A C. 1889. matematika gyakorlat megoldása

Szerk

C. 1889. Egy számegyenesen be van jelölve az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle \sqrt{5}\), semmi más. Adjuk meg szerkesztéssel a számegyenesen a \(\displaystyle 0\) helyét. (Az elemi szerkesztési lépéseket, mint például szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni.)

Javasolta: Veszprémi Ferenc (Budapest)

1. megoldás.

1. ábra

Ha a számegyenesen be van jelölve az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle \sqrt{5}\), akkor a számokat jelképező két pont közötti szakasz hossza nyilvánvalóan \(\displaystyle \sqrt{5}-1\). Ennek a szakasznak a segítségével az alábbi ábra derékszögű háromszögei euklideszi módon megszerkeszthetők.

Alkalmazva a Pitagorasz-tételt az egyes derékszögű háromszögekre:

Az ilyen eljárással megszerkesztett \(\displaystyle f\) szakasz hossza (1) szerint

\(\displaystyle f=\sqrt{5}\cdot(\sqrt{5}-1)=5-\sqrt{5}. \)

Jelöljük az \(\displaystyle e\) számegyenesen \(\displaystyle A\)-val, illetve \(\displaystyle B\)-vel az \(\displaystyle 1\), illetve a \(\displaystyle \sqrt{5}\) helyét. Ezután az \(\displaystyle AB\) félegyenesre a \(\displaystyle B\) pontból kiindulva mérjük fel a \(\displaystyle BC\) szakaszt úgy, hogy \(\displaystyle BC=f=5-\sqrt{5}\), ekkor

Az így keletkezett \(\displaystyle AC\) szakasz \(\displaystyle A\)-hoz legközelebbi negyedelőpontja megszerkeszthető úgy, hogy megfelezzük az \(\displaystyle AC\) szakaszt, jelölje a felezőpontot \(\displaystyle T\), majd az \(\displaystyle AT\) szakaszt is megfelezzük, és a \(\displaystyle P\)-vel jelölt felezőpont az \(\displaystyle AC\) szakasz \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi negyedelőpontja.

Megszerkesztettük tehát az egységnyi hosszúságú \(\displaystyle AP\) szakaszt, amelyet a \(\displaystyle PA\) félegyenesen az \(\displaystyle A\)-ból felmérve megkapjuk a \(\displaystyle 0\) helyét.

   Nádas Zorka Lilla (Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, Szeged, 8. o. t.) dolgozata alapján

2. megoldás. Mivel a számegyenesen csak az \(\displaystyle 1\) és a \(\displaystyle \sqrt{5}\) van megjelölve, ezért a két pont meghatároz egy \(\displaystyle \sqrt{5}-1\) hosszúságú szakaszt, ezt használjuk fel a további szerkesztési lépésekhez, amelyekben arra törekszünk, hogy az \(\displaystyle 1\) hosszúságú szakaszt előállítsuk.

Tekintsük a 2. ábrát, amelyen az \(\displaystyle XY=a\) szakaszra merőlegest állítottunk, erre a merőlegesre rámértük az \(\displaystyle YZ=a\) szakaszt, amelynek felezőpontját \(\displaystyle O\)-val jelöltük. Megszerkesztettük az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle \dfrac{a}{2}\) sugarú kört, ennek az \(\displaystyle XO\) egyenessel való metszéspontjai \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\).

2. ábra

Az ábra alapján felírhatjuk az \(\displaystyle X\) pontnak a körre vonatkozó hatványát, ez egyrészt \(\displaystyle a^2\), másrészt pedig \(\displaystyle {XU\cdot XV}\) vagy másként \(\displaystyle {XV\cdot (XV-a)}\), ezért \(\displaystyle {XV\cdot {(XV-a)}}=a^2\), ebből az \(\displaystyle {\Bigl(\dfrac{XV}{a}\Bigr)^2-\frac{XV}{a}-1=0}\) egyenletet kapjuk.

Az \(\displaystyle \dfrac{XV}{a}\)-ban másodfokú egyenletet megoldva

Ha tehát az \(\displaystyle a\) szakasz hosszát úgy választjuk meg, hogy \(\displaystyle a=\sqrt{5}-1\) legyen, amely éppen a számegyenesen adott két pont távolsága, akkor könnyen látható, hogy

A fentiekben leírt euklideszi szerkesztési lépéseket végrehajtva kaptunk egy \(\displaystyle 2\) hosszúságú szakaszt, ezt megfelezve adódik az \(\displaystyle 1\) hosszúságú szakasz, amelyet a számegyenesre az adott \(\displaystyle 1\)-et jelképező pontból balra felmérve megkapjuk a \(\displaystyle 0\) helyét.

  Farkas Réka (Jedlik Ányos Gimnázium, Budapest, 8. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Könnyen igazolható, hogy \(\displaystyle \dfrac{XU}{a}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\), ez az aranymetszés arányszáma, tehát az \(\displaystyle XU+a\) hosszúságú szakaszt az \(\displaystyle XU\) és \(\displaystyle a\) hosszúságú szakaszok az \(\displaystyle \dfrac{XU}{a}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) aránynak megfelelően osztják két részre.

2. A helyes megoldások között számosan a magasságtétel felhasználásával állították elő az \(\displaystyle 5-\sqrt{5}\) távolságot és ebből a \(\displaystyle 4\) egység hosszúságú szakaszt. Olyan megoldás is született, amely a számegyenessel párhuzamos egyenesen felvette az egymás után következő \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle 5a\) szakaszokat, ezekből a magasságtétel alkalmazásával szerkesztette meg az \(\displaystyle a\cdot \sqrt{5}\), majd az \(\displaystyle a\cdot (\sqrt{5}-1)\), szakaszt, ezután hivatkozott a párhuzamos szelőszakaszok tételére.

3. Hasonlóság erejéig meg tudjuk szerkeszteni a számegyenest.

Vegyünk fel egy tetszőleges egységet (\(\displaystyle 1'\) a piros ábrán), és szerkesszünk \(\displaystyle 1'\) és \(\displaystyle 2'\) befogójú derékszögű háromszöget. Ennek átfogója \(\displaystyle \sqrt{\displaystyle{5'}}\) hosszú. Metsszünk le belőle egy \(\displaystyle 1'\) egységnyi szakaszt az ábra szerint, a másik rész hossza \(\displaystyle {\sqrt{\displaystyle{5'}}-1'}\). Ennek segítségével \(\displaystyle {A=1}\) és \(\displaystyle B=\sqrt{5}\) helyének ismeretében (kék ábra) – például a három jelölt szög átmásolásával – megkapható a számegyenesen a 0 helye.

108 dolgozat érkezett. 5 pontos 65, 4 pontos 10, 3 pontos 9, 2 pontos 1, 1 pontos 4, 0 pontos 18.