Szerk
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
(4 pont)
Közli: Bodor András, Budapest
Megoldás. A gördülési ellenállás elhanyagolható a légellenálláshoz képest, ezért azt nem vesszük figyelembe. A \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) maximális sebességet akkor éri el a biciklis, ha egyáltalán nem fékez, ilyenkor a közegellenállási erő egyensúlyt tart a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=\frac{1}{2}c\varrho Av_{\mathrm{max}}^2=kv_{\mathrm{max}}^2, \)
ahol \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle c\) alaktényezőtől, a levegő \(\displaystyle \varrho\) sűrűségétől és a biciklis \(\displaystyle A\) keresztmetszetétől függő, de a sebességtől független állandó. Az egyenletből:
\(\displaystyle k=\frac{mg\sin\alpha}{v_{\mathrm{max}}^2}. \)
Ha a biciklis \(\displaystyle v<v_{\mathrm{max}}\) állandó sebességgel gurul, akkor a közegellenállási erő és a fékezőerő összege tart egyensúlyt a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=kv^2+F_{\mathrm{f}}, \)
amiből a fékezőerő:
\(\displaystyle F_{\mathrm{f}}=mg\sin\alpha-kv^2=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right). \)
A fékezőerő teljesítménye \(\displaystyle -F_{\mathrm{f}}\,v\), tehát a féken disszipálódó hőteljesítmény:
\(\displaystyle P_{\mathrm{f}}(v)=F_{\mathrm{f}}\,v=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right)v. \)
Molnár Lili (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 12. évf.)
Megjegyzés. A \(\displaystyle P_{\mathrm{f}}\,(v)\) függvényt az ábrán látható grafikonon ábrázoltuk.
Látható, hogy a grafikonnak valahol a \(\displaystyle 0<v<v_{\mathrm{max}}\) tartományon maximuma van. Ez érthető, hiszen nagyon kis \(\displaystyle v\) sebességnél ugyan nagy erővel kell fékezni, de a \(\displaystyle {P_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{f}}\,v}\) miatt minimális a fékteljesítmény, a határsebességhez közeledve pedig az \(\displaystyle F_{\mathrm{f}}\) fékerő csökken. A maximumhelyet és a maximum értékét le lehet olvasni a grafikonról, vagy deriválással lehet meghatározni:
25 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 5, hibás 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Róka Sándor idén februárban elnyerte a WFNMC Erdős Pál-díját. A Nemzeti Matematika Versenyek Világszövetsége (World Federation of National Mathematics Competitions – www.wfnmc.org) az Erdős Pál-díjat olyan matematikusoknak adományozza, akik hazai vagy nemzetközi versenyek szervezésével, illetve szakmai munkájukkal jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a matematikában tehetséges fiatalok minél szélesebb körben vehessenek részt magas színvonalú megmérettetésekben. (https://www.wfnmc.org/awards.html) A díj igazán nemzetközi, a kitüntetettek között minden lakott kontinens képviselteti magát. 1992 óta ítélik oda, eddig összesen 54-en kapták meg, köztük öt magyar és egy magyar születésű amerikai. (1996 – George Berzsenyi, 2000 – Reiman István, Surányi János, 2014 – Pelikán József, 2022 – Kós Géza, 2026 – Róka Sándor) A legtöbb díjjal – héttel – az Amerikai Egyesült Államok büszkélkedhet, ezt követi Ausztrália és Magyarország 5-5 díjjal, majd Kína 3-mal.
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
