Szerk
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
(4 pont)
Közli: Bodor András, Budapest
Megoldás. A gördülési ellenállás elhanyagolható a légellenálláshoz képest, ezért azt nem vesszük figyelembe. A \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) maximális sebességet akkor éri el a biciklis, ha egyáltalán nem fékez, ilyenkor a közegellenállási erő egyensúlyt tart a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=\frac{1}{2}c\varrho Av_{\mathrm{max}}^2=kv_{\mathrm{max}}^2, \)
ahol \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle c\) alaktényezőtől, a levegő \(\displaystyle \varrho\) sűrűségétől és a biciklis \(\displaystyle A\) keresztmetszetétől függő, de a sebességtől független állandó. Az egyenletből:
\(\displaystyle k=\frac{mg\sin\alpha}{v_{\mathrm{max}}^2}. \)
Ha a biciklis \(\displaystyle v<v_{\mathrm{max}}\) állandó sebességgel gurul, akkor a közegellenállási erő és a fékezőerő összege tart egyensúlyt a nehézségi erő lejtőirányú komponensével:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=kv^2+F_{\mathrm{f}}, \)
amiből a fékezőerő:
\(\displaystyle F_{\mathrm{f}}=mg\sin\alpha-kv^2=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right). \)
A fékezőerő teljesítménye \(\displaystyle -F_{\mathrm{f}}\,v\), tehát a féken disszipálódó hőteljesítmény:
\(\displaystyle P_{\mathrm{f}}(v)=F_{\mathrm{f}}\,v=mg\sin\alpha\left(1-\frac{v^2}{v_{\mathrm{max}}^2}\right)v. \)
Molnár Lili (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 12. évf.)
Megjegyzés. A \(\displaystyle P_{\mathrm{f}}\,(v)\) függvényt az ábrán látható grafikonon ábrázoltuk.
Látható, hogy a grafikonnak valahol a \(\displaystyle 0<v<v_{\mathrm{max}}\) tartományon maximuma van. Ez érthető, hiszen nagyon kis \(\displaystyle v\) sebességnél ugyan nagy erővel kell fékezni, de a \(\displaystyle {P_{\mathrm{f}}=F_{\mathrm{f}}\,v}\) miatt minimális a fékteljesítmény, a határsebességhez közeledve pedig az \(\displaystyle F_{\mathrm{f}}\) fékerő csökken. A maximumhelyet és a maximum értékét le lehet olvasni a grafikonról, vagy deriválással lehet meghatározni:
25 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 5, hibás 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
