Ha ez a háromszög beszélni tudna, mit mondana erről a merőlegesről?

Kós Rita

A cím egy tipikus Róka Sándor kérdés, amellyel egy versenyfelkészítő táborban segítette tovább a megoldás útján a diákokat, akik órák óta küzdöttek egy bonyolult geometriai bizonyítással.

És vajon mi a közös a következő tételekben, állításokban?

1. Egy \(\displaystyle n\) csúcsú fagráfnak \(\displaystyle n-1\) éle van (olyan összefüggő gráf, amelyben nincsen kör).
2. Írjunk fel egy pozitív \(\displaystyle n\) egész számot különböző módon pozitív egészek összegeként (a sorrendtől eltekintve), amelyekben a legnagyobb tag \(\displaystyle k\). Az ilyen összegek száma pontosan annyi, mint ahány módon fel tudjuk írni \(\displaystyle n\)-et \(\displaystyle k\) darab pozitív egész összegeként.
3. Erdős–Szekeres-tétel: A különböző valós számokból álló \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{mn+1}\) sorozatnak vagy létezik egy \(\displaystyle m\)-nél hosszabb csökkenő részsorozata, vagy van egy \(\displaystyle n\)-nél hosszabb növekvő részsorozata.

Ahelyett, hogy valamilyen mesterséges intelligenciának passzolnánk tovább a kérdést – ami jelen esetben nem is ad mindenki számára világos választ – érdemesebb elolvasni Róka Sándor ,,Ló és lovasa, avagy a párbaállítás módszere'' című cikkét. (KöMaL, 1996. január 1–3.o., április 193–196.o.)

A szerzőnek nem ez a kétrészes cikk volt az egyetlen KöMaL-ban megjelent írása. A Rátz László Vándorgyűlések elmaradhatatlan tanárversenyéről szóló beszámolóin túl főleg és leginkább kitűzött feladatai jelentek meg a különböző pontversenyekben.

A kömalozók közül sokan kezdték a megoldások beküldését korábban, már az ABACUS feladatainak megoldásával. Ezt a folyóiratot Róka tanár úr alapította az első KöMaL szám megjelenésének 100-adik évfordulóján, 1994-ben. Ez a kezdeményezés az Egyesült Államokba is eljutott, és negyedszázada már ott is megjelenik az ABACUS angol nyelvű fordítása, és működik a pontversenye is.

Róka Sándor

Róka Sándornak mintegy 30 cikke jelent meg különböző folyóiratokban és közel 80 könyve. Egész matematikusi, tanári pályáját folyamatos és szorgalmas tematikus gyűjtés és újszerű tudásátadás jellemzi. Bizonyíték erre – több más könyve mellett – a ,,Hány éves a kapitány?'', a ,,Logika-land'' vagy a ,,Válogatás Erdős Pál kedvenc feladataiból'' feladatgyűjteménye. A középiskolás korosztály leginkább talán a ,,2000 feladat az elemi matematika köréből'' című könyvével találkozott, de sok fiatal tehetség az Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola tanáraként is megismerhette őt. Az Érintőben Héttusa néven vezet népszerű, változatos feladatokat kitűző rovatot (https://ematlap.hu/hettusa).

Róka Sándor fáradhatatlan munkájának csak a legismertebb szeleteit felsorolva nem meglepő – és nagy öröm –, hogy számtalan hazai szakmai díj mellett idén februárban egy nemzetközi díjjal is gazdagodott, megkapta a WFNMC Erdős Pál-díját.

A Nemzeti Matematika Versenyek Világszövetsége (World Federation of National Mathematics Competitions – www.wfnmc.org) az Erdős Pál-díjat olyan matematikusoknak adományozza, akik hazai vagy nemzetközi versenyek szervezésével, illetve szakmai munkájukkal jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a matematikában tehetséges fiatalok minél szélesebb körben vehessenek részt magas színvonalú megmérettetésekben. (https://www.wfnmc.org/awards.html) A díj igazán nemzetközi, a kitüntetettek között minden lakott kontinens képviselteti magát. 1992 óta ítélik oda, eddig összesen 54-en kapták meg, köztük öt magyar és egy magyar születésű amerikai. (1996 – George Berzsenyi, 2000 – Reiman István, Surányi János, 2014 – Pelikán József, 2022 – Kós Géza, 2026 – Róka Sándor) A legtöbb díjjal – héttel – az Amerikai Egyesült Államok büszkélkedhet, ezt követi Ausztrália és Magyarország 5-5 díjjal, majd Kína 3-mal.

A díj egy újabb, nemzetközi elismerése Róka Sándor ama elhivatottságának, szép problémák iránti fogékonyságának, amelyet a KöMaL-ban 1987-től 2026-ig kitűzött 70 feladata is mutat.

Kérdésünkre, hogy melyik a kedvenc feladata a hetvenből, több jelöltet is küldött, amelyekhez személyes megjegyzéseket is írt. Ezek közül az Erdős Pálhoz köthető feladatát választottuk ki arra, hogy itt megosszuk a KöMaL olvasóival:

B. 5004. (2019. január) \(\displaystyle 2n\) egymást követő egész szám között legfeljebb hány olyan lehet, amely osztható az \(\displaystyle n+1\), \(\displaystyle n+2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2n\) számok közül legalább az egyikkel? (6 pont) (Róka Sándor, Nyíregyháza)

,,Úgy 50 éve szeretem Erdős \(\displaystyle n\)–\(\displaystyle 2n\) feladatait:

1. Ha az \(\displaystyle 1, 2, \ldots, 2n\) számokból kiválasztunk \(\displaystyle n+1\) darabot, lesz közte kettő, amelyek relatív prímek.
2. Ha az \(\displaystyle 1, 2, \ldots, 2n\) számokból kiválasztunk \(\displaystyle n+1\) darabot, lesz közte kettő, hogy egyik osztója a másiknak.

És még van néhány ilyen feladata.

Erdős egy kongruenciarendszeres feladatáról írt, hogy ott a kérdésre milyen maximumot sejt. Meglepte, hogy téves volt a sejtése. A kongruenciarendszeres feladatot oszthatósági kérdésre fordítottam, és küldtem a KöMaL-nak.

Meglepett, hogy más volt a válasz, mint ahogyan én tudtam. Elrontottam a feladatot, mégpedig ott, hogy a kongruenciás kérdést pontatlanul ültettem át oszthatóságra. Más lett a feladat, mint amit Erdősnél olvastam. De – bár véletlenül – egy szép feladat lett belőle, amelynek szép a megoldása is.'' (Lásd [3] 243. oldal alja–244. oldal.)

Tanár úrnak ezúton is gratulálunk! Kérjük, tartsa meg jó szokását, és javasoljon még további szép és érdekes Róka-feladatokat!

Olvasóinkat pedig bátorítjuk, hogy gondolkozzanak a cikkben idézett feladatokon. Oldják meg a KöMaL és a Héttusa feladatait, majd olvassák el a feladatok megoldását és a szerkesztői megjegyzéseket.

Egy friss hír. Az American Mathematical Society (AMS, https://www.ams.org/home/page) kiadója, az MAA Press hamarosan megjelenteti a ,,Válogatás Erdős Pál kedvenc feladataiból'' című könyv [5] angol nyelvű kiadását Freud Róbert fordításában.

Források

[1] https://www.facebook.com/lovasz.laszlo.matematikus/posts/aki-megszeliditette-a-matematikat-roka-sandor-nyerte-el-a-world-federation-of-nat/1266727052103932/

[2] https://www.wfnmc.org/erdroka.html

[3] Erdős Pál: Extremális problémák a számelméletben I. (Számelméleti megjegyzések IV., Matematikai Lapok, 1962, 228–254.o.) https://www.renyi.hu/~p_erdos/1962-23.pdf

[4] https://www.typotex.hu/author/211/roka_sandor

[5] https://www.typotex.hu/upload/book/13056/rokau310_medium.jpg