Horváth Eszter, Budapest
1. a) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
(9 pont)
b) Egy kétjegyű szám \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 2\)-t, \(\displaystyle 6\)-tal osztva \(\displaystyle 3\)-at, \(\displaystyle 9\)-cel osztva \(\displaystyle 6\)-ot ad maradékul. Melyik ez a kétjegyű szám? (5 pont)
Megoldás. a) A törtek nevezői miatt \(\displaystyle x+y\neq 0\) és \(\displaystyle x-2y\neq 0\). Az \(\displaystyle a=\frac{1}{x+y}\); \(\displaystyle {b=\frac{1}{x-2y}}\) új ismeretlenek bevezetésével ezt az egyenletrendszert kapjuk:
Az első egyenletet 2-vel megszorozzuk:
Összeadjuk a (2) és a (3) egyenletet:
Ezt az (1) egyenletbe behelyettesítve:
\(\displaystyle \frac{5}{10}+4b=\frac{3}{4};\qquad 4b=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4};\qquad b=\frac{1}{16}. \)
\(\displaystyle a=\dfrac{1}{10}\) és \(\displaystyle b=\dfrac{1}{16}\) alapján:
Az első egyenletből kivonjuk a másodikat:
\(\displaystyle 3y=-6;\qquad y=-2. \)
Behelyettesítéssel kapjuk, hogy \(\displaystyle x=12\).
Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve látjuk, hogy ezek az értékek valóban megoldások:
Az egyenletrendszer megoldása \(\displaystyle x=12\) és \(\displaystyle y=-2\).
b) A keresett kétjegyű számnál a 3-mal nagyobb szám osztható 5-tel, 6-tal és 9-cel is, a legkisebb (és egyetlen) ilyen kétjegyű szám a 90, tehát az eredeti a 87 lehet csak, ami valóban teljesíti a feltételeket.
2. Szatmári Ferenc családjával egy meleg nyári napon autóval Budapestről Kisvárdára utazott. \(\displaystyle 7\) óra \(\displaystyle 50\) perckor indult. \(\displaystyle 25\) perc alatt, \(\displaystyle 12~\mathrm{km}\)-t haladva érte el az M3-as autópályát. \(\displaystyle 10\) óra \(\displaystyle 55\) perckor a 403-as útra tért le az autópályáról, majd \(\displaystyle 40~\mathrm{km}\) megtétele után, összesen \(\displaystyle 284\) kilométert vezetve \(\displaystyle 11{:}35\) perckor ért Kisvárdára.
a) Mekkora volt az autó átlagsebessége az autópályán? (3 pont)
Az M3-ason öt alkalommal összesen \(\displaystyle 20~\mathrm{km}\)-en volt útjavítás miatt sebességkorlátozás. Ezeken a szakaszokon a megengedett maximális sebesség \(\displaystyle 80~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) volt, de az autósok ezeken a szakaszokon csak \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel tudtak vezetni.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
