Polák Péter, Budapest
1. a) Egy számtani sorozat három egymást követő tagja (ebben a sorrendben): \(\displaystyle y\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 4x-5\). Határozza meg ezeket a számokat, ha összegük \(\displaystyle 1500\). (4 pont)
b) Hány olyan mértani sorozat van, amelynek első \(\displaystyle 5\) tagja között szerepel a \(\displaystyle 2\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 32\), ha számít a tagok sorrendje is? (5 pont)
c) Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi halmazok számosságát! Válaszát indokolja!
\(\displaystyle A=\{\text{Az }x^2+2x+1=2\text{ egyenlet racionális megoldásai}\}\);
\(\displaystyle B=\{\text{A~\(\displaystyle 40\) pozitív osztói}\}\);
\(\displaystyle C=\left\{n \;\Big|\; 3^{-n+1}>\dfrac{1}{27^3}, n\in\mathbb{N}\right\}\). (5 pont)
2. a) Bizonyítsa be az alábbi állítást:
,,Ha egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza pozitív egész szám, akkor az átfogóhoz tartozó magasságának hossza racionális.'' (4 pont)
b) Írja fel az a) feladatban szereplő állítás megfordítását, és döntse el róla, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! (3 pont)
c) Összeadtuk \(\displaystyle 27\) különböző prímszám négyzetét, és eredményül \(\displaystyle 155\;787\)-et kaptunk. Szerepelhetett-e a prímek között a 3?
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
