Szerk
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Matfund
A MATFUND Alapítvány pénzügyi feladata és célja, hogy hosszú távon megoldja a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok Informatika rovattal című folyóirat stabil finanszírozását. Az elmúlt 25 évben évről évre folyamatosan változó feltételű pályázatokból és támogatásokból tudtuk fenntartani a lapot, bizonytalan anyagi körülmények között.
Kós Rita
Róka Sándor idén februárban elnyerte a WFNMC Erdős Pál-díját. A Nemzeti Matematika Versenyek Világszövetsége (World Federation of National Mathematics Competitions – www.wfnmc.org) az Erdős Pál-díjat olyan matematikusoknak adományozza, akik hazai vagy nemzetközi versenyek szervezésével, illetve szakmai munkájukkal jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a matematikában tehetséges fiatalok minél szélesebb körben vehessenek részt magas színvonalú megmérettetésekben. (https://www.wfnmc.org/awards.html) A díj igazán nemzetközi, a kitüntetettek között minden lakott kontinens képviselteti magát. 1992 óta ítélik oda, eddig összesen 54-en kapták meg, köztük öt magyar és egy magyar születésű amerikai. (1996 – George Berzsenyi, 2000 – Reiman István, Surányi János, 2014 – Pelikán József, 2022 – Kós Géza, 2026 – Róka Sándor) A legtöbb díjjal – héttel – az Amerikai Egyesült Államok büszkélkedhet, ezt követi Ausztrália és Magyarország 5-5 díjjal, majd Kína 3-mal.
Forráspont
Az előző két sikeres tábor után ezen a nyáron 2026. július 26. és július 31. között harmadszor is megrendezésre kerül a Forráspont Fizikatábor.
A tábor a Fagypont Fizikatábor folytatása, egy hatnapos balatoni vakációzás formájában. Célunk a fizikus közösség összehozása és a fizikaversenyek feladatainak népszerűsítése. A táborban lesz sok előadás, elmaradhatatlanok a trükkös és különleges fizikafeladatok, és tervben van sok-sok sport, fürdőzés, zenélés és társasozás. Lesznek még meghívott előadók és meglepetésvendégek is.
Kiss Melinda Flóra, Győrffy-Kerekes Anna, Velich Nóra
Az idei Európai Lány Matematika Diákolimpiát (EGMO) 2026. április 9. és 15. között tartották Bordeaux-ban, Franciaországban. A versenyen 67 ország 260 diákja vett részt, köztük 41 európai ország 161 diákja. A versenyzők két egymást követő napon 3-3 feladat megoldásában mérték össze tudásukat, mindkét feladatsoron 4 és fél órát dolgozhattak.
A magyar csapat szép eredménnyel, 1 ezüst- és 3 bronzéremmel tért haza, ezzel az összes ország között a 17. helyet, a 41 európai ország között pedig a 9. helyet szerezte meg hazánknak.
A magyar küldöttség tagjai voltak a versenyzők – Bodor Noémi (Debreceni Fazekas Mihály Gimnázium), Sárdinecz Dóra (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium), Varga Vivien (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium), Zhai Yufan (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium) –, valamint Kiss Melinda Flóra csapatvezető, Velich Nóra csapatvezető helyettes és Győrffy-Kerekes Anna megfigyelő.
A versenyzőink eredményei:
Bodor Noémi 18 ponttal ezüstérmet,
Zhai Yufan 17 ponttal bronzérmet,
Sárdinecz Dóra 16 ponttal bronzérmet,
Varga Vivien 14 ponttal bronzérmet szerzett.
Ezúton is köszönjük a Gondolkodás Öröme Alapítvány támogatását!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
A Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok évről évre bővülő számú évfolyama – jelenleg 1893–1901-ig és 1965 és 2019 között – többféle szempont szerint kereshető, és a kiválogatott feladatok, cikkek kinyomtathatóak. Az összetett kereséssel igazi kincsestárban kutathatnak ingyenesen az olvasók: lehet keresni cikkekben és feladatokban többek között cím, szöveg, kategória (pl. versenyek), témakör és név alapján.
Jelen kötetünk 24 olyan feladatsorból áll, amelyek 2007 és 2017 között jelentek meg a KöMaL-ban. A feladatsorok összeállítói gyakorló tanárok, szakértők, vezető tanárok, tankönyvszerzők:
A KöMaL-t Arany Dániel alapította 1893-ban, hogy tartalomban gazdag példatárat adjon tanárok és tanulók kezébe. Azóta matematikusok és tudósok több generációja csiszolta problémamegoldó képességét a KöMaL révén.
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
Feldolgozottság: 99.6% (273 feladatból 272)
Az Európai Unió Általános Adatvédelmi Rendelete értelmében 16 évesnél versenyzőink adatait csak a szülő vagy törvényes képviselő hozzájárulásával kezelhetjük. Ezért fiatal versenyőinktől egy szülői hozzájárulást kérünk az adatkezeléshez; amíg nem érkezik meg a szülői nyilatkozat, addig a regisztrációjuk nem érvényes.
A 16 évesnél fiatalabbak regisztrációjakor lehetőséget adunk az egyik szülő nevének és e-mail címének megadására. A szülőnek e-mailt küldünk, és biztosítjuk, hogy a szükséges nyilatkozatot néhány perc alatt megtehesse.
Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
A 3-dimenziós euklidészi térben vegyünk fel egy \(\displaystyle O\) kezdőpontú, \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) tengelyű derékszögű koordináta-rendszert. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) a \(\displaystyle Z=1\) egyenletű – vagyis az \(\displaystyle (x,y)\) síkkal párhuzamos, a \(\displaystyle z\) tengelyt az 1 pontjában metsző – euklidészi sík. Egészítsük ki \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az előző részben leírt módon ideális pontokkal és egy ideális egyenessel, így kapjuk a \(\displaystyle \Pi\) projektív síkot. Először megadjuk a projektív sík \(\displaystyle O\)-pont modelljét.
Róka Sándor, Nyíregyháza
,,Néha számlálás nélkül is meg tudjuk állapítani, hogy két véges halmaznak ugyanannyi eleme van-e. Pl. egy olyan gyerek, aki csak 20-ig tud számlálni, meg tudja állapítani, hogy az ablak alatt ugyanannyi katona haladt el, mint ahány ló, ha látja, hogy egy katona sem ment gyalog, és egy ló sem ment anélkül, hogy katona ne ülne a hátán (és természetesen egy lovon sem ült egynél több katona, és egy katona sem ült egynél több lovon), akkor is, ha a katonák, ill. lovak száma több, mint 20.'' (Kalmár László: A matematika alapjai (egyetemi jegyzet), I. kötet, 9. oldal.)
A megszámlálásnak azt a módját, amikor a lovakat kell megszámolni, és tudom, hogy ugyanannyi lovas van, mint ahány ló, s ezért a lovasokat számolom meg, jól mutatja Halmos Pál következő példája. (Halmos Pál: A matematika művészete, Természet Világa, 1976/7, 299–303. oldalak.)
C. 1889. Egy számegyenesen be van jelölve az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle \sqrt{5}\), semmi más. Adjuk meg szerkesztéssel a számegyenesen a \(\displaystyle 0\) helyét. (Az elemi szerkesztési lépéseket, mint például szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni.)
Javasolta: Veszprémi Ferenc (Budapest)
1. feladat. Egy \(\displaystyle 2026\times 2026\)-os négyzetrácsot bordónak nevezünk, ha a \(\displaystyle 2026^2\) darab egységcellája közül legalább egy pirosra van színezve. Egy cellákból álló téglalap alakú régiót páratlanosnak hívunk, ha páratlan sok piros cellát tartalmaz. Határozd meg azt a legnagyobb pozitív egész \(\displaystyle M\) számot, amelyre bármely \(\displaystyle {2026\times 2026}\)-os bordó négyzetrács esetén létezik egy legalább \(\displaystyle M\) cellából álló páratlanos régió.
2. feladat. Adott egy pozitív egész \(\displaystyle n\). Mária a következő játékot játssza a táblán: kezdetben felírja az \(\displaystyle 1\)-et, majd minden lépésben választ egy \(\displaystyle 1\le j\le n\) egész számot és a táblán szereplő \(\displaystyle V\) számot lecseréli a \(\displaystyle j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)\) számra, ahol \(\displaystyle R(x)\) az \(\displaystyle x\)-hez legközelebbi egész számot jelöli. Ha az \(\displaystyle x\) éppen félúton van két szomszédos egész szám között, akkor felfelé kerekít. Például \(\displaystyle R(1,3)=1\) és \(\displaystyle R(1,5)=R(1,8)=2\).
(a) Bizonyítsd be, hogy minden adott \(\displaystyle n\)-re létezik olyan \(\displaystyle B\) pozitív egész szám, amelynél nagyobb számot Mária sohasem írhat fel a táblára.
(b) Egy \(\displaystyle n\) egész számra jelölje \(\displaystyle f(n)\) a legnagyobb számot, amelyet Mária a táblára véges sok lépés után felírhat. Bizonyítsd be, hogy létezik \(\displaystyle N\) pozitív egész, amelyre minden \(\displaystyle n\ge N\) esetén \(\displaystyle f(n)\) osztható \(\displaystyle 2026\)-tal.
Vígh Viktor
A KöMaL 2026. februári számában Szilassi Lajos mutatta be nekünk Tom O'Beirne Olvasztótégely nevű játékát. Ez a feladvány tulajdonképpen egy összerakó játék, ahol a megadott elemekből egy előre meghatározott formát kell építenünk. Az összerakók a logikai játékok egy meghatározó (talán a legnagyobb) csoportját alkotják. Ezen a nagy csoporton belül találjuk a bepakoló játékokat, ahol a célt egy doboz (,,tároló forma'') jelöli ki. Ez néha csak a feladat ,,megfogalmazása'' (azaz a cél forma kijelölése) miatt praktikus, néha a játék szépségéhez is hozzáad (például az Olvasztótégelynél egyértelműen kihangsúlyozza a játék paradox jellegét is), de bizonyos feladványoknál komolyabb megszorításokat is jelent: többnyire a dobozon kívül nagyon könnyű a kívánt forma összeállítása, de a dobozba betenni kimondottan nehéz.
Polák Péter, Budapest
1. a) Egy számtani sorozat három egymást követő tagja (ebben a sorrendben): \(\displaystyle y\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 4x-5\). Határozza meg ezeket a számokat, ha összegük \(\displaystyle 1500\).
b) Hány olyan mértani sorozat van, amelynek első \(\displaystyle 5\) tagja között szerepel a \(\displaystyle 2\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 32\), ha számít a tagok sorrendje is?
c) Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi halmazok számosságát! Válaszát indokolja!
2. a) Bizonyítsa be az alábbi állítást:
,,Ha egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza pozitív egész szám, akkor az átfogóhoz tartozó magasságának hossza racionális.''
b) Írja fel az a) feladatban szereplő állítás megfordítását, és döntse el róla, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!
c) Összeadtuk \(\displaystyle 27\) különböző prímszám négyzetét, és eredményül \(\displaystyle 155\;787\)-et kaptunk. Szerepelhetett-e a prímek között a 3?
Kós Géza
Összegyűjtöttünk olyan hibás okoskodásokat, amelyek meghökkentő állításokat bizonyítanak. A hibák megkeresése bárki számára tanulságos lehet.
Húzzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-ből induló szögfelezőjét és az \(\displaystyle AB\) oldal felező merőlegesét. Ha \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) egyenlő, akkor kész vagyunk. Ha nem, akkor a szögfelező és a felező merőleges nem lehetnek sem párhuzamosak, sem egybeesők, tehát metszik egymást. Legyen \(\displaystyle M\) a metszéspontjuk.
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
Gnädig Péter, Vácduka
A fizikában (és sok más tudományterületen) gyakran szükségünk lehet egy függvény szélsőértékének (minimumának vagy maximumának) meghatározására. Ez történhet differenciálszámítás segítségével, grafikus ábrázolással, esetenként algebrai egyenlőtlenségek felhasználásával, vagy erre alkalmas, az interneten szabadon hozzáférhető számítógépes programok (pl. GeoGebra, WolframAlpha) futtatásával.
Ha egy egyváltozós, sima (differenciálható) \(\displaystyle f(x)\) függvénynek valamely \(\displaystyle x_0\) pontban (lokális) szélsőértéke van, akkor ott a deriváltja nulla kell hogy legyen. Ezzel egyenértékű megfogalmazás (ami nem igényli a differenciálszámítás formális szabályainak ismeretét) a következő. Ha a függvény értékei az \(\displaystyle x_0\) ponthoz közel, attól kicsiny \(\displaystyle \epsilon\) távolságra
\(\displaystyle f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+m(x_0)\,\epsilon+\delta(x_0,\epsilon) \)
alakban írhatók fel (ahol \(\displaystyle \delta(x_0,\epsilon)\) ,,nagyon kicsi'' mennyiség), akkor \(\displaystyle m(x_0)\)-at a függvény \(\displaystyle x_0\) pontbeli ,,meredekségének'' nevezzük. A ,,nagyon kicsi'' pongyola megfogalmazás itt azt jelenti, hogy \(\displaystyle \delta\) még \(\displaystyle \epsilon\)-nál is sokkal kisebb, mert a \(\displaystyle \delta/\epsilon\) hányados \(\displaystyle \epsilon\) csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. A \(\displaystyle \delta\) mennyiséget gyakran ,,másodrendűen kicsinek'' is nevezzük, és a közelítő számításokban \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagoljuk.
