Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
A cikk I. része ITT olvasható.
A 3-dimenziós euklidészi térben vegyünk fel egy \(\displaystyle O\) kezdőpontú, \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) tengelyű derékszögű koordináta-rendszert. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) a \(\displaystyle Z=1\) egyenletű – vagyis az \(\displaystyle (x,y)\) síkkal párhuzamos, a \(\displaystyle z\) tengelyt az 1 pontjában metsző – euklidészi sík. Egészítsük ki \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az előző részben leírt módon ideális pontokkal és egy ideális egyenessel, így kapjuk a \(\displaystyle \Pi\) projektív síkot. Először megadjuk a projektív sík \(\displaystyle O\)-pont modelljét.
Állítás. A \(\displaystyle \Pi\) pontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő egyeneseinek, a \(\displaystyle \Pi\) egyenesei pedig az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő síkjainak, mégpedig illeszkedéstartó módon, azaz \(\displaystyle \Pi\)-ben a \(\displaystyle P\) pont pontosan akkor illeszkedik az \(\displaystyle e\) egyenesre, ha a \(\displaystyle P\)-nek megfeleltetett \(\displaystyle O\)-n átmenő egyenest az euklidészi térben tartalmazza az \(\displaystyle e\)-nek megfeleltetett sík.
Bizonyítás. A \(\displaystyle \Pi\) sík egy \(\displaystyle K\) közönséges pontjának feleltessük meg az \(\displaystyle OK\) egyenest, ha pedig \(\displaystyle I\) ideális pontja \(\displaystyle \Pi\)-nek, akkor megfelelője legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, az \(\displaystyle I\) ideális pontnak megfelelő párhuzamossági osztályba tartozó egyenes (szemléletesen látható – de egyszerűen be is bizonyítható –, hogy az euklidészi térben minden ponton át minden térbeli párhuzamossági osztálynak pontosan egy egyenese megy át).
9. ábra
A \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle \ell\) közönséges egyenesének feleltessük meg az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle \ell\) egyenes által meghatározott síkot (az euklidészi térben egy nem illeszkedő pont-egyenes párhoz egyértelműen létezik olyan sík, amely átmegy a ponton és tartalmazza az egyenest), a \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle i\) ideális egyenesének megfelelője pedig legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, \(\displaystyle Z=0\) egyenletű sík, vagyis maga az \(\displaystyle (x,y)\) sík.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Róka Sándor idén februárban elnyerte a WFNMC Erdős Pál-díját. A Nemzeti Matematika Versenyek Világszövetsége (World Federation of National Mathematics Competitions – www.wfnmc.org) az Erdős Pál-díjat olyan matematikusoknak adományozza, akik hazai vagy nemzetközi versenyek szervezésével, illetve szakmai munkájukkal jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a matematikában tehetséges fiatalok minél szélesebb körben vehessenek részt magas színvonalú megmérettetésekben. (https://www.wfnmc.org/awards.html) A díj igazán nemzetközi, a kitüntetettek között minden lakott kontinens képviselteti magát. 1992 óta ítélik oda, eddig összesen 54-en kapták meg, köztük öt magyar és egy magyar születésű amerikai. (1996 – George Berzsenyi, 2000 – Reiman István, Surányi János, 2014 – Pelikán József, 2022 – Kós Géza, 2026 – Róka Sándor) A legtöbb díjjal – héttel – az Amerikai Egyesült Államok büszkélkedhet, ezt követi Ausztrália és Magyarország 5-5 díjjal, majd Kína 3-mal.
A projektív geometria eredete a reneszánsz idejére tehető, amikor nem matematikusok, hanem festők kezdték tanulmányozni a valósághű ábrázolás és ezen keresztül a középpontos vetítés szabályait.
A félszemű festő szerencsére nem volt gyakori a reneszánsz idején sem. De az igen, hogy egy festő egyik szemével hunyorítva nézte a tájat, tárgyakat, így próbálván felderíteni a perspektivikus képüket. Ennek a „hunyorításnak” az absztrakt megfelelője lesz most a Félszemű Festő, \(\displaystyle FF\), aki szeretne realista képet készíteni a vásznára (jelölje \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)) az Alföld (jelölje \(\displaystyle \mathcal{A}\)) egy darabjáról. Mit kell tennie? Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\) valamilyen átlátszó anyagból készült téglalap, \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t nem tartalmazó sík, \(\displaystyle FF\) egyetlen szeme, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t tartalmazó \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkra nem illeszkedik. A festőnek szeme sem rebben, tehát az \(\displaystyle E\) pont helye rögzített.
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
