Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
A cikk I. része ITT olvasható.
A 3-dimenziós euklidészi térben vegyünk fel egy \(\displaystyle O\) kezdőpontú, \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) tengelyű derékszögű koordináta-rendszert. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) a \(\displaystyle Z=1\) egyenletű – vagyis az \(\displaystyle (x,y)\) síkkal párhuzamos, a \(\displaystyle z\) tengelyt az 1 pontjában metsző – euklidészi sík. Egészítsük ki \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az előző részben leírt módon ideális pontokkal és egy ideális egyenessel, így kapjuk a \(\displaystyle \Pi\) projektív síkot. Először megadjuk a projektív sík \(\displaystyle O\)-pont modelljét.
Állítás. A \(\displaystyle \Pi\) pontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő egyeneseinek, a \(\displaystyle \Pi\) egyenesei pedig az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő síkjainak, mégpedig illeszkedéstartó módon, azaz \(\displaystyle \Pi\)-ben a \(\displaystyle P\) pont pontosan akkor illeszkedik az \(\displaystyle e\) egyenesre, ha a \(\displaystyle P\)-nek megfeleltetett \(\displaystyle O\)-n átmenő egyenest az euklidészi térben tartalmazza az \(\displaystyle e\)-nek megfeleltetett sík.
Bizonyítás. A \(\displaystyle \Pi\) sík egy \(\displaystyle K\) közönséges pontjának feleltessük meg az \(\displaystyle OK\) egyenest, ha pedig \(\displaystyle I\) ideális pontja \(\displaystyle \Pi\)-nek, akkor megfelelője legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, az \(\displaystyle I\) ideális pontnak megfelelő párhuzamossági osztályba tartozó egyenes (szemléletesen látható – de egyszerűen be is bizonyítható –, hogy az euklidészi térben minden ponton át minden térbeli párhuzamossági osztálynak pontosan egy egyenese megy át).
9. ábra
A \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle \ell\) közönséges egyenesének feleltessük meg az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle \ell\) egyenes által meghatározott síkot (az euklidészi térben egy nem illeszkedő pont-egyenes párhoz egyértelműen létezik olyan sík, amely átmegy a ponton és tartalmazza az egyenest), a \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle i\) ideális egyenesének megfelelője pedig legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, \(\displaystyle Z=0\) egyenletű sík, vagyis maga az \(\displaystyle (x,y)\) sík.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
