Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2025/6)

Bíró Bálint

I. rész

1. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \cos\Bigl(\dfrac{\pi}{6}\cos{x}\Bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) egyenletet.  (5 pont)

b) Határozza meg a \(\displaystyle px+ry=28\) egyenletben szereplő \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) pozitív prímszámokat, ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számpár a \(\displaystyle \sqrt{3x+y+5}=4x-20\); \(\displaystyle x^2+y=29\) egyenletrendszer megoldása.  (7 pont)

2. Az alábbi táblázatban felsoroljuk a férfi kézilabda Bajnokok Ligája \(\displaystyle 2024\)–\(\displaystyle 2025\)-ös idényének legeredményesebb góllövői közül \(\displaystyle 11\) játékos nevét, klubját és a szezonban \(\displaystyle 2024\). november \(\displaystyle 17\)-ig dobott gólok számát.

a) Számítsa ki a táblázatban szereplő minta (gólszámok) terjedelmét, átlagát és szórását.  (3 pont)

b) Határozza meg a gólok számának móduszát (móduszait), mediánját, az alsó és felső kvartilis értékét, továbbá készítse el a box-plot diagramot.  (4 pont)

A felsorolt adatokhoz hozzávesszük a Veszprém csapatában játszó Ludovic Fabregas eredményét. Az ő góljainak száma a \(\displaystyle p\) kétjegyű prímszám, amely a \(\displaystyle 12\) számból álló adatsor legkisebb eleme. Ha az új adatsor alsó kvartilise \(\displaystyle Q_1'\), felső kvartilise \(\displaystyle Q_3'\), akkor azt is tudjuk, hogy \(\displaystyle 6{,}5\cdot (Q_3'-Q_1')<p<8{,}5\cdot (Q_3'-Q_1')\).

c) Hány gólt dobhatott a szezon megadott időpontjáig a Bajnokok Ligájában Ludovic Fabregas?  (5 pont)

3. a) Mely egész számok nem tesznek eleget az

\(\displaystyle \log_{2}\frac{(12x+4)(4x-3)}{15x-4}-\log_{0{,}5}{\frac{15x-4}{4x-3}}\leq \log_{2}(30x-50) \)

egyenlőtlenségnek?  (5 pont)

Legyenek egy háromszög oldalai \(\displaystyle 4n-3;\quad 15n-4;\quad 12n+4\), ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám.

b) Milyen \(\displaystyle n\) esetén lesz a háromszög derékszögű, hegyesszögű, illetve tompaszögű?  (8 pont)

4. Egy dobozban \(\displaystyle 10\) piros, \(\displaystyle 13\) zöld és valamennyi kék golyó van. A dobozból véletlenszerűen kihúzunk egy golyót.

a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót húzunk, ha tudjuk, hogy a kék golyók száma úgy aránylik a nem kék golyók számához, mint a zöld golyók száma a nem zöld golyók számához?  (3 pont)

Egy matematikaverseny döntőjébe \(\displaystyle 50\) diák jutott. A verseny értékelésekor \(\displaystyle 1\) aranyérmet, \(\displaystyle 2\) ezüstérmet és \(\displaystyle 3\) bronzérmet osztanak ki, egy versenyző legfeljebb egy érmet kaphat.

b) Hányféleképpen lehetne kiosztani a \(\displaystyle 6\) érmet?  (3 pont)

A versenyen az éremmel nem jutalmazott \(\displaystyle 44\) diák közül a zsűri által azonosnak értékelt jó eredmény alapján kiválasztanak \(\displaystyle 20\) főt, közülük sorsolással döntik el, hogy ki legyen az a \(\displaystyle 6\) fő, aki különdíjat kap. A \(\displaystyle 20\) fő nevét egy-egy cédulára írják, és a cédulákat egy dobozba teszik. A dobozból véletlenszerűen és visszatevés nélkül húznak \(\displaystyle 6\) cédulát.

c) Ha tudjuk, hogy a sorsolásra kijelölt diákok közül \(\displaystyle 8\)-an az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle 7\)-en a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle 5\)-en a \(\displaystyle C\) iskolából érkeztek, akkor mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott \(\displaystyle 6\) névből legalább \(\displaystyle 2\) az \(\displaystyle A\) iskola diákja?  (8 pont)

II. rész

5. a) Egy pozitív háromjegyű szám négyzetéből kivonva a szám \(\displaystyle p\)-szeresét (ahol \(\displaystyle p\) pozitív prímszám), éppen \(\displaystyle 20p^2\)-et kapunk. Adja meg a legkisebb és a legnagyobb ilyen háromjegyű számot.  (7 pont)

A \(\displaystyle G_1\) és \(\displaystyle G_2\) gráfok közös pont nélküli (diszjunkt) fagráfok, a \(\displaystyle G_1\) gráfnak \(\displaystyle 7q\), a \(\displaystyle G_2\)-nek \(\displaystyle 3r\) csúcsa van, ahol \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle r\) pozitív prímszámok. A \(\displaystyle G_1\) és \(\displaystyle G_2\) egy-egy csúcsának összekötésével kapott \(\displaystyle G_3\) fagráfnak \(\displaystyle q \cdot r\) éle van.

b) Határozza meg a \(\displaystyle G_1\) és \(\displaystyle G_2\) gráfok csúcsainak és éleinek számát, illetve mindkét gráfban a fokszámok összegét.  (9 pont)

6. Egy sík egy egyenesén felvettünk \(\displaystyle 28\) pontot. Ezen kívül felvettünk még a síkban \(\displaystyle 7\)-nél több, az egyenesre nem illeszkedő pontot úgy, hogy a síkban az egyenesen levő \(\displaystyle 28\) pont kivételével semelyik három pont nincs egy egyenesen.

a) Hány pontot vettünk fel az egyenesen kívül, ha az összes felvett pont segítségével megrajzolható egyenesek száma \(\displaystyle 403\)?  (7 pont)

Felveszünk egy körvonalon \(\displaystyle n\) darab különböző pontot, ahol \(\displaystyle n\ge4\). Jelölje \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\) azt, hogy rendre hány egyenest, háromszöget, illetve négyszöget határoz meg az \(\displaystyle n\) pont.

b) Lehetséges-e, hogy \(\displaystyle A+B=C\)? (Állításunkat indokoljuk.)  (9 pont)

7. A derékszögű koordinátarendszerben felvettük az \(\displaystyle A(3;-4)\), \(\displaystyle B(8;1)\), \(\displaystyle C(6;5)\), \(\displaystyle D(-1;-2)\) és \(\displaystyle P(-2;1)\) pontokat.

a) Bizonyítsa be, hogy az öt pont egy körön van.  (4 pont)

b) Mutassa meg, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög trapéz és számítsuk ki a trapéz területét.  (4 pont)

Tekintsük azt az \(\displaystyle f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\); \(\displaystyle f(x)= ax^2+bx+c\) függvényt, amelynek grafikonja áthalad az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) pontokon, valamint azt a \(\displaystyle g\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\); \(\displaystyle g(x)=dx^2+ex+f\) függvényt, amelynek grafikonja áthalad az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle P\) pontokon.

c) Határozza meg a két grafikon által bezárt terület nagyságát.  (8 pont)

8. a) Határozza meg azokat az \(\displaystyle n\) természetes számokat, amelyekre teljesül az \(\displaystyle n!>3^n\) egyenlőtlenség, és azokat is, amelyekre az egyenlőtlenség nem áll fenn.  (5 pont)

Legyen \(\displaystyle n>1\) pozitív egész szám és definiáljuk az \(\displaystyle a_n\), illetve \(\displaystyle b_n\) sorozatokat a következő módon:

\(\displaystyle a_n=\binom{n}{2}+\binom{n}{3};\qquad b_n=\binom{2n}{3}. \)

b) Bizonyítsa be, hogy a \(\displaystyle c_n=\dfrac{a_n}{b_n}\) sorozat szigorúan monoton csökkenő.  (7 pont)

A \(\displaystyle d_n\) mértani sorozat első tagja \(\displaystyle d_1=24\), kvóciense \(\displaystyle q_d=\dfrac{6}{22}\), az \(\displaystyle e_n\) mértani sorozat első tagja \(\displaystyle e_1=21\), kvóciense \(\displaystyle q_e=\dfrac{15}{22}\).

Jelöljük a \(\displaystyle d_1+d_2+d_3+\ldots+d_n+ \ldots\), illetve \(\displaystyle e_1+e_2+e_3+\ldots+e_n+\ldots\) végtelen összegeket \(\displaystyle S_d\)-vel, illetve \(\displaystyle S_e\)-vel.

c) Számítsa ki az \(\displaystyle S_d+S_e\) összeg pontos értékét.  (4 pont)

9. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög befogói \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle CA=b\), átfogója \(\displaystyle AB=c\) hosszúságú, továbbá \(\displaystyle BAC\sphericalangle=15^{\circ}\). A derékszögű háromszöget megforgatjuk a \(\displaystyle BC\), illetve a \(\displaystyle CA\) befogó egyenese körül.

a) Határozza meg a keletkezett két forgástest térfogata arányának pontos értékét.  (6 pont)

Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle CA=b\), \(\displaystyle AB=c\), az oldalakra teljesül, hogy \(\displaystyle a<b<c\). A háromszöget megforgatjuk először az \(\displaystyle a\), majd a \(\displaystyle b\), végül a \(\displaystyle c\) oldalegyenes körül. A keletkezett forgástestek térfogata ebben a sorrendben egy számtani sorozat három szomszédos tagja.

b) Bizonyítsa be, hogy a \(\displaystyle b\) oldal hossza harmonikus közepe az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) oldal hosszának.  (10 pont)