Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
A cikk I. része ITT olvasható.
A 3-dimenziós euklidészi térben vegyünk fel egy \(\displaystyle O\) kezdőpontú, \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) tengelyű derékszögű koordináta-rendszert. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) a \(\displaystyle Z=1\) egyenletű – vagyis az \(\displaystyle (x,y)\) síkkal párhuzamos, a \(\displaystyle z\) tengelyt az 1 pontjában metsző – euklidészi sík. Egészítsük ki \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az előző részben leírt módon ideális pontokkal és egy ideális egyenessel, így kapjuk a \(\displaystyle \Pi\) projektív síkot. Először megadjuk a projektív sík \(\displaystyle O\)-pont modelljét.
Állítás. A \(\displaystyle \Pi\) pontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő egyeneseinek, a \(\displaystyle \Pi\) egyenesei pedig az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő síkjainak, mégpedig illeszkedéstartó módon, azaz \(\displaystyle \Pi\)-ben a \(\displaystyle P\) pont pontosan akkor illeszkedik az \(\displaystyle e\) egyenesre, ha a \(\displaystyle P\)-nek megfeleltetett \(\displaystyle O\)-n átmenő egyenest az euklidészi térben tartalmazza az \(\displaystyle e\)-nek megfeleltetett sík.
Bizonyítás. A \(\displaystyle \Pi\) sík egy \(\displaystyle K\) közönséges pontjának feleltessük meg az \(\displaystyle OK\) egyenest, ha pedig \(\displaystyle I\) ideális pontja \(\displaystyle \Pi\)-nek, akkor megfelelője legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, az \(\displaystyle I\) ideális pontnak megfelelő párhuzamossági osztályba tartozó egyenes (szemléletesen látható – de egyszerűen be is bizonyítható –, hogy az euklidészi térben minden ponton át minden térbeli párhuzamossági osztálynak pontosan egy egyenese megy át).
9. ábra
A \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle \ell\) közönséges egyenesének feleltessük meg az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle \ell\) egyenes által meghatározott síkot (az euklidészi térben egy nem illeszkedő pont-egyenes párhoz egyértelműen létezik olyan sík, amely átmegy a ponton és tartalmazza az egyenest), a \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle i\) ideális egyenesének megfelelője pedig legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, \(\displaystyle Z=0\) egyenletű sík, vagyis maga az \(\displaystyle (x,y)\) sík.
Ezek a megfeleltetések nyilván kölcsönösen egyértelműek. Vizsgáljuk meg az illeszkedéstartást. A \(\displaystyle \Pi\) sík valamely \(\displaystyle \ell\) közönséges egyenese pontosan akkor tartalmazza a \(\displaystyle \Pi\) sík valamely \(\displaystyle K\) közönséges pontját, ha a térben az \(\displaystyle OK\) egyenes benne van az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle \ell\) egyenes által meghatározott euklidészi síkban. Az \(\displaystyle I\) ideális pont pedig akkor illeszkedik \(\displaystyle \Pi\)-ben \(\displaystyle \ell\)-re, ha \(\displaystyle \ell\) az \(\displaystyle I\)-nek megfelelő párhuzamossági osztályhoz tartozik, azaz pontosan akkor, amikor az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle \ell\) egyenes által meghatározott sík a \(\displaystyle Z=0\) egyenletű síkot egy \(\displaystyle \ell\)-lel párhuzamos egyenesben metszi, mert az euklidészi térben két párhuzamos síkot egy harmadik sík egymással párhuzamos egyenesekben metsz. A \(\displaystyle \Pi\) sík ideális egyenesének megfelelő \(\displaystyle Z=0\) egyenletű sík pedig azokat az \(\displaystyle O\)-n átmenő egyeneseket tartalmazza, amelyek benne vannak a síkban, azaz tartalmazza az ideális pontoknak megfelelő egyeneseket, de nem tartalmaz egyetlen közönséges pontnak megfelelő egyenest sem. \(\displaystyle \Box\)
A \(\displaystyle 3\)-dimenziós euklidészi térben egy \(\displaystyle O\)-n átmenő egyenest egyértelműen meghatároz bármelyik irányvektora, egy \(\displaystyle O\)-n átmenő síkot pedig bármelyik normálvektora. Két (irány)vektor pontosan akkor tartozik ugyanahhoz az \(\displaystyle O\)-n átmenő egyeneshez, illetve két (normál)vektor ugyanahhoz az \(\displaystyle O\)-ra illeszkedő síkhoz, ha egymás számszorosai. Ezért \(\displaystyle \Pi\) pontjait, illetve egyeneseit azonosíthatjuk a nullvektortól különböző vektorok osztályaival, ahol két vektor, \(\displaystyle \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\) és \(\displaystyle \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3)\), akkor és csak akkor van ugyanabban az osztályban (amit a \(\displaystyle \mathbf{v}\sim \mathbf{w}\) jelöléssel fejezünk ki), ha van olyan nem nulla szám, amivel az egyiket megszorozva a másikat kapjuk. Erre a felismerésre alapozva bevezethetjük a projektív sík pontjainak és egyeneseinek homogén koordinátáit.
Definíció. A \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle P\) pontjának homogén koordinátái \(\displaystyle (v_1:v_2:v_3)\), ha az \(\displaystyle OP\) egyenesnek a \(\displaystyle \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\) vektor egy irányvektora.
A \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle e\) egyenesének homogén koordinátái \(\displaystyle [u_1:u_2:u_3]\), ha az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle e\) egyenes által meghatározott síknak az \(\displaystyle \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\) vektor egy normálvektora.
A homogén koordináták tehát függenek a \(\displaystyle 3\)-dimenziós tér koordináta-rendszerének megválasztásától. Egy rögzített koordináta-rendszerben minden pontnak sok homogén koordinátahármasa van. Két koordinátahármas, \(\displaystyle (v_1:v_2:v_3)\) és \(\displaystyle (w_1:w_2:w_3)\) pontosan akkor tartozik ugyanahhoz a ponthoz, ha van olyan \(\displaystyle \lambda \neq 0\) valós szám, amelyre \(\displaystyle v_1=\lambda w_1\), \(\displaystyle v_2=\lambda w_2\) és \(\displaystyle v_3=\lambda w_3\). Tehát a pontot a homogén koordinátáinak egymáshoz viszonyított aránya határozza meg. A \(\displaystyle (0:0:0)\) hármas nem tartozik egyetlen ponthoz sem (hiszen a \(\displaystyle \mathbf{0}=(0,0,0)\) vektor nem irányvektora egyetlen egyenesnek sem), viszont bármely ettől különböző hármas pontosan egy pontnak a homogén koordinátahármasa. Ugyanezek elmondhatóak az egyenesek \(\displaystyle [u_1:u_2:u_3]\) homogén koordinátahármasairól is.
A projektív síkon a \(\displaystyle P\) pont akkor és csak akkor illeszkedik az \(\displaystyle e\) egyenesre, ha az \(\displaystyle O\)-pont modellben az \(\displaystyle OP\) egyenes benne van az \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle e\) által meghatározott síkban. Ez pontosan akkor teljesül, ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára, azaz ha a két vektor skaláris szorzata \(\displaystyle 0\), vagyis a homogén koordinátáikra teljesül, hogy \(\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=0\).
Ebben a koordináta-rendszerben ha \(\displaystyle K\) közönséges pont, akkor az \(\displaystyle OK\) egyenes nincs benne a \(\displaystyle Z=0\) síkban, ezért irányvektorának harmadik koordinátája nem \(\displaystyle 0\), ha viszont \(\displaystyle I\) ideális pont, akkor az \(\displaystyle OI\) egyenes benne van a \(\displaystyle Z=0\) síkban, azaz irányvektorának harmadik koordinátája \(\displaystyle 0\). Vagyis az ideális pontokat arról lehet „felismerni”, hogy harmadik homogén koordinátájuk \(\displaystyle 0\). A \(\displaystyle K\) közönséges pont egyik homogén koordinátahármasa \(\displaystyle (x:y:1)\), ahol \(\displaystyle (x,y,1)\) éppen \(\displaystyle K\) derékszögű koordinátái a \(\displaystyle 3\)-dimenziós euklidészi térben.
Ha az euklidészi síkon adott egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer, akkor sok ponthalmazt megadhatunk az egyenletével. (Egy ponthalmaz egyenlete egy olyan összefüggés(rendszer), amelyet a halmaz pontjainak koordinátái igazzá tesznek, a halmazon kívüli pontokéi pedig nem.) Megtanultuk koordinátageometriából, hogy a \(\displaystyle 2X+3Y=1\) egyenlet egy \(\displaystyle e\) egyenest, a \(\displaystyle X^2+Y^2=1\) egyenlet pedig az origó középpontú egységkört határozza meg. Az ilyen típusú egyenleteket felírhatjuk kétváltozós polinomok segítségével is. Ha \(\displaystyle F_1(X,Y)=2X+3Y-1\), illetve \(\displaystyle F_2(X,Y)=X^2+Y^2-1\), akkor az \(\displaystyle F_1(X,Y)=0\), illetve az \(\displaystyle F_2(X,Y)=0\) egyenlet az \(\displaystyle e\) egyenes, illetve az origó középpontú egységkör egyenlete. Ezt az észrevételt általánosítja az affin síkgörbe fogalma.
Definíció. Legyen
\(\displaystyle F(X,Y)=\sum _{0\leq i+j\leq k}a_{i,j}X^iY^j \)
egy kétváltozós valós együtthatós \(\displaystyle k\)-adfokú polinom. Ekkor az
\(\displaystyle F(X,Y)=0 \)
egyenlet egy affin görbét definiál a koordináta-rendszerrel ellátott euklidészi síkon. Az affin görbe azon \(\displaystyle P(x,y)\) pontok halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az \(\displaystyle F(x,y)=0\) egyenletet.
Vizsgáljuk meg, hogyan lehet polinommal megadni a projektív sík egy görbéjét. A projektív síkon a homogén koordinátákat jelölje \(\displaystyle X_1\), \(\displaystyle X_2\) és \(\displaystyle X_3\). Mi történik, ha egy háromváltozós \(\displaystyle {G(X_1,X_2,X_3)}\) polinomból indulunk ki? Az előzőek mintájára a projektív síkon a projektív görbét úgy kellene definiálnunk, hogy azon \(\displaystyle {P(x_1:x_2:x_3)}\) pontok halmaza, amelyek koordinátái kielégítik a \(\displaystyle G(x_1,x_2,x_3)=0\) egyenletet. E szerint ha \(\displaystyle G(X_1,X_2,X_3)=X^2_1+X^2_2-X_3\), akkor a \(\displaystyle P(1:1:2)\) pont rajta van a görbén, mert \(\displaystyle 1^2+1^2-2=0\). De a \(\displaystyle P\) pontnak \(\displaystyle (2:2:4)\) is egy homogén koordinátahármasa. Ha ezzel számolunk, akkor azt kapjuk, hogy \(\displaystyle {2^2+2^2-4\neq 0}\), azaz \(\displaystyle P\) nincs rajta a görbén. Egy pont illeszkedése a görbére nyilván nem függhet attól, hogy a pontnak melyik koordinátahármasával számolunk. Látható tehát, hogy a projektív síkon tetszőleges polinommal nem tudunk görbét definiálni. Viszont homogén polinomokkal számolva megváltozik a helyzet. Egy polinomot homogén \(\displaystyle k\)-adfokúnak nevezünk, ha a változók fokszámainak összege minden tagjában \(\displaystyle k\). Tehát egy \(\displaystyle k\)-adfokú, háromváltozós valós együtthatós homogén polinom megadható
\(\displaystyle H(X_1,X_2,X_3)=\sum _{0\leq i+j\leq k}a_{i,j}X_1^iX_2^jX_3^{k-i-j} \)
alakban. Például minden másodfokú, háromváltozós homogén polinom felírható
\(\displaystyle a_{2,0}X_1^2+a_{1,1}X_1X_2+a_{0,2}X_2^2+a_{1,0}X_1X_3+a_{0,1}X_2X_3+a_{0,0}X_3^2 \)
alakban.
egy háromváltozós valós együtthatós homogén \(\displaystyle k\)-adfokú polinom. Ekkor a
\(\displaystyle H(X_1,X_2,X_3)=0 \)
egyenlet egy projektív görbét definiál. A projektív görbe a projektív sík azon \(\displaystyle {P(x_1:x_2:x_3)}\) pontjainak halmaza, amelyek homogén koordinátái kielégítik a \(\displaystyle {H(x_1,x_2,x_3)=0}\) egyenletet.
Ha így definiáljuk a görbét, akkor a projektív sík egy pontjának a görbére való illeszkedése független lesz attól, hogy a pontnak melyik homogén koordinátahármasát tekintjük. Ugyanis ha \(\displaystyle P\) a projektív sík egy pontja, amelynek \(\displaystyle P(x_1:x_2:x_3)\) és \(\displaystyle P(\lambda x_1:\lambda x_2:\lambda x_3)\) két koordinátahármasa, \(\displaystyle H\) pedig egy háromváltozós \(\displaystyle k\)-adfokú homogén polinom, akkor
Azaz \(\displaystyle \lambda \neq 0\) miatt \(\displaystyle H(x_1,x_2,x_3)=0\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle {H(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)=0}\).
Tekintsük a projektív síkot mint az euklidészi sík kiterjesztését az ideális pontokkal és az ideális egyenessel. Legyen \(\displaystyle \mathcal{G}\) egy affin görbe, amelyet az \(\displaystyle F(X,Y)\) polinom definiál. Hogyan kaphatjuk meg \(\displaystyle \mathcal{G}\) projektív síkra való kiterjesztését, azaz azt a \(\displaystyle \overline{\mathcal{G}}\) projektív görbét, amelynek az euklidészi síkon lévő pontjai megegyeznek \(\displaystyle \mathcal{G}\) pontjaival?
Ha \(\displaystyle F\) \(\displaystyle k\)-adfokú, akkor legyen
\(\displaystyle H(X_1,X_2,X_3)=X_3^k\cdot F(X_1/X_3,X_2/X_3). \)
Könnyen látható, hogy \(\displaystyle H(X_1,X_2,X_3)\) homogén \(\displaystyle k\)-adfokú polinom. Mivel
\(\displaystyle H(x,y,1)=1^k\cdot F(x/1,y/1)=F(x,y), \)
ezért egy közönséges pont, \(\displaystyle P(x_1:x_2:x_3)\), amelynek egy homogén koordinátahármasa \(\displaystyle (x_1/x_3:x_2/x_3:1)=(x:y:1)\), pontosan akkor van a \(\displaystyle H(X_1,X_2,X_3)=0\) egyenletű projektív görbén, ha rajta van az \(\displaystyle F(X_1/X_3,X_2/X_3)=0\) egyenletű affin görbén. A projektív görbe azonban tartalmazhat az ideális egyenesen lévő pontokat is. Mivel koordináta-rendszerünkben a projektív sík egy pontja akkor és csak akkor ideális, ha harmadik koordinátája \(\displaystyle 0\), ezért a görbe ideális pontjai kielégítik a \(\displaystyle H(X_1,X_2,0)=0\) egyenletet.
Például ha az euklidészi síkon az \(\displaystyle Y=mX+b\) egyenletű egyenest nézzük, akkor a megfelelő projektív görbe egyenlete
\(\displaystyle X_3\left(m\frac{X_1}{X_3}-\frac{X_2}{X_3}+b\right)=0, \text{ azaz } mX_1-X_2+bX_3=0. \)
Az \(\displaystyle (x_1:x_2:0)\) ideális pont pontosan akkor van a görbén, ha \(\displaystyle x_2=mx_1\), azaz a görbének egy ideális pontja van, az \(\displaystyle (1:m:0)\) pont, mert a koordináták homogenitása miatt \(\displaystyle (x_1:mx_1:0)\sim (1:m:0)\). Ez a számolás a várt eredményt hozta, az \(\displaystyle m\) meredekségű egyeneseknek egy közös ideális pontja van, és ez az \(\displaystyle (1:m:0)\) pont. Ha az euklidészi sík \(\displaystyle X=c\) egyenletű egyeneseit tekintjük, akkor a számolás azt adja, hogy a projektív síkra való kiterjesztettjeik egyenlete \(\displaystyle X_1-cX_3=0,\) közös ideális pontjuk pedig a \(\displaystyle (0:1:0)\) pont.
Összefoglalva a „függőleges” és a „nem függőleges” egyenesek esetét azt mondhatjuk, hogy az euklidészi sík \(\displaystyle u_1X+u_2Y+u_3=0\) egyenletű egyenese projektív síkra való kiterjesztésének egyenlete \(\displaystyle u_1X_1+u_2X_2+u_3X_3=0\). Ezen egyetlen ideális pont van, a \(\displaystyle (-u_2:u_1:0)\). Jegyezzük meg, hogy ez a koordinátahármas mindig egy pontot definiál, mert \(\displaystyle u_1\) és \(\displaystyle u_2\) egyszerre nem lehet \(\displaystyle 0\), hiszen akkor az eredeti egyenlet nem egyenest definiálna. Az ideális egyenes a projektív sík azon pontjait tartalmazza, amelyek harmadik koordinátája \(\displaystyle 0\), vagyis az ideális egyenes egyenlete \(\displaystyle X_3=0\). Tehát a \(\displaystyle \Pi\) projektív sík egyeneseit azonosíthatjuk az \(\displaystyle [u_1:u_2:u_3]\) hármasok osztályaival, és ez az azonosítás ugyanaz, mint amit az előző fejezetben az egyenesek homogén koordinátáinak bevezetésekor megadtunk.
Az \(\displaystyle X^2+Y^2=1\) egyenletű kör projektív kiterjesztettjének egyenlete
\(\displaystyle X_3^2\left(\left(\frac{X_1}{X_3}\right)^2+\left(\frac{X_2}{X_3}\right)^2-1\right)=0, \text{ azaz } X_1^2+X_2^2-X_3^2=0. \)
Az \(\displaystyle (x_1:x_2:0)\) ideális pont pontosan akkor van a görbén, ha \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=0\), azaz ha nem csak \(\displaystyle x_3\), hanem \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) is \(\displaystyle 0\). Viszont a \(\displaystyle (0:0:0)\) az egyetlen olyan hármas, amely nem koordinátahármasa a projektív sík egyetlen pontjának sem, ezért a számolásunk azt adja, hogy az origó középpontú egységkör projektív kiterjesztettjének nincs ideális pontja. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha egy ellipszis ideális pontjait keressük. Ez megfelel annak a szemléletes ténynek, hogy a kör és az ellipszis az euklidészi síkon korlátos alakzat, nem nyúlik a végtelenbe.
Az \(\displaystyle Y=X^2\) egyenletű parabola projektív kiterjesztettjének egyenlete
\(\displaystyle X_3^2\left(\frac{X_2}{X_3}-\left(\frac{X_1}{X_3}\right)^2\right)=0, \text{ azaz } X_2X_3-X_1^2=0. \)
Az \(\displaystyle (x_1:x_2:0)\) ideális pont pontosan akkor van a görbén, ha \(\displaystyle x_1^2=0\), azaz ha \(\displaystyle x_1=0\). Tehát a homogenitást felhasználva azt kapjuk, hogy a parabola kiterjesztettjének egy ideális pontja van, \(\displaystyle (0:1:0)\), ami megegyezik a függőleges egyenesek ideális pontjával. Szemléletesen az \(\displaystyle Y=X^2\) parabola mindkét szára közelít a függőleges irányhoz, ha pontjainak első koordinátája a végtelenhez tart akár a pozitív, akár a negatív irányban.
Ezt a tényt egyszerű számolással beláthatjuk. Mivel a parabola szimmetrikus az \(\displaystyle Y\) tengelyre, ezért elég a pozitív első koordináták esetét vizsgálni. Ha \(\displaystyle n\) természetes szám, akkor a parabola \(\displaystyle (n,n^2)\) és \(\displaystyle (n+1,(n+1)^2)\) pontjait összekötő egyenes meredeksége \(\displaystyle ((n+1)^2-n^2)/((n+1)-n)=2n+1\), ami \(\displaystyle n\rightarrow \infty\) esetén a végtelenhez tart, ami a „függőleges” egyenesnek felel meg.
Az \(\displaystyle XY=1\) egyenletű hiperbola projektív kiterjesztettjének egyenlete
\(\displaystyle X_3^2\left(\frac{X_1}{X_3}\frac{X_2}{X_3}-1\right)=0, \text{ azaz } X_1X_2-X_3^2=0. \)
Az \(\displaystyle (x_1:x_2:0)\) ideális pont pontosan akkor van a görbén, ha \(\displaystyle x_1x_2=0\), azaz ha \(\displaystyle x_1=0\), vagy ha \(\displaystyle x_2=0\). Tehát a homogenitást felhasználva azt kapjuk, hogy az \(\displaystyle XY=1\) hiperbola kiterjesztettjének két ideális pontja van, \(\displaystyle (0:1:0)\) és \(\displaystyle (1:0:0)\). Ez is egybevág a szemléletünkkel, mert az első pont a „függőleges”, a második pedig a „vízszintes” egyenesek ideális pontja.
A hiperbolát, parabolát, ellipszist és a kört közös néven kúpszeletnek nevezzük, mert ezek a görbék előállnak egy egyenes körkúp és egy sík metszeteként (ennek szemléletes bizonyítását tartalmazza például az [5] cikk). Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a kúp alapkörét a kúp csúcsából középpontosan vetítve egy síkra kúpszeletet kapunk, a síknak a kúp forgástengelyével bezárt szögétől függően ellipszist (kört), parabolát vagy hiperbolát. Vagyis a kúpszeletek a projektív térben vetítéssel átvihetőek egymásba. Az, hogy a projektív síkon a parabola és a hiperbola ugyanolyan görbék, jól látszik a homogén koordinátás egyenleteikből is. Ha a két egyenletben felcseréljük az \(\displaystyle X_1\) és \(\displaystyle X_3\) változókat, akkor az egyik egyenletből a másikat kapjuk. Jól ismert, hogy a két változó, \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) felcserélése egy affin görbe egyenletében az euklidészi síkon a görbe \(\displaystyle Y=X\) egyenletű egyenesre való tükrözésének felel meg. Egyszerű transzformáció a projektív síkon \(\displaystyle X_1\) és \(\displaystyle X_3\) felcserélése is, csak ezt a sík euklidészi részén nem látjuk egyszerűnek, mert ez a csere ideális pontokat közönséges pontokba képez, néhány közönséges pont képe pedig ideális lesz.
A homogén koordináták jól mutatják, hogy a klasszikus projektív síkon a pontok és egyenesek szerepe az illeszkedés szempontjából szimmetrikus: a \(\displaystyle (v_1:v_2:v_3)\) pont akkor illeszkedik az \(\displaystyle [u_1:u_2:u_3]\) egyenesre, ha \(\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=0\). Érdemes belegondolni, hogy ha két pont összekötő egyenesének koordinátáit, vagy két egyenes metszéspontjának koordinátáit szeretnénk kiszámolni, akkor az \(\displaystyle O\)-pont modellben mindkét esetben egy olyan vektort keresünk, amely két adott, egymással nem párhuzamos vektorra merőleges. Két pont, \(\displaystyle P_1\) és \(\displaystyle P_2\) esetén a keresett vektor az \(\displaystyle OP_1\) és \(\displaystyle OP_2\) egyenesek által meghatározott sík egy normálvektora, két egyenes, \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\) esetén pedig az \(\displaystyle \langle O,e_1\rangle\) és \(\displaystyle \langle O,e_2\rangle\) síkok metszésvonalának egy irányvektora. Ennek alapján az 1. Tételben szereplő két állítás egyszerre fogalmazható meg a következő formában: az euklidészi térben két nem párhuzamos vektor egyértelműen meghatározza a mindkettőre merőleges vektorok osztályát.
Két adott vektorra merőleges vektort vektorok vektoriális szorzatát felhasználva lehet megadni: az egymással nem párhuzamos \(\displaystyle \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\) és \(\displaystyle \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3)\) vektorok esetén ezek a nullvektortól különböző
vektorral párhuzamos vektorok. Ennek bizonyítása azonban meghaladja cikkünk kereteit, az érdeklődő olvasó például a [6] könyvben nézhet utána. Vagyis az S1 és S2 állítások bizonyításánál tulajdonképpen ugyanazt kell csinálnunk, csak az első esetben két kerek zárójeles koordinátahármashoz keresünk egy szögletes zárójelben lévőt, míg a második esetben két szögletes zárójeles koordinátahármashoz keresünk egy kerek zárójelben lévőt. Ebből az észrevételből következik a klasszikus projektív síkbeli dualitás elve.
Ha a klasszikus projektív síkon egy állítás megfogalmazható pontokkal, egyenesekkel és azok illeszkedésének segítségével, akkor az állítás pontosan akkor igaz, ha a duálisa igaz. A duális állítást úgy kapjuk, hogy a pontok és az egyenesek szerepét felcseréljük.
Az állításban formálisan csak az illeszkedés szerepelhet, azaz „két pont összekötő egyenese” helyett azt mondjuk, hogy egy „olyan egyenes, amely mindkét pontra illeszkedik”, aminek a duálisa az, hogy „olyan pont, amely mindkét egyenesre illeszkedik”, azaz a két egyenes metszéspontja.
Például két azonos síkban lévő háromszög pontra, illetve egyenesre való perspektivitásának fogalmai egymás duálisai. Desargues tételének már bebizonyított irányát pedig egysíkú háromszögek esetén a következőképpen is megfogalmazhatjuk:
Ha a \(\displaystyle P_1P_2P_3\) és \(\displaystyle R_1R_2R_3\) csúcsokkal és \(\displaystyle p_1=P_2P_3\), \(\displaystyle p_2=P_3P_1\), \(\displaystyle p_3=P_1P_2\), valamint \(\displaystyle r_1=R_2R_3\), \(\displaystyle r_2=R_3R_1\), \(\displaystyle r_3=R_1R_2\) oldalegyenesekkel adott háromszögek által meghatározott \(\displaystyle P_iR_i\) egyenesek (\(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)) mindegyike illeszkedik egy \(\displaystyle E\) pontra, akkor a \(\displaystyle p_i\cap r_i\) pontok (\(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)) mindegyike illeszkedik egy \(\displaystyle e\) egyenesre.
A dualitás elve miatt tehát igaz a következő is:
Ha a \(\displaystyle p_1p_2p_3\) és \(\displaystyle r_1r_2r_3\) oldalegyenesekkel és \(\displaystyle P_1\!=\!p_2\cap p_3\), \(\displaystyle P_2\!=\!p_3\cap p_1\), \(\displaystyle P_3\!=\!{p_1\cap p_2}\), valamint \(\displaystyle R_1=r_2\cap r_3\), \(\displaystyle R_2=r_3\cap r_1\), \(\displaystyle R_3=r_1\cap r_2\) csúcsokkal adott háromszögek által meghatározott \(\displaystyle p_i\cap r_i\) pontok (\(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)) mindegyike illeszkedik egy \(\displaystyle e\) egyenesre, akkor a \(\displaystyle P_iR_i\) egyenesek (\(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)) mindegyike illeszkedik egy \(\displaystyle E\) pontra.
Ez pedig éppen a tétel másik iránya.
Ebben az utolsó, rövid fejezetben feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a valós számok feletti vektortér fogalmát. Ezt felhasználva az \(\displaystyle O\)-pont modell alapján a klasszikus projektív síkot a következő módon is megadhatjuk.
Legyen \(\displaystyle V_3\) a \(\displaystyle 3\)-dimenziós \(\displaystyle \mathbb{R}^3\) vektortér a valós számok \(\displaystyle \mathbb{R}\) halmaza felett. A klasszikus projektív sík a következő:
A sík pontjai \(\displaystyle V_3\)-nak az \(\displaystyle 1\)-dimenziós alterei (azaz az \(\displaystyle O\)-n átmenő egyenesek), a sík egyenesei pedig \(\displaystyle V_3\)-nak a \(\displaystyle 2\)-dimenziós alterei (azaz az \(\displaystyle O\)-n átmenő síkok).
Egy pont pontosan akkor illeszkedik egy egyenesre, ha a pontnak megfeleltetett \(\displaystyle 1\)-dimenziós alteret tartalmazza a síknak megfeleltetett \(\displaystyle 2\)-dimenziós altér.
Ez a fajta leírás magasabb dimenziókban is működik, de mi most csak a \(\displaystyle 3\)-dimenziós klasszikus projektív teret adjuk meg, feladatnak hagyjuk az \(\displaystyle n\)-dimenziós tér leírását.
Legyen \(\displaystyle V_4\) a \(\displaystyle 4\)-dimenziós \(\displaystyle \mathbb{R}^4\) vektortér a valós számok \(\displaystyle \mathbb{R}\) halmaza felett. A klasszikus projektív tér a következő:
A tér pontjai, egyenesei és síkjai \(\displaystyle V_4\)-nek rendre az \(\displaystyle 1\)-, \(\displaystyle 2\)- és \(\displaystyle 3\)-dimenziós alterei.
Az \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) projektív alterek akkor illeszkednek egymásra, ha a nekik megfeleltetett vektortérbeli alterek közül az egyik tartalmazza a másikat.
Ezt a reprezentációt használva az S1 és a T1 állítások azt mondják, hogy két különböző \(\displaystyle 1\)-dimenziós altérhez egyértelműen létezik mindkettőt tartalmazó \(\displaystyle 2\)-dimenziós altér, T3 pedig azt, hogy ha három különböző \(\displaystyle 1\)-dimenziós altér nincs benne egy \(\displaystyle 2\)-dimenziós altérben, akkor egyértelműen létezik mindhármat tartalmazó \(\displaystyle 3\)-dimenziós altér. Ezek nyilvánvalóan teljesülnek a vektorterekben. Az S2 állítás azt jelenti, hogy egy \(\displaystyle 3\)-dimenziós térben két különböző \(\displaystyle 2\)-dimenziós altérhez egyértelműen létezik olyan \(\displaystyle 1\)-dimenziós altér, amelyet mindkét \(\displaystyle 2\)-dimenziós tartalmaz, a T5 állítás pedig azt jelenti, hogy egy \(\displaystyle 4\)-dimenziós térben két különböző \(\displaystyle 3\)-dimenziós altérhez egyértelműen létezik olyan \(\displaystyle 2\)-dimenziós altér, amelyet mindkét \(\displaystyle 3\)-dimenziós tartalmaz. Minthogy két altér metszete is altere a vektortérnek, ezért csak a metszetek dimenziójáról kell megmutatnunk, hogy az S2 esetében 1, T5 esetében pedig 2. Két különböző \(\displaystyle 2\)-dimenziós altere generálja a teljes \(\displaystyle 3\)-dimenziós teret, illetve két különböző \(\displaystyle 3\)-dimenziós altere generálja a teljes \(\displaystyle 4\)-dimenziós teret, ezért a metszetek dimenziói azonnal következnek az úgynevezett dimenzióformulából, amely szerint ha \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) egy véges dimenziós vektortér alterei, akkor az ő, valamint az általuk generált \(\displaystyle \langle U,V\rangle \) altér és metszetük dimenzióira teljesül, hogy
\(\displaystyle \dim U +\dim V = \dim(\langle U,V\rangle)+\dim(U\cap V). \)
Ugyancsak a dimenzióformulából következnek a T2 és T4 állítások is. Ha \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) két különböző egyenesnek megfelelő altér, akkor \(\displaystyle \dim U=\dim V=2\) és \(\displaystyle {\dim (U\cap V)=1}\) vagy \(\displaystyle 0\), attól függően, hogy a két egyenes metsző vagy kitérő. Vagyis az első esetben \(\displaystyle \dim(\langle U,V\rangle )=2+2-1=3\), azaz a két egyenes egysíkú, míg a második esetben \(\displaystyle \dim (\langle U,V\rangle)= 2+2-0=4\), azaz a két egyenes a teljes \(\displaystyle 3\)-dimenziós teret generálja. Ez bizonyítja T2-t. A T4 állítás bizonyításánál ha a síknak megfelelő \(\displaystyle 3\)-dimenziós \(\displaystyle U\) altér nem tartalmazza az egyenesnek megfelelő \(\displaystyle 2\)-dimenziós \(\displaystyle V\) alteret, akkor a teljes vektorteret generálják, vagyis \(\displaystyle \dim (\langle U,V\rangle )=4\). Ekkor viszont a dimenzióformulából adódóan \(\displaystyle \dim (U\cap V)=3+2-4=1\), tehát \(\displaystyle U\cap V\) egy pont.
A dualitás elvének is létezik \(\displaystyle 3\)-dimenziós (és magasabb dimenziós) változata, erre azonban már csak terjedelmi korlátok miatt sem térünk ki. Sok egyéb projektív geometriai tétel mellett erről is bővebben lehet olvasni az [1] könyvben. Akik alaposabban szeretnék megismerni a matematika ezen klasszikus fejezetét, azoknak az [1] könyv mellett a [6] könyvet ajánljuk.
1. Legyen \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle e\) a klasszikus projektív sík egy pontja és egy egyenese. Rajzoljunk le két olyan háromszöget az euklidészi síkon, amelyek \(\displaystyle e\)-re is és \(\displaystyle E\)-re is perspektívek, ha
2. Jelöljük az euklidészi síkon lévő \(\displaystyle A_1A_2A_3\) háromszög \(\displaystyle A_i\) csúcshoz tartozó magasságának talppontját \(\displaystyle M_i\)-vel (\(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\)). Mutassuk meg, hogy az euklidészi sík kiterjesztésével kapott klasszikus projektív síkon az \(\displaystyle {A_1A_2\cap M_1M_2}\), \(\displaystyle {A_2A_3\cap M_2M_3}\) és \(\displaystyle {A_3A_1\cap M_3M_1}\) pontok kollineárisak.
3. Mutassuk meg, hogy ha a klasszikus projektív síkon lévő \(\displaystyle A_1A_2A_3\), \(\displaystyle B_1B_2B_3\) és \(\displaystyle C_1C_2C_3\) háromszögek ugyanarra az \(\displaystyle E\) pontra nézve perspektívek, akkor az egyes háromszögpárokhoz tartozó \(\displaystyle e_{AB}\), \(\displaystyle e_{BC}\) és \(\displaystyle e_{CA}\) perspektivitási tengelyek egy ponton mennek át.
4. Mutassuk meg, hogy ha a projektív térben adott két kitérő egyenes, \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), valamint az egyikükre sem illeszkedő \(\displaystyle P\) pont, akkor pontosan egy olyan \(\displaystyle P\)-n átmenő egyenes van, amely \(\displaystyle e\)-t is és \(\displaystyle f\)-et is metszi. Igaz-e ez az állítás az euklidészi térben?
5. Határozzuk meg az euklidészi síkon adott
\(\displaystyle 8Y^2+6XY -12X-26Y+11=0 \)
egyenletű görbe projektív kiterjesztettjének egyenletét. Számítsuk ki a görbe ideális pontjainak koordinátáit és ábrázoljuk a görbét.
6. Papposz tétele szerint (bizonyítása megtalálható például a [6] könyv 17.4 fejezetében) ha \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle e'\) a klasszikus projektív sík két egyenese, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) az \(\displaystyle e\), illetve az \(\displaystyle e'\) egyenes három-három páronként különböző olyan pontja, amelyek a két egyenes metszéspontjától is különböznek, akkor az \(\displaystyle {AB' \cap A'B}\), \(\displaystyle {AC' \cap A'C}\) és \(\displaystyle {BC' \cap B'C}\) pontok kollineárisak.
10. ábra
Mit állít Papposz tételének duálisa?
7. Mutassuk meg, hogy ha az (1) formulát az \(\displaystyle (x_1:y_1:1)\) és \(\displaystyle (x_2:y_2:1)\) közönséges pontokra, illetve az \(\displaystyle (x_0:y_0:1)\) közönséges és az \(\displaystyle (1:m:0)\) ideális pontra alkalmazzuk, akkor megkapjuk az euklidészi sík két adott ponton átmenő egyenesének egyenletére, illetve az adott ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenletére vonatkozó képleteket.
[1] Csikós B. és Kiss Gy.: Projektív geometria, Polygon Kiadó, Szeged, 2011.
[2] Kiss Gy. és Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó, Szeged, 2001.
[3] Kiss Gy.: Desargues tétele, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 57 (2007), 130–137.
[4] Kós G.: Térbe kilépő bizonyítások I, Projektív geometriai tételek, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 69 (2019), 389–397.
[5] Kós R.: Kúpszeletek és Dandelin gömbjeik, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, https://www.komal.hu/cikkek/dandelin/dandelin.h.shtml
[6] Reiman I.: Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó, Kisújszállás, 1999.
[7] Schmidt T.: Geometriai terek az algebra szemszögéből, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 54 (2004), 199–206.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
