Szerk
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
(4 pont)
Közli: Bodor András, Budapest
Megoldás. A gördülési ellenállás elhanyagolható a légellenálláshoz képest, ezért azt nem vesszük figyelembe. A \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) maximális sebességet akkor éri el a biciklis, ha egyáltalán nem fékez, ilyenkor a közegellenállási erő egyensúlyt tart a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=\frac{1}{2}c\varrho Av_{\mathrm{max}}^2=kv_{\mathrm{max}}^2, \)
ahol \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle c\) alaktényezőtől, a levegő \(\displaystyle \varrho\) sűrűségétől és a biciklis \(\displaystyle A\) keresztmetszetétől függő, de a sebességtől független állandó. Az egyenletből:
\(\displaystyle k=\frac{mg\sin\alpha}{v_{\mathrm{max}}^2}. \)
Ha a biciklis \(\displaystyle v<v_{\mathrm{max}}\) állandó sebességgel gurul, akkor a közegellenállási erő és a fékezőerő összege tart egyensúlyt a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=kv^2+F_{\mathrm{f}}, \)
amiből a fékezőerő:
\(\displaystyle F_{\mathrm{f}}=mg\sin\alpha-kv^2=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right). \)
A fékezőerő teljesítménye \(\displaystyle -F_{\mathrm{f}}\,v\), tehát a féken disszipálódó hőteljesítmény:
\(\displaystyle P_{\mathrm{f}}(v)=F_{\mathrm{f}}\,v=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right)v. \)
Molnár Lili (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 12. évf.)
Megjegyzés. A \(\displaystyle P_{\mathrm{f}}\,(v)\) függvényt az ábrán látható grafikonon ábrázoltuk.
Látható, hogy a grafikonnak valahol a \(\displaystyle 0<v<v_{\mathrm{max}}\) tartományon maximuma van. Ez érthető, hiszen nagyon kis \(\displaystyle v\) sebességnél ugyan nagy erővel kell fékezni, de a \(\displaystyle {P_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{f}}\,v}\) miatt minimális a fékteljesítmény, a határsebességhez közeledve pedig az \(\displaystyle F_{\mathrm{f}}\) fékerő csökken. A maximumhelyet és a maximum értékét le lehet olvasni a grafikonról, vagy deriválással lehet meghatározni:
25 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 5, hibás 1 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
