Megoldásvázlatok a 2026/4. szám matematika gyakorló feladatsorához

Polák Péter, Budapest

I. rész

1. a) Egy számtani sorozat három egymást követő tagja (ebben a sorrendben): \(\displaystyle y\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 4x-5\). Határozza meg ezeket a számokat, ha összegük \(\displaystyle 1500\).  (4 pont)

b) Hány olyan mértani sorozat van, amelynek első \(\displaystyle 5\) tagja között szerepel a \(\displaystyle 2\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 32\), ha számít a tagok sorrendje is?  (5 pont)

c) Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi halmazok számosságát! Válaszát indokolja!

\(\displaystyle A=\{\text{Az }x^2+2x+1=2\text{ egyenlet racionális megoldásai}\}\);

\(\displaystyle B=\{\text{A~\(\displaystyle 40\) pozitív osztói}\}\);

\(\displaystyle C=\left\{n \;\Big|\; 3^{-n+1}>\dfrac{1}{27^3}, n\in\mathbb{N}\right\}\).  (5 pont)

Megoldás. a) A három szám összege a középső tag háromszorosa. \(\displaystyle 3x=1500\), ebből \(\displaystyle x=500\). A sorozat differenciája \(\displaystyle (4x-5)-x=3x-5=1495\). Tehát a három szám: \(\displaystyle -995\); \(\displaystyle 500\); \(\displaystyle 1995\). Ezek valóban számtani sorozatot alkotnak.

b) A felsorolt számok önmaguk is egy mértani sorozatot alkotnak; \(\displaystyle q=4\) vagy \(\displaystyle q=1/4\). Ezért két eset lehetséges: (I.) az öt szám között is szomszédosak ezek vagy pedig (II.) az első, harmadik és ötödik tagjai a számötösnek.

I. Ha ezek szomszédos tagok, akkor a legkisebb sorszámú tag legfeljebb a harmadik lehet. Ez három lehetőség. Minden lehetőségben két sorozat van (\(\displaystyle q=4\) vagy \(\displaystyle q=1/4\)), tehát hat ilyen sorozat van.

II. Ha ezek nem szomszédosak, akkor \(\displaystyle q^2=4\) vagy \(\displaystyle q^2=1/4\). Mindkét esetben kétféle lehet a hányados: \(\displaystyle q=\pm2\) vagy \(\displaystyle \pm1/2\), tehát 4 ilyen sorozat van.

Összesen \(\displaystyle 10\) ilyen mértani sorozat van.

c) \(\displaystyle x^2 + 2x + 1=(x+1)^2=2\), ennek megoldásai \(\displaystyle \pm\sqrt{2}-1\), amelyek irracionálisak, ezért \(\displaystyle |A|=0\). A \(\displaystyle 40=2^3 \cdot 5\), tehát \(\displaystyle |B|=4 \cdot 2= 8\). A \(\displaystyle 3\)-as alapú exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt a \(\displaystyle 3^{-n+1}>3^{-9} \) egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle -n+1>-9\), amiből \(\displaystyle n<10\) természetes szám, ezért \(\displaystyle |C|=10\). A számosságok sorrendje: \(\displaystyle |A|<|B|<|C|\).

2. a) Bizonyítsa be az alábbi állítást:

,,Ha egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza pozitív egész szám, akkor az átfogóhoz tartozó magasságának hossza racionális.''  (4 pont)

b) Írja fel az a) feladatban szereplő állítás megfordítását, és döntse el róla, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!  (3 pont)

c) Összeadtuk \(\displaystyle 27\) különböző prímszám négyzetét, és eredményül \(\displaystyle 155\;787\)-et kaptunk. Szerepelhetett-e a prímek között a 3?  (5 pont)

Megoldás. a) Legyenek a befogók \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), az átfogó \(\displaystyle c\), az ehhez tartozó magasság pedig \(\displaystyle m\). Ekkor ...