Az M. 447. mérési feladat megoldása

Szerk

M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével

a) statikus módszerrel,

b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).

Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!

(6 pont)

Közli: Vigh Máté, Herceghalom

Megoldás. A méréshez egy \(\displaystyle M=(7{,}76\pm 0{,}01)~\mathrm{g}\) tömegű csavarrugót és 5 darab \(\displaystyle m=(10{,}00\pm 0{,}01)~\mathrm{g}\) tömegű nehezéket használtunk. A tömegeket \(\displaystyle \Delta m=\pm 0{,}01~\mathrm{g}\) pontosságú mérleggel mértük, a megnyúlás mérésére vonalzót (\(\displaystyle \Delta y=\pm 0{,}1~\mathrm{cm}\)), a rezgésidő mérésére stopperórát (\(\displaystyle \Delta t=\pm 0{,}2~\mathrm{s}\)) használtunk.

1. táblázat

a) A statikus módszernél a rugó teljes hosszát mérjük a ráakasztott nehezékek számának (\(\displaystyle N\)) függvényében. A rugó teljes hossza

\(\displaystyle y=y_0+\frac{mg}{k}N, \)

ahol \(\displaystyle y_0\) a felfüggesztett, de terheletlen rugó hossza és \(\displaystyle k\) a keresett rugóállandó.

Az 1. táblázat a mért adatokat mutatja.

Az 1. ábrán látható grafikonon \(\displaystyle y\)-t \(\displaystyle N\) függvényében ábrázoltuk, és a mérési pontokra \(\displaystyle y=a_1N+b_1\) alakú egyenest illesztettünk. Az illesztés eredménye:

\(\displaystyle a_1=(3{,}48\pm 0{,}03)~\mathrm{cm},\qquad b_1=(14{,}96\pm 0{,}08)~\mathrm{cm}. \)

1. ábra

A statikus módszerrel mért rugóállandó ebből:

\(\displaystyle k_{\mathrm{s}}=\frac{mg}{a_1}=(2{,}82\pm 0{,}03)~\mathrm{N}/\mathrm{m}. \)

A hibát a meredekség hibája adja: \(\displaystyle \Delta a_1/a_1\approx 1\%\) (míg az \(\displaystyle m\) tömeg és a \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás relatív hibája csak \(\displaystyle 0{,}1\%\)).

b) A dinamikus módszernél a terhelt rugó rezgésének periódusidejét mérjük a terhelés függvényében. Ebben az esetben azonban a rugó tömegét is figyelembe kell vennünk. (A statikus esetben az csak a terheletlen hosszt módosította, a függvény meredekségét nem változtatta meg.) A rugó különböző részei azonban nem azonos sebességgel mozognak: az egyik vége áll, míg a másik a ráakasztott testekkel együtt \(\displaystyle v\) sebességgel mozog.

Legyen a rugó hossza \(\displaystyle L\), tömege \(\displaystyle M\). A rögzített végétől \(\displaystyle x\) távolságra a rugó kicsiny, \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú és

\(\displaystyle \Delta M=\frac{M}{L}\Delta x \)

tömegű darabja

\(\displaystyle v(x)=\frac{x}{L}v \)

sebességgel fog mozogni. (Feltételezzük, hogy a rugó megnyúlása \(\displaystyle Nm>M\) miatt közel egyenletes.) A kicsiny darab mozgási energiája

\(\displaystyle \Delta E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}\Delta M(v(x))^2=\frac{1}{2}\frac{M}{L}\left(\frac{xv}{L}\right)^2\Delta x. \)

Ezt összegezve (integrálva) a rugó teljes hosszára a rugó mozgási energiája:

\(\displaystyle E_{\mathrm{m}}=\frac{Mv^2}{2L^3}\int\limits_0^Lx^2~\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\frac{M}{3}v^2. \)

Tehát a rugó úgy viselkedik, mint egy \(\displaystyle M_{\mathrm{eff}}=M/3\) tömegű pontszerű test a rugó végén. Ebből az \(\displaystyle Nm\) tömeggel terhelt rugó rezgésének periódusideje:

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{Nm+M/3}{k}}. \)

Négyzetre emelve:

\(\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2m}{k}N+\frac{4\pi^2}{k}M_{\mathrm{eff}}, \)

azaz \(\displaystyle T^2\) \(\displaystyle N\) lineáris függvénye.

Minden esetben 50 periódus idejét mértük, a mért és számított adatokat a 2. táblázat mutatja.

[!ht]

2. táblázat

2. ábra

A 2. ábrán látható grafikonon \(\displaystyle T^2\)-et ábrázoljuk \(\displaystyle N\) függvényében, és a mérési pontokra \(\displaystyle T^2=a_2N+b_2\) alakú egyenest illesztettünk. Az illesztés eredménye:

\(\displaystyle a_2=(0{,}141\pm 0{,}002)~\mathrm{s}^2,\qquad b_2=(0{,}039\pm 0{,}004)~\mathrm{s}^2. \)

A hibaszámításnál \(\displaystyle \Delta T=\Delta t/50\), és \(\displaystyle T^2\) relatív hibája pedig \(\displaystyle T\) relatív hibájának kétszerese. Ebből a dinamikus módszerrel mért rugóállandóra

\(\displaystyle k_{\mathrm{d}}=\frac{4\pi^2m}{a_2}=(2{,}80\pm 0{,}03)~\mathrm{N/m}, \)

a rugó effektív tömegére pedig

\(\displaystyle M_{\mathrm{eff}}=\frac{mb_2}{a_2}=(2{,}7\pm 0{,}3)~\mathrm{g} \)

adódik. A hibaszámításnál \(\displaystyle m\) hibája ismét elhanyagolható az illesztési paraméterek hibája mellett, így \(\displaystyle k_{\mathrm{d}}\) relatív hibája megegyezik \(\displaystyle a_2\) relatív hibájával, \(\displaystyle M_{\mathrm{eff}}\) relatív hibája pedig \(\displaystyle a_2\) és \(\displaystyle b_2\) relatív hibájának összege.

Összehasonlítás és diszkusszió.

A két különböző módszerrel kapott rugóállandó hibahatáron belül megegyezik:

\(\displaystyle k_{\mathrm{s}}=(2{,}82\pm 0{,}03)~\mathrm{N}/\mathrm{m},\qquad k_{\mathrm{d}}=(2{,}80\pm 0{,}03)~\mathrm{N}/\mathrm{m}. \)

A rugó mért effektív tömege hibahatáron belül megegyezik a számított értékkel:

\(\displaystyle M_{\mathrm{eff}}=\frac{mb_2}{a_2}=(2{,}7\pm 0{,}3)~\mathrm{g},\qquad \frac{M}{3}=(2{,}59\pm 0{,}01)~\mathrm{g}. \)

A két eredmény mutatja, hogy a rugó effektív tömegét helyesen vettük figyelembe.

Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)

13 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (5 pont) 5, hiányos (2–4 pont) 5 dolgozat.