Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
A cikk I. része ITT olvasható.
A 3-dimenziós euklidészi térben vegyünk fel egy \(\displaystyle O\) kezdőpontú, \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) tengelyű derékszögű koordináta-rendszert. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) a \(\displaystyle Z=1\) egyenletű – vagyis az \(\displaystyle (x,y)\) síkkal párhuzamos, a \(\displaystyle z\) tengelyt az 1 pontjában metsző – euklidészi sík. Egészítsük ki \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az előző részben leírt módon ideális pontokkal és egy ideális egyenessel, így kapjuk a \(\displaystyle \Pi\) projektív síkot. Először megadjuk a projektív sík \(\displaystyle O\)-pont modelljét.
Állítás. A \(\displaystyle \Pi\) pontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő egyeneseinek, a \(\displaystyle \Pi\) egyenesei pedig az euklidészi tér \(\displaystyle O\)-n átmenő síkjainak, mégpedig illeszkedéstartó módon, azaz \(\displaystyle \Pi\)-ben a \(\displaystyle P\) pont pontosan akkor illeszkedik az \(\displaystyle e\) egyenesre, ha a \(\displaystyle P\)-nek megfeleltetett \(\displaystyle O\)-n átmenő egyenest az euklidészi térben tartalmazza az \(\displaystyle e\)-nek megfeleltetett sík.
Bizonyítás. A \(\displaystyle \Pi\) sík egy \(\displaystyle K\) közönséges pontjának feleltessük meg az \(\displaystyle OK\) egyenest, ha pedig \(\displaystyle I\) ideális pontja \(\displaystyle \Pi\)-nek, akkor megfelelője legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, az \(\displaystyle I\) ideális pontnak megfelelő párhuzamossági osztályba tartozó egyenes (szemléletesen látható – de egyszerűen be is bizonyítható –, hogy az euklidészi térben minden ponton át minden térbeli párhuzamossági osztálynak pontosan egy egyenese megy át).
9. ábra
A \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle \ell\) közönséges egyenesének feleltessük meg az \(\displaystyle O\) pont és az \(\displaystyle \ell\) egyenes által meghatározott síkot (az euklidészi térben egy nem illeszkedő pont-egyenes párhoz egyértelműen létezik olyan sík, amely átmegy a ponton és tartalmazza az egyenest), a \(\displaystyle \Pi\) sík \(\displaystyle i\) ideális egyenesének megfelelője pedig legyen az \(\displaystyle O\)-n átmenő, \(\displaystyle Z=0\) egyenletű sík, vagyis maga az \(\displaystyle (x,y)\) sík.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
