Szerk
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
(4 pont)
I. megoldás. Az 1. ábrán berajzoltuk a háromszög súlyvonalait és a háromszögre ható erőket. A lemezre ható \(\displaystyle G\) nehézségi erőt egyetlen, a súlypontban ható erőként vettük figyelembe.
1. ábra
A lemez egyensúlyban van, így a rá ható erők forgatónyomatékának eredője bármely tengelyre vonatkoztatva nulla. Vizsgáljuk először a \(\displaystyle BC\) tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatékokat. Ekkor \(\displaystyle F_B\) és \(\displaystyle F_C\) forgatónyomatéka nulla, tehát az egyensúlyhoz az szükséges, hogy
\(\displaystyle F_Am_A=Gm_{S}. \)
A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadolópontjában van, így a párhuzamos szelők tétele alapján
\(\displaystyle \frac{m_A}{m_{S}}=3, \)
amiből
\(\displaystyle F_A=\frac{G}{3}. \)
Ugyanígy járhatunk el a háromszög többi oldalára illeszkedő tengellyel is, tehát a háromszög alakjától függetlenül mindhárom alátámasztási pontot azonos erő terheli:
\(\displaystyle F_A=F_B=F_C=\frac{G}{3}. \)
Csikós Attila (Budapest, Városmajori Gimn., 9. évf.)
II. megoldás.Az előző megoldáshoz hasonlóan felrajzoltuk a háromszöget (2. ábra), de most az \(\displaystyle AS\) tengelyre vizsgáljuk a forgatónyomatékok egyensúlyát. Ekkor \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle F_A\) forgatónyomatéka nulla, tehát az egyensúly feltétele:
\(\displaystyle F_Bm_B=F_Cm_C. \)
A \(\displaystyle BM_BS_A\) és \(\displaystyle CM_CS_A\) háromszögek egybevágósága miatt \(\displaystyle m_B=m_C\), és így \(\displaystyle {F_B=F_C}\). Ugyanígy járhatunk el egy másik súlyvonal esetében is, tehát a három alátámasztási pontra ható erő megegyezik. A három erő eredőjének egyensúlyt kell tartania a \(\displaystyle G\) nehézségi erővel, így az előző megoldással összhangban:
2. ábra
Blaskovics Bálint (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 9. évf.)
40 dolgozat érkezett. Helyes 20 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 7, hibás 10 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
