háromszögekre bontják a háromszöget, amelyek területe egyenlő.   (6 pont)

B) Nincs olyan racionális együtthatójú másodfokú egyenlet, amelynek egyik gyöke racionális, a másik irracionális szám.   (4 pont)

C) Ha egy adott év napjaiból kiválasztunk 30-at, nem biztos, hogy lesz közöttük legalább öt olyan, amelyik a hét ugyanazon napjára esik.   (4 pont)

II. rész

5. Az \(\displaystyle {a_n}\) számsorozat első tagja \(\displaystyle a_1 =1\), és a második tagtól kezdve minden tagja kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: \(\displaystyle a_{n+1} = a_n+2n\).

a) Igazolja, hogy \(\displaystyle a_n = n^2-n+1\).   (3 pont)

b) Határozza meg az \(\displaystyle \left\lbrace a_{n} \right\rbrace \) sorozat első 11 tagjának mediánját, alsó és felső kvartilisét.   (2 pont)

c) Bizonyítsa be (teljes indukcióval vagy más módszerrel), hogy az \(\displaystyle \left\lbrace a_{n} \right\rbrace \) sorozat első \(\displaystyle n\) tagjának összege:

Választunk egy \(\displaystyle n<1000\) pozitív egész számot, majd képezzük az \(\displaystyle \bigl\{a_{n}\bigr\}\) sorozat első \(\displaystyle n\) tagjának átlagát.

d) Mennyi a valószínűsége, hogy a kapott átlag egész szám, ha minden \(\displaystyle n<1000\) pozitív egész kiválasztásának ugyanakkora a valószínűsége?   (5 pont)

6. A \(\displaystyle H\) halmazt azok az ötpontú egyszerű gráfok alkotják, amelyek pontjai egy adott konvex ötszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) csúcsai.

a) Hány eleme van \(\displaystyle H\)-nak?   (3 pont)

b) Rajzolja le az összes \(\displaystyle H\)-beli három élű gráfot, amelyek páronként nem izomorfak egymással.   (5 pont)

c) Hány olyan gráf van \(\displaystyle H\)-ban, amely összefüggő és van benne kör?   (8 pont)

7. Az origó középpontú \(\displaystyle 5\) egység sugarú körön az olyan pontok, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám, egy körbeírt sokszöget határoznak meg.

a) Mekkorák a sokszög szögei?   (8 pont)

b) Számítsa ki az \(\displaystyle y\) tengely azon pontjainak második koordinátáját, amelyekből az \(\displaystyle A(4;5)\) és \(\displaystyle B(8;-3)\) pontok által meghatározott szakasz \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szögben látszik.   (8 pont)

8. a) Igazolja, hogy az \(\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{4}x^{4}-\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}\), (\(\displaystyle x\in \mathbb{R}\)) függvény grafikonjának nincs közös pontja az \(\displaystyle x\) tengellyel.   (2 pont)

b) Határozza meg az \(\displaystyle f(x)\) függvény globális és lokális szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit.   (6 pont)

c) Mekkora annak a zárt, korlátos síkidomnak a területe, amelyet az \(\displaystyle f(x)\) függvény grafikonja, ehhez a grafikonhoz az \(\displaystyle x_{0}=2\) abszcisszájú pontba húzott érintő és a két koordinátatengely bezár?   (8 pont)

9. a) Egy kereskedelmi vállalatnak a vásárlók palackvisszaváltási szokásairól készített felmérésén \(\displaystyle 500\) olyan vásárlót kérdeztek meg, akik használták a visszaváltó automatát. A visszaváltó automatán a visszajáró összeget A) Bolti utalvány, B) Banki utalás, C) Jótékonysági felajánlás közül az egyiket kiválasztva lehet kérni. \(\displaystyle 398\)-an az A), \(\displaystyle 100\)-an a B) és \(\displaystyle 2\)-en a C) lehetőséget jelölték meg.

a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy az \(\displaystyle 500\) vásárlóból véletlenszerűen kiválasztva \(\displaystyle 20\)-at, közülük legfeljebb \(\displaystyle 16\)-an választották az A) lehetőséget? Az eredményt négy tizedesjegyre kerekítve adja meg.   (5 pont)

Az egyik visszaváltó ponton az első héten \(\displaystyle 10\,000\), a következő héten \(\displaystyle 11\,000\), a harmadik héten pedig \(\displaystyle 15\,000\) terméket váltottak vissza. Ezek alapján készült a mellékelt ábra, amelyen a függőleges tengely egysége ezer darab terméket jelent.

b) Adjon meg egy olyan elsőfokú függvényt, amelynek grafikonja átmegy az \(\displaystyle M(2;12)\) ponton, és amely az \(\displaystyle x_{1}=1\); \(\displaystyle x_{2}=2\); \(\displaystyle x_{3}=3\) helyen olyan értéket vesz fel, amelynek az \(\displaystyle y_{1}=10\); \(\displaystyle y_{2}=11\); \(\displaystyle y_{3}=15\) értékektől való eltérésének négyzetösszege a lehető legkisebb.   (9 pont)

A visszaváltott termékek anyagának típusát három csoportba sorolták: \(\displaystyle a\) (műanyag), \(\displaystyle b\) (fém), \(\displaystyle c\) (üveg). A fenti \(\displaystyle 500\) vásárló közül arra a kérdésre, hogy milyen típusú palackokat szoktak visszaváltani, \(\displaystyle 380\)-an az \(\displaystyle a,b,c\); \(\displaystyle 50\)-en az \(\displaystyle a,b\); \(\displaystyle 24\)-en a \(\displaystyle b,c\); \(\displaystyle 10\)-en az \(\displaystyle a,c\) választ adták. Azok száma, akik csak egyfajta terméket váltottak vissza, \(\displaystyle 3:2:1\) arányban oszlott meg az \(\displaystyle a:b:c\) típusok között.

c) Hány vásárlónak volt „\(\displaystyle a\)” típusú palackja a visszaváltottak között?   (2 pont)