Kiss Melinda Flóra, Győrffy-Kerekes Anna, Velich Nóra
1. feladat. Egy \(\displaystyle 2026\times 2026\)-os négyzetrácsot bordónak nevezünk, ha a \(\displaystyle 2026^2\) darab egységcellája közül legalább egy pirosra van színezve. Egy cellákból álló téglalap alakú régiót páratlanosnak hívunk, ha páratlan sok piros cellát tartalmaz. Határozd meg azt a legnagyobb pozitív egész \(\displaystyle M\) számot, amelyre bármely \(\displaystyle {2026\times 2026}\)-os bordó négyzetrács esetén létezik egy legalább \(\displaystyle M\) cellából álló páratlanos régió.
Megjegyzés: Egy téglalap alakú régió oldalai párhuzamosak a négyzetrács oldalaival és tartalmazza a belsejét.
2. feladat. Adott egy pozitív egész \(\displaystyle n\). Mária a következő játékot játssza a táblán: kezdetben felírja az \(\displaystyle 1\)-et, majd minden lépésben választ egy \(\displaystyle 1\le j\le n\) egész számot és a táblán szereplő \(\displaystyle V\) számot lecseréli a \(\displaystyle j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)\) számra, ahol \(\displaystyle R(x)\) az \(\displaystyle x\)-hez legközelebbi egész számot jelöli. Ha az \(\displaystyle x\) éppen félúton van két szomszédos egész szám között, akkor felfelé kerekít. Például \(\displaystyle R(1,3)=1\) és \(\displaystyle R(1,5)=R(1,8)=2\).
(a) Bizonyítsd be, hogy minden adott \(\displaystyle n\)-re létezik olyan \(\displaystyle B\) pozitív egész szám, amelynél nagyobb számot Mária sohasem írhat fel a táblára.
(b) Egy \(\displaystyle n\) egész számra jelölje \(\displaystyle f(n)\) a legnagyobb számot, amelyet Mária a táblára véges sok lépés után felírhat. Bizonyítsd be, hogy létezik \(\displaystyle N\) pozitív egész, amelyre minden \(\displaystyle n\ge N\) esetén \(\displaystyle f(n)\) osztható \(\displaystyle 2026\)-tal.
3. feladat. Jelölje \(\displaystyle \mathbb{R}\) a valós számok halmazát. Határozd meg az összes \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra teljesül, hogy
\(\displaystyle f\left(\bigl(f(x)+f(y)\bigr)^2\right)=(x+y)f(x+y). \)
4. feladat. Legyen \(\displaystyle 1=a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots\) egy valós számokból álló végtelen számsor, amelyre minden \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén teljesül, hogy \(\displaystyle a_n = a_{2n}+a_{2n+1}\). Legyen \(\displaystyle r=2026^{2026}\). Bizonyítsd be, hogy
\(\displaystyle \dfrac1{r} \le a_{r} \le \dfrac{2}{r+1}. \)
5. feladat. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy hegyesszögű háromszög, amelyre \(\displaystyle AC>AB\). Jelölje \(\displaystyle ABC\) köréírt körét \(\displaystyle \omega\) és legyen \(\displaystyle \omega\) középpontja \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle \omega\)-hoz \(\displaystyle B\)-ben és \(\displaystyle C\)-ben húzott érintők \(\displaystyle K\)-ban metszik egymást. Legyen az \(\displaystyle ABK\) háromszög köréírt körének és a \(\displaystyle BC\) egyenesnek a második metszéspontja \(\displaystyle Z\). Jelöljük \(\displaystyle KZ\) felezőpontját \(\displaystyle L\)-lel. Legyen a \(\displaystyle KZ\) és \(\displaystyle AB\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle X\). Az \(\displaystyle O\)-ból \(\displaystyle KZ\)-re állított merőleges az \(\displaystyle ABL\) háromszög köréírt körét a \(\displaystyle BC\) egyenes \(\displaystyle A\)-felőli oldalán egyetlen pontban metszi. Legyen ez a pont \(\displaystyle V\). Bizonyítsd be, hogy \(\displaystyle LV\) merőleges \(\displaystyle CX\)-re.
6. feladat. Vegyünk egy \(\displaystyle p\) prímszámot és legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle p\) nem osztja \(\displaystyle n\)-et. Legyen az \(\displaystyle n\) pozitív osztóinak száma \(\displaystyle k\) és az osztókat jelöljük \(\displaystyle 1 = d_1<d_2<\dots<d_k = n\)-nel. Minden \(\displaystyle i = 1, 2, \dots, k\)-ra jelölje \(\displaystyle c_i\) a \(\displaystyle d_i^2\) olyan pozitív \(\displaystyle \ell\) osztóinak számát, amelyekre \(\displaystyle p\) osztja \(\displaystyle d_i-\ell\)-et. Bizonyítsd be, hogy
\(\displaystyle (p-1)\left(c_1+c_2+\cdots+c_k\right) \ge k^2. \)
Beszámoló a 2026. évi EGMO versenyről
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Róka Sándor idén februárban elnyerte a WFNMC Erdős Pál-díját. A Nemzeti Matematika Versenyek Világszövetsége (World Federation of National Mathematics Competitions – www.wfnmc.org) az Erdős Pál-díjat olyan matematikusoknak adományozza, akik hazai vagy nemzetközi versenyek szervezésével, illetve szakmai munkájukkal jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a matematikában tehetséges fiatalok minél szélesebb körben vehessenek részt magas színvonalú megmérettetésekben. (https://www.wfnmc.org/awards.html) A díj igazán nemzetközi, a kitüntetettek között minden lakott kontinens képviselteti magát. 1992 óta ítélik oda, eddig összesen 54-en kapták meg, köztük öt magyar és egy magyar születésű amerikai. (1996 – George Berzsenyi, 2000 – Reiman István, Surányi János, 2014 – Pelikán József, 2022 – Kós Géza, 2026 – Róka Sándor) A legtöbb díjjal – héttel – az Amerikai Egyesült Államok büszkélkedhet, ezt követi Ausztrália és Magyarország 5-5 díjjal, majd Kína 3-mal.
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
