Kiss Melinda Flóra, Győrffy-Kerekes Anna, Velich Nóra
1. feladat. Egy \(\displaystyle 2026\times 2026\)-os négyzetrácsot bordónak nevezünk, ha a \(\displaystyle 2026^2\) darab egységcellája közül legalább egy pirosra van színezve. Egy cellákból álló téglalap alakú régiót páratlanosnak hívunk, ha páratlan sok piros cellát tartalmaz. Határozd meg azt a legnagyobb pozitív egész \(\displaystyle M\) számot, amelyre bármely \(\displaystyle {2026\times 2026}\)-os bordó négyzetrács esetén létezik egy legalább \(\displaystyle M\) cellából álló páratlanos régió.
Megjegyzés: Egy téglalap alakú régió oldalai párhuzamosak a négyzetrács oldalaival és tartalmazza a belsejét.
2. feladat. Adott egy pozitív egész \(\displaystyle n\). Mária a következő játékot játssza a táblán: kezdetben felírja az \(\displaystyle 1\)-et, majd minden lépésben választ egy \(\displaystyle 1\le j\le n\) egész számot és a táblán szereplő \(\displaystyle V\) számot lecseréli a \(\displaystyle j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)\) számra, ahol \(\displaystyle R(x)\) az \(\displaystyle x\)-hez legközelebbi egész számot jelöli. Ha az \(\displaystyle x\) éppen félúton van két szomszédos egész szám között, akkor felfelé kerekít. Például \(\displaystyle R(1,3)=1\) és \(\displaystyle R(1,5)=R(1,8)=2\).
(a) Bizonyítsd be, hogy minden adott \(\displaystyle n\)-re létezik olyan \(\displaystyle B\) pozitív egész szám, amelynél nagyobb számot Mária sohasem írhat fel a táblára.
(b) Egy \(\displaystyle n\) egész számra jelölje \(\displaystyle f(n)\) a legnagyobb számot, amelyet Mária a táblára véges sok lépés után felírhat. Bizonyítsd be, hogy létezik \(\displaystyle N\) pozitív egész, amelyre minden \(\displaystyle n\ge N\) esetén \(\displaystyle f(n)\) osztható \(\displaystyle 2026\)-tal.
3. feladat. Jelölje \(\displaystyle \mathbb{R}\) a valós számok halmazát. Határozd meg az összes \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra teljesül, hogy
\(\displaystyle f\left(\bigl(f(x)+f(y)\bigr)^2\right)=(x+y)f(x+y). \)
4. feladat. Legyen \(\displaystyle 1=a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots\) egy valós számokból álló végtelen számsor, amelyre minden \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén teljesül, hogy \(\displaystyle a_n = a_{2n}+a_{2n+1}\). Legyen \(\displaystyle r=2026^{2026}\). Bizonyítsd be, hogy
\(\displaystyle \dfrac1{r} \le a_{r} \le \dfrac{2}{r+1}. \)
5. feladat. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy hegyesszögű háromszög, amelyre \(\displaystyle AC>AB\). Jelölje \(\displaystyle ABC\) köréírt körét \(\displaystyle \omega\) és legyen \(\displaystyle \omega\) középpontja \(\displaystyle O\). Az \(\displaystyle \omega\)-hoz \(\displaystyle B\)-ben és \(\displaystyle C\)-ben húzott érintők \(\displaystyle K\)-ban metszik egymást. Legyen az \(\displaystyle ABK\) háromszög köréírt körének és a \(\displaystyle BC\) egyenesnek a második metszéspontja \(\displaystyle Z\). Jelöljük \(\displaystyle KZ\) felezőpontját \(\displaystyle L\)-lel. Legyen a \(\displaystyle KZ\) és \(\displaystyle AB\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle X\). Az \(\displaystyle O\)-ból \(\displaystyle KZ\)-re állított merőleges az \(\displaystyle ABL\) háromszög köréírt körét a \(\displaystyle BC\) egyenes \(\displaystyle A\)-felőli oldalán egyetlen pontban metszi. Legyen ez a pont \(\displaystyle V\). Bizonyítsd be, hogy \(\displaystyle LV\) merőleges \(\displaystyle CX\)-re.
6. feladat. Vegyünk egy \(\displaystyle p\) prímszámot és legyen \(\displaystyle n\) egy pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle p\) nem osztja \(\displaystyle n\)-et. Legyen az \(\displaystyle n\) pozitív osztóinak száma \(\displaystyle k\) és az osztókat jelöljük \(\displaystyle 1 = d_1<d_2<\dots<d_k = n\)-nel. Minden \(\displaystyle i = 1, 2, \dots, k\)-ra jelölje \(\displaystyle c_i\) a \(\displaystyle d_i^2\) olyan pozitív \(\displaystyle \ell\) osztóinak számát, amelyekre \(\displaystyle p\) osztja \(\displaystyle d_i-\ell\)-et. Bizonyítsd be, hogy
\(\displaystyle (p-1)\left(c_1+c_2+\cdots+c_k\right) \ge k^2. \)
Beszámoló a 2026. évi EGMO versenyről
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
