Megoldásvázlatok a 2025/6. szám matematika gyakorló feladatsorához

Bíró Bálint

I. rész

1. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \cos\Bigl(\dfrac{\pi}{6}\cos{x}\Bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) egyenletet.   (5 pont)

b) Határozza meg a \(\displaystyle px+ry=28\) egyenletben szereplő \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) pozitív prímszámokat, ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számpár a \(\displaystyle \sqrt{3x+y+5}=4x-20\); \(\displaystyle x^2+y=29\) egyenletrendszer megoldása.   (7 pont)

Megoldás. a) Legyen \(\displaystyle \alpha=\dfrac{\pi}{6}\cos{x}\). Ekkor a \(\displaystyle \cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle \alpha_1=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi; \quad \alpha_2=\frac{11\pi}{6}+l\cdot 2\pi, \)

ahol \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\) egész számok. Eszerint \(\displaystyle \dfrac{\pi}{6}\cos{x}=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\), illetve \(\displaystyle \dfrac{\pi}{6}\cos{x}=\dfrac{11\pi}{6}+l\cdot 2\pi\). A két egyenletből a \(\displaystyle \dfrac{\pi}{6}\) tényezővel való osztás után

illetve

következik. Mivel \(\displaystyle -1\leq \cos x\leq 1\), ezért az (1) egyenletben csak \(\displaystyle k=0\), a (2) egyenletben csak \(\displaystyle l=-1\) lehetséges, ezért csak \(\displaystyle \cos x=1\) vagy \(\displaystyle \cos x=-1\) állhat fenn. Az a) feladat megoldásai tehát \(\displaystyle x=m\cdot \pi\) (\(\displaystyle m\in \mathbb{Z}\)), behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy ezek valóban megoldások.

b) Az egyenletrendszer második egyenletéből \(\displaystyle y=29-x^2\), ezt az első egyenletbe írva:

A négyzetgyök értelmezése miatt a (3) egyenletnek csak olyan \(\displaystyle x\) valós szám lehet a megoldása, amelyre \(\displaystyle -x^2+3x+34\geq 0\); \(\displaystyle 4x-20\geq 0\) egyszerre teljesül. A megoldóképlet alkalmazásával kapjuk, hogy a \(\displaystyle -x^2+3x+34\geq 0\) egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \dfrac{3-\sqrt{145}}{2}\leq x\leq \dfrac{3+\sqrt{145}}{2}\), két tizedesjegyre történő közelítéssel \(\displaystyle {-4{,}52}\leq x\leq 7{,}52\), a \(\displaystyle 4x-20\geq 0\) egyenlőtlenség pedig az \(\displaystyle x\geq 5\) valós számokra igaz. Az \(\displaystyle x\) valós számot tehát az

halmazon keressük. Négyzetre emelve a (3) egyenlet mindkét oldalát, rendezés után a \(\displaystyle 17x^2-163x+366=0\) másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai \(\displaystyle x_1=\frac{61}{17}\approx 3{,}59\); \(\displaystyle x_2=6\). Az \(\displaystyle x_1\) valós szám nem felel meg a (4) feltételnek, ezért nem megoldás. Az \(\displaystyle x_2=6\) viszont megfelel (4)-nek, ebből \(\displaystyle y=29-x^2\) miatt \(\displaystyle y=-7\) következik. Ellenőrizhető, hogy az \(\displaystyle x=6\); \(\displaystyle y=-7\) számpár megoldása az egyenletrendszernek. Mivel \(\displaystyle x=6\); \(\displaystyle y=-7\), ezért a \(\displaystyle px+ry=28\) egyenlet szerint

A \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle r\) pozitív prímek, és az (5) egyenlet jobb oldalán páros szám áll, ezért a bal oldal is páros, ami csakis úgy lehet, ha \(\displaystyle 7r\) is páros. Eszerint \(\displaystyle r\) páros prím, tehát \(\displaystyle {r=2}\), ebből (5) alapján \(\displaystyle p=7\) adódik. A feladat b) részének megoldása tehát a \(\displaystyle p=7\); \(\displaystyle r=2\) prímszámokból álló számpár.

2. Az alábbi táblázatban felsoroljuk a férfi kézilabda Bajnokok Ligája \(\displaystyle 2024\)–\(\displaystyle 2025\)-ös idényének legeredményesebb góllövői közül \(\displaystyle 11\) játékos nevét, klubját és a szezonban \(\displaystyle 2024\). november \(\displaystyle 17\)-ig dobott gólok számát.

a) Számítsa ki a táblázatban szereplő minta (gólszámok) terjedelmét, átlagát és szórását.   (3 pont)

b) Határozza meg a gólok számának móduszát (móduszait), mediánját, az alsó és felső kvartilis értékét, továbbá készítse el a box-plot diagramot.   (4 pont)

A felsorolt adatokhoz hozzávesszük a Veszprém csapatában játszó Ludovic Fabregas eredményét. Az ő góljainak száma a \(\displaystyle p\) kétjegyű prímszám, amely a \(\displaystyle 12\) számból álló adatsor legkisebb eleme. Ha az új adatsor alsó kvartilise \(\displaystyle Q_1'\), felső kvartilise \(\displaystyle Q_3'\), akkor azt is tudjuk, hogy \(\displaystyle 6{,}5\cdot (Q_3'-Q_1')<p<8{,}5\cdot (Q_3'-Q_1')\).

c) Hány gólt dobhatott a szezon megadott időpontjáig a Bajnokok Ligájában Ludovic Fabregas?   (5 pont)

Megoldás. a) Az adatsor terjedelme: \(\displaystyle R=112-87=25\). Az adatsor átlaga pedig