Megoldásvázlatok a 2025/7. szám matematika gyakorló feladatsorához

Németh László (Fonyód)

I. rész

1. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.

a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\), (5 pont)

b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\). (5 pont)

Megoldás. a) \(\displaystyle x\neq\pm1\).

\(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+1)}\qquad /{}\cdot(x-1)(x+1), \)

\(\displaystyle x(x+1)+(x-1)(2x+1)=3x+5\), rendezés és egyszerűsítés után: \(\displaystyle {x^2-x-2=0}\), ennek gyökei: \(\displaystyle x_{1}=-1\); \(\displaystyle x_{2}=2\). Az értelmezési tartomány miatt az egyenlet megoldása: \(\displaystyle x=2\).

Ellenőrzés: \(\displaystyle \dfrac{2}{1}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{11}{3}\), ami valóban teljesül.

b) \(\displaystyle 1-2\sin^{2}x+2\sin x+3=0\); \(\displaystyle \sin^{2}x-\sin x-2=0\); eszerint \(\displaystyle \sin x\) lehetséges értékei \(\displaystyle -1\) és 2, ám ez utóbbi nem eleme az értékkészletnek, így az egyenlet megoldása: \(\displaystyle x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\), \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\).

Ellenőrzés: a kapott \(\displaystyle x\) értékekre \(\displaystyle \cos(2x)=-1\), \(\displaystyle \sin(x)=-1\), tehát valóban teljesül az eredeti egyenlőség.

2. Adott az \(\displaystyle f(x)=\lvert x+1\rvert\), (\(\displaystyle x\in \mathbb{R}\)), és a \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}-2\), (\(\displaystyle x\in\mathbb{R}\), \(\displaystyle x\geq0\)) függvény.

a) Adja meg a \(\displaystyle g(x)\) függvény inverzének értelmezési tartományát és hozzárendelési utasítását. (4 pont)

b) Ábrázolja az \(\displaystyle f\circ g\) függvény grafikonját a \(\displaystyle [0,16]\) intervallumon. (5 pont)

(Az \(\displaystyle f\circ g\) korábbi jelölése: \(\displaystyle f\bigl(g(x)\bigr)\).)

c) Határozza meg a \(\displaystyle g\circ f\) függvény összes zérushelyét. (4 pont)