Vígh Viktor
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
A KöMaL 2026. februári számában Szilassi Lajos mutatta be nekünk Tom O'Beirne Olvasztótégely nevű játékát. Ez a feladvány tulajdonképpen egy összerakó játék, ahol a megadott elemekből egy előre meghatározott formát kell építenünk. Az összerakók a logikai játékok egy meghatározó (talán a legnagyobb) csoportját alkotják. Ezen a nagy csoporton belül találjuk a bepakoló játékokat, ahol a célt egy doboz (,,tároló forma'') jelöli ki. Ez néha csak a feladat ,,megfogalmazása'' (azaz a cél forma kijelölése) miatt praktikus, néha a játék szépségéhez is hozzáad (például az Olvasztótégelynél egyértelműen kihangsúlyozza a játék paradox jellegét is), de bizonyos feladványoknál komolyabb megszorításokat is jelent: többnyire a dobozon kívül nagyon könnyű a kívánt forma összeállítása, de a dobozba betenni kimondottan nehéz.
1. ábra. A Casino a https://cubicdissection.com kivitelezésében
Egy klasszikus, általában John Conwaynek tulajdonított feladvány, hogy állítsunk össze egy \(\displaystyle 3\times 3 \times 3\)-as kockát hat darab \(\displaystyle 2\times 2 \times 1\) méretű négyzetes oszlopból és három darab egységkockából. Ennél a feladványnál nem lényeges, hogy legyen egy doboz, amibe bepakolhatunk (bár az elemek tárolása miatt mindenképp praktikus). A szükséges darabokat viszonylag könnyen elkészíthetjük, akár egy fa építőjáték néhány eleméből összeragasztva, de ezen a feladaton nyugodtan lehet akár fejben, eszközök nélkül is gondolkodni, nem reménytelen rájönni a megfejtésre.
A 2018-as International Puzzle Party játéktervezői versenyének [2] nagydíját ennek a játéknak egy trükkös variánsa nyerte, amelyet Volker Lattusek tervezett, és Casino néven vált ismertté. A feladat, hogy pakoljunk bele hat darab, két egység átmérőjű, egy egység magas egyenes körhengert (kaszinó zsetont) egy \(\displaystyle {3\times 3 \times 3}\) méretű kockába. Ez természetesen még az előző játék megoldása alapján könnyen megtehető. A nehezítés a feladványban, hogy a doboz nyitott tetejének két oldalát egy-egy fél egység széles téglalap takarja, így a bepakolást egy \(\displaystyle {2\times 3}\) méretű ,,lyukon'' keresztül kell elvégezni. Ez az aprónak tűnő módosítás különleges csavart visz a feladványba. Jegyezzük meg, hogy itt nyilvánvalóan nem cél a teljes doboz kitöltése az elemekkel, így nem világos a végállapot, tehát ebben is eltérhetnek a bepakolók a klasszikus összerakóktól. A Casino nyomtatható tervei ingyenesen letölthetőek [1], de több kivitelben kapható is.
A bepakoló játékok magyar vonatkozása, hogy a kategória egyik legismertebb és legelismertebb tervezője Molnár László, számos alkotása elérhető kereskedelmi forgalomban is, lásd például a [3] oldalon. Mi itt most a Minima Fibonacci sorozatára szeretnénk felhívni a figyelmet, ahol szintén polikockákat kell egy dobozba bepakolni. A bepakolandó polikockák térfogata rendre \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\) egységnyi, innen kapta a játék a nevét. (Apróbb kivétel a 3 sorszámú, ahol a két egységnyi kocka is össze van ragasztva, tehát annak csak négy eleme van, \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\) térfogattal.) A doboz minden esetben egy \(\displaystyle 2\times 2 \times 3\) téglatest, de a bepakoláshoz csak speciálisan elhelyezett ,,ajtókat'' használhatunk.
A Minima Fibonacci 1 elemkészlete jól látszik a 2. ábrán. A doboz pontos megadásához pedig a 3. ábrán lerajzoltuk a testhálót, szürkével jelölve a tömör részeket, az ajtókat kihagyva. Ezek alapján a játék házilag is elkészíthető.
A Minima Fibonacci játéksorozat másik két tagjáról a borítón látható fotó.
[1] https://www.printables.com/model/67158-casino-puzzle-by-volker-latussek/files
[2] https://puzzleworld.org/DesignCompetition/2018/results.htm
[3] https://www.nothingyetdesigns.com/collections/laszlo-molnar
[4] Gál Péter, személyes kommunikáció.
Jó szórakozást!
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
