Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[811] nadorp

2009-02-19 23:10:40

Én a bizonyításod megfogalmazására gondoltam.

Ha azt mondod:

"Tekintsünk egy a,b,c oldalú háromszöget, melyre fennáll az egyenlőség. Ekkor a cosinus tétel szerint ebben a háromszögben a c-vel szemben 60^o van, tehát c a "középső" hosszúságú oldal."

akkor a fenti bizonyítás hiányos, mert nem tudjuk, hogy létezik-e az a,b,c oldalú háromszög.

Ha viszont azt mondod:

"Tekinsünk két pozitív a $\neq$ b számot és nézzük azt a háromszöget, melynek két oldala a és b, közbezárt szögük 60^o. Ez egyértelműen meghatározza a c oldal hosszát és az egyenlőség összes megoldását megkaphatjuk ezzel a módszerrel. Mivel ezek a háromszögek nem szabályosak és c a "középső" hosszúságú oldal, ezért a<c<b vagy b<c<a teljesülhet."

akkor jó a megoldásod.

Előzmény: [807] laci777, 2009-02-19 19:30:30

[812] jenei.attila

2009-02-19 23:22:26

Van-e a valós számok additív csoportjának nem triviális automorfizmusa?

Van-e a valós számok testének véges, vagy megszámlálható indexű részteste? Egyáltalán continuum számosságú valódi részteste? Mi a "legbővebb" valódi résztest?

Nem tudom a válaszokat, valaki segíthetne.

[813] laci777

2009-02-19 23:29:25

Igen, igazad van, valóban egy lépés kihagyása, ha egyből egy háromszöget veszek önkényesen létezőnek.

Köszi, szia

Előzmény: [811] nadorp, 2009-02-19 23:10:40

[814] HoA

2009-02-20 10:29:29

Ha az a bizonyos Thálesz-kör egységsugarú és a "Thales körbe írható derékszögű háromszögek beírt körök középpontjai köre" [803] ábrájának AO₂O₁D körívét jelenti, O₁ésO₂ pedig az ACD ill. ABD háromszögek beírt köreinek középpontját, akkor az első válasz igen, BC mindig gyök 3. Ugyanis a körív sugara $EA = \sqrt2$ , ezért ebben az esetben EO₁O₂ háromszög szabályos, E-nél lévő szöge 60^o. Mivel az EO₁ésEO₂ egyensek egyúttal a C-nél ill. B-nél lévő derékszögek felezői, így az általuk bezárt szög 60^o, tehát BC az egységsugarú körnek 60^o-os kerületi szöghöz tartozó húrja, ez pedig $\sqrt3$ hosszú.

Ha O₁O₂ forog, BC is mozog, de nem együtt, "merev test szerűen" forognak. [755] és [803] ábrájának összehasonlításából látható, hogy szimmetrikus esetben O₁O₂ és BC párhuzamosak, egyébként nem. Szemléletesen úgy képzelhető, hogy a rögzítetten 60^o-os O₂EO₁ szög két szára forog legyezőszerűen, és bármely helyzetében a $\sqrt2$ sugarú AO₂O₁D körívből 60^o-os középponti szöghöz tartózó $\sqrt2$ hosszúságú O₁O₂ húrt, az egységsugarú Thálesz-körből pedig 60^o-os kerületi szöghöz tartózó $\sqrt3$ hosszúságú BC húrt metsz ki.

Előzmény: [810] kiskiváncsi, 2009-02-19 20:24:56

[815] laci777

2009-02-22 00:21:36

Ha nem baj, megint egy példával jönnék, kifogni látszik rajtam. Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, 1 km hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen?

Azt látom, hogy a 15 mp-ben megtett, 0<s<1 km út függvényében egyre nagyobb a szükséges v2-v1 sebességkülönbség, ill. hogy a futár összteljesítménye 2 és 3 km (pontosabban 1+gyökkető és 3) km között kell legyen, de a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet (legalábbis nagyon remélem, hogy az) túl kemény dió:(

Még az itt felvetett többi probléma nehézségét látva is remélem, most is lesz, aki segít a megoldásban:)

Előre is köszönöm.

[816] M. Feri

2009-02-22 12:54:29

Sziasztok! A következő feladatban valami hiba van, vagy én vagyok figyelmetlen? (Szerintem hiányzik még egy feltétel): Ha f és g [a,b] intervallumot leképezi a valós számok halmazára, mindkét függvény konvex, deriválható és deriváltjai folytonosak, emellett még f(x) $\leq$ g(x) akkor ${\int_a^b \sqrt{1+{({f^'}(x))}^2}}dx\geq{\int_a^b \sqrt{1+{({g^'}(x))}^2}}dx$

Megoldható így, ebben az alakban? Ha igen, hogy? Előre is köszönöm!!

[817] Lóczi Lajos	2009-02-22 13:32:53
Ebben a formában nem is igaz az állítás. Ellenpélda: f az azonosan 0 függvény, g pedig egy pozitív, lineáris függvény. f grafikonja rövidebb, mint g-é.
Előzmény: [816] M. Feri, 2009-02-22 12:54:29

[818] M. Feri	2009-02-22 13:45:13
Igen, éreztem én, hogy sántít valami...
Előzmény: [817] Lóczi Lajos, 2009-02-22 13:32:53

[819] plac	2009-02-22 14:22:15
Hello! A kérdésem a következő lenne. Valaki megtudja nekem mondani, hogy f_n(x)=x^.arctan(nx), H=(0, $\infty$ ) függvénysorozat egyenletesen konvergens-e a konvergencia halmazán és hogy ezt hogyan bizonyítom... Bocsánat ha valaki nagyon bugyutának véli a kérdést, de nagyon nem látom, hogy kellene megcsinálni.

[820] Lóczi Lajos

2009-02-22 17:23:04

Viszont igazzá válik az állítás, ha megköveteljük, hogy a két végpontban ugyanazok legyenek a függvényértékek, vagyis f(a)=g(a) és f(b)=g(b) legyen.

Ekkor ugyanis a két konvex alakzat tartalmazni fogja egymást (az egyik alakzat a két végpont, az őket összekötő szakasz és f "lelógó" grafikonja által határolt síkidom; a másik ugyanígy, csak g-vel), és ismert (itt a Fórumon már kétszer is előkerült a bizonyítása, csak meg kell keresd :), hogy ha egy konvex alakzat tartalmaz egy másikat, akkor a külső alakzat kerülete nem lehet kisebb.

Előzmény: [818] M. Feri, 2009-02-22 13:45:13

[821] Lóczi Lajos

2009-02-22 18:20:58

Rögzített x $\in$ H-ra n $\to$ $\infty$ esetén f_n(x) $\to$ f(x):= $\pi$ x/2. A függvénysorozat egyenletes konvergenciája azt jelenti, hogy $\lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=0$ . Ezt kell igazolni most. Ehhez egy kis függvényvizsgálatra van szükség.

1. Látszik, hogy ha x rögzített, akkor a konvergencia n-ben monoton: f_n(x)<f_n+1(x)<f(x), vagyis |f_n(x)-f(x)|=f(x)-f_n(x)=:g_n(x).

2. Pl. L'Hospital-lal belátod, hogy $\lim_{x\to\infty}g_n(x)=\frac{1}{n}>0,$ illetve két deriválással, hogy g_n(x) konkáv. De g_n(0)=0 is igaz. Vagyis rögzített n-re g_n olyan nemnegatív konkáv függvény, amely 0-ban 0, a végtelenben pedig a határértéke pozitív. Egy ilyen függvény viszont minden x $\in$ H esetén kisebb, mint a limesze, tehát $0\le g_n(x)<\frac{1}{n}$ , minden x-re és n-re.

3. Emiatt $\lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H} g_n(x)=0$ .

Előzmény: [819] plac, 2009-02-22 14:22:15

[822] HoA

2009-02-23 10:08:45

Szerintem a feladatban nem az okozza a gondot, hogy „a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet túl kemény dió” , hanem az, hogy a feladat egy kicsit tisztességtelenül van kitűzve. Az egyik szokásos középiskolai feladattípus szövegében megadnak bizonyos paramétereket és az eredményt ezek függvényében várják. Ha zárójelben megadják a paraméterek numerikus értékét is, akkor ezeket az eredmény képletébe behelyettesítve számszerű eredményt is tudunk adni . Másik fekadattípus az, ahol egy fizikai jelenség kapcsán bizonyos mennyiségek közötti összefüggések keresése, értékhatárok megállapítása a cél. Itt a kettő keveredik, a baj csak az, hogy ez a szövegből nem derül ki egyértelműen. Tisztességesnek valahogy így érezném a feladat kitűzését:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? Milyen összefüggés áll fenn v1 és v2 között, ha tudjuk, hogy a menetoszlop 1 km hosszú?

Megoldás: A futár teljes menetideje 1000/v1 mp, ebből 15 mp-ig v1, egyébként v2 sebességgel haladt, a megtett út tehát s = $15 v_1 + (1000/v_1 -15) v_2= 1000 \frac{v_2}{v_1} - 15 (v_2 - v_1)$ méter. A v₁ésv₂ közötti összefüggést abból állapítjuk meg, hogy a futár 1000/v₁-15 mp alatt az 1000 méteres oszlop végéről az elejére majd vissza ment, menetideje tehát: $\frac{1000}{v_1} -15 = \frac{1000}{v_2 - v_1} + \frac{1000}{v_2 + v_1}$ Ezek után a v₂-re adódó másodfokú egyenletet elemezhetjük, milyen v₁ értékekre kapunk pozitív v₂-t, v₂ milyen határok között változhat, stb. Végül v₂-t v₁ függvényeként felírva behelyettesíthetjük a megtett út képletébe, így az egy csak v₁ -től függő kifejezés lesz, de továbbra sem egy konkrét számérték.

Előzmény: [815] laci777, 2009-02-22 00:21:36

[823] laci777

2009-02-23 16:53:01

Kedves HoA!

Köszönet (ismét) a segítségért. Úgy gondoltam eredetileg, hogy az egyes időintervallumokban megtett utakkal operálok, de boncolás (+eltévedés:() lett sajna belőle...

Még egyszer köszönöm szépen.

Előzmény: [822] HoA, 2009-02-23 10:08:45

[824] Káli gúla	2009-02-23 19:14:32
Működik az is. Legyen v₂=kv₁, a menetoszlop hossza M. Amíg fel- és lefut, addig $\frac{M}{(k-1)v_1}+\frac{M}{(k+1)v_1}$ idő telik el, ez alatt a menet $s_0=\frac{1}{k-1}M+\frac{1}{k+1}M$ , a futár pedig $\matrix{ks_0}$ utat tesz meg. A középső időszakban együtt mennek, ez a feltétel miatt $\matrix{M-s_0}$ , tehát a futár összesen $M+(k-1)s_0= \left(2+\frac{k-1}{k+1}\right)M= \left(2+\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}\right)M$ utat tett meg a feladat adataival (akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát vagy ha 0 mp-et ment volna).
Előzmény: [823] laci777, 2009-02-23 16:53:01

[825] laci777

2009-02-23 23:22:06

Kedves Káli Gúla!

Köszönöm szépen ezt a megoldást is, bár őszintén szólva olyat igyekeztem volna kiizzadni (a jelzett eredménnyel:(), ahol a menetoszlop (a példa adatai szerint 0<v1<240 km/h közt értelmezhető) sebessége az egyedüli független változó, ahogyan valóban is annak a függvénye minden egyéb tényező (a v2 és az egyes szakaszok s és t értékei egyaránt). Még egyszer köszönöm.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32

[826] tudniakarok

2009-02-24 13:46:11

Sziasztok! Kérlek segítsetek!

Az a problémám, hogyha adott tetszőleges db nemnegatív szám, akkor hogyan tudnám elrendezni őket egy mátrixba úgy hogy a lehető legegyenletesebb elrendezést kapjam.(Arra gondolván, hogy a két legnagyobb szám a "legtávolabb" legyen egymástól, és így tovább...) Van-e erre vmilyen már kidolgozott algoritmus, mert nem nagyon találom a szakirodalmakban!? Van ötletem, de elég egyszerűnek találom ráadásul nagy számításigényű,hátha vki tud jobbat!

Előre is köszi a segítséget!

[827] HoA

2009-02-24 14:08:59

Köszönöm Káli gúla szép megoldását. Azt hiszem, segít még jobban rávilágítani arra, mi a bajom ezzel a feladattal. Fussunk tehát neki harmadszor is, ezúttal az ő jelöléseit is használva:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, M méter hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott t mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont M métert tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? ( Számadatok: t = 15 s , M = 1000 m )

A futár megtett útja [822] megoldóképlete szerint így alakul:

$s = M \frac{v_2}{v_1} - t(v_2 - v_1)$

(1)

Mint az várható volt, a megtett út a feladatban szereplő M,t,v₁ésv₂ mennyiségektől függ. M és t konkrét értéke adott, de v₁ésv₂ szerepét jótékony homály fedi. Gondolhatnánk, hogy azok is az M és t ismeretében értelmes határok között szabadon megadhatók, csak most éppen nem rendelünk hozzájuk számértéket. De ez nem így van. A feladat túlhatározott, adott M és t mellett már v₁ésv₂ nem választható meg egymástól függetlenül. Az adatok közötti megkötést éppen [822] feltételi egyenlete adja:

$\frac{M}{v_1} - t = \frac {M}{v_2 - v_1} + \frac {M}{v_2 + v_1}$

(2)

Ha M,v₁ésv₂ értéke lenne adott, megtehetnénk, hogy (2) –ből kifejezzük t-t és ezt behelyettesítjük (1) –be. Rövid átalakítások után [824] szép képletét kapjuk:

$s = M \left ( 2 + \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\right )$

(3)

De az ekkor sem lenne igaz, hogy „akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát”, hiszen egy adott M,v₁ésv₂ hármashoz egy konkrét, éppen a (2) egyenletből adódó t érték tartozik.

Nekünk azonban Mést adott. Mit tehetünk, hogy bemenő adatainktől egyértelműen függő eredményt kapjunk? Az egyik megoldás laci777 „izzadási iránya”: (2) –ből v₂-re másodfokú egyenletet kapunk. Ennek fizikailag értelmes gyökét választva v₂ -nek ezt a kifejezését behelyettesítjük (1) –be és kapunk egy csúnya , de csak M-et,t-tésv₁-et tartalmazó kifejezést. A másik megoldás az, hogy elfogadjuk (3) szép képletét megoldásnak, de hozzátesszük, hogy „ahol v₁ szabadon választott sebesség a 0<v₁<M/t tartományban, v₂ pedig a (2) feltételből számított M,t,ésv₁ által meghatározott sebesség”. És ekkor persze a (3) képletben szereplő mennyiségekhez éppen a megadott t érték trtozik.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32

[828] plac	2009-02-24 15:10:39
Nagyon köszönöm!
Előzmény: [821] Lóczi Lajos, 2009-02-22 18:20:58

[829] laci777

2009-02-24 16:15:51

Én köszönöm, mégpedig Neked, valamint Káli Gúlának a hasznos útmutatást. Túl azon, hogy egy magamban már eléggé reménytelennek elkönyvelt problémában segítettetek, élvezet volt számomra a gondolatmeneteteket is követni.

A gordiusi csomó átvágását - tekintettel a valóban csúnya paraméteres megoldásra - külön is köszönöm:)

Szép napot: Laci

Előzmény: [827] HoA, 2009-02-24 14:08:59

[830] fityfiritty

2009-02-25 12:48:20

Sziasztok, remek ez a Fórum, le a kalappal! A sok érdekes, okos hozzászólás felbátorított, hogy tőletek kérjek segítséget ehhez a feladathoz: Az (a_n) sorozat elemeit így definiáljuk:

a₀ = 1; a₁ = 0; $a_{n+1} = \frac{a_{n-1}+ na_n}{n + 1};$ ha n = 1, 2, .... . Konvergens-e az (a_n) sorozat? Ha igen, akkor mi a határértéke?

Köszi szépen, előre is!

[831] jonas	2009-02-25 13:45:05
Az ilyen fajta feladatra van egy általános módszer, ami gyakran működik. Számold ki a rekurziós szabályból a sorozat első néhány elemét pontosan. Keress rá a számlálójukra az OEIS-ben, megtalálod az A053557 sorozatot egyetlen találatként. Ennek a leírása azt mondja, hogy a sorozat n-ik eleme a $\sum_{0\le k\le n} (-1)^k/k!$ szám számlálója, ebből megsejted, hogy a te a_n sorozatod általános tagja éppen ez az összeg lesz, de vigyázz, az index eggyel el van csúsztatva! Ellenőrzöd, hogy ez a sejtés igaz-e az első néhány tagra, aztán ha igen, akkor megpróbálod belátni teljes indukcióval, hogy ez az explicit képlet valóban mindig igaz. Ezután már csak be kell látnod, hogy ez hova konvergál.
Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20

[832] nadorp

2009-02-25 15:50:24

$a_{n+1}-a_n=\frac{a_{n-1}-a_n}{n+1}=-\frac1{n+1}(a_n-a_{n-1})=\frac1{n+1}\frac1n(a_{n-1}-a_{n-2})=...=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$

Ha most összeadjuk ezt az n+1 darab egyenlőséget,a Jonas által adott képlet jön ki.

Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20

[833] HoA	2009-02-25 16:40:55
Ha a választott abszcisszához tartozó két másik metszéspontot is bejelöljük ( zöld szakasz végpontjai ) és a görbe által határolt területet integrálszámítással, a görbe alatti területek különbségeként számítjuk, az x tengely alatti értékeket szokás szerint negatívnak véve, akkor eredményül a nagy levél területének és a két kis levél területének különbségét kapjuk. Ha OC az y tengellyel $\varphi$ szöget zár be, a kis kék háromszögekből az infinitezimális területdarab $\Delta$ T_d=4a(cos $\varphi$ -sin $\varphi$ )2acos2 $\varphi$ $\Delta$ $\varphi$ , amiből a teljes terület $T_d = 16a^2\int_0^{\pi/4}(\cos \varphi - \sin \varphi) \cos 2\varphi d\varphi = \frac{16}{3}a^2$ Érdekes, hogy ez a terület a²-nek racionális számszorosa. Elfogadva, hogy a területek abszolút értékének összege T_s=2 $\pi$ a² , a felső levél területét T₁-gyel, a két kis levél területének összegét T₂ -vel jelölve $T_1 + T_2 = 2\pi a^2 , T_1 - T_2 = \frac{16}{3}a^2, T_1 = \frac {3 \pi + 8}{3} a^2 , T_2 = \frac {3 \pi - 8}{3} a^2$ A számértékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy T₁ nagyjából 92,5 , T₁ pedig 7,5 százaléka a teljes területnek. ( ha jól számoltam ... :-) )

Előzmény: [804] sakkmath, 2009-02-17 13:20:30

[834] Cokee

2009-02-25 22:13:49

Sziasztok!

Tudnátok segiteni a köv. feladatban:

Legyen (X,M, $\mu$ ) tetszőleges mértéktér,s legyen f $\in$ L¹( $\mu$ ) olyan nem-negatív függvény,amelyre $\int_{X} f>0$ . Tetszőleges $\alpha$ $\in$ (0, $\infty$ ) paraméter estetén határozzuk meg a $\lim_{n\to\infty} \int_{X} n\cdot log\bigg(1+\bigg(\frac{f}{n}\bigg)^{\alpha}\bigg) d\mu$

Elöre is köszönöm

[835] vogel	2009-02-25 22:49:48
Sajnos nem jövök rá valamire ezzel kapcsolatban... A L'Hospital-szabályt mire alkalmazzuk, hogy jön ki az 1/n? Köszi.
Előzmény: [821] Lóczi Lajos, 2009-02-22 18:20:58

[836] Lóczi Lajos

2009-02-26 00:54:08

Írd át pl. így és erre alkalmazd:

$\frac{\pi/2-{\rm{arctg}}(nx)}{1/x}.$

Előzmény: [835] vogel, 2009-02-25 22:49:48

[837] Lóczi Lajos	2009-02-26 01:40:27
Először az integrálást és a limeszt kellene felcserélni (de ez még nem világos számomra, hogy milyen alapon megy: a becslések nem tűnnek egyszerűnek pl. a Lebesgue domináltkonvergencia-tétel alkalmazásához); utána L'Hospital-szabály jönne, amiből látszik, hogy az $\alpha$ $\in$ (0,1), $\alpha$ =1 és $\alpha$ >1 eseteket kellene külön kezelni. Azt sejtem (legalábbis $\mu$ (X)<+ $\infty$ esetén), hogy a végeredmények rendre + $\infty$ , $\alpha$ \|\|f\|\|₁ és 0.
Előzmény: [834] Cokee, 2009-02-25 22:13:49

[838] vogel	2009-02-26 10:18:11
Ez elég nyilvánvaló volt, köszönöm. :-D
Előzmény: [836] Lóczi Lajos, 2009-02-26 00:54:08

[839] sakkmath	2009-02-26 12:20:11
Az egyes levelek területeire én is ezeket az eredményeket kaptam. Levezetésedben a teljes területre, mint adott értékre támaszkodsz. Hogy ez a szál se legyen elvarratlan, felteszem az alábbi ábrát, amely további adatokat szolgáltat a görbéről. Így bárki összevetheti saját eredményeit az általam közöltekkel... .

Előzmény: [833] HoA, 2009-02-25 16:40:55

[840] fityfiritty	2009-02-26 17:01:02
Nagyon jó!! Köszönöm Neked is és Jonasnak is a profi, klassz válaszokat, tanácsokat. Most már meg merem kockáztatni, hogy az e^x hatványsorának az x = -1- hez tartozó részletösszegéhez jutottunk, ha nem tévedek. Ezért a limeszre a tippem: 1/e. Üdvözöl mindenkit: fityfiritty.
Előzmény: [832] nadorp, 2009-02-25 15:50:24

[841] pvong17

2009-03-01 15:21:48

Ha egy nem szimmetrikus mátrixnak, létezik negatív sajátértéke akkor már nem is lehet pozitív definit, ugye ?

(bocsánat ha triviális)

[842] Lóczi Lajos	2009-03-01 20:18:44
A pozitív definitséget nem csak szimmetrikus mátrixokra szokták definiálni?
Előzmény: [841] pvong17, 2009-03-01 15:21:48

[843] pvong17	2009-03-01 20:31:13
Úgy tudom nem , csak n x n es nek kell lennie.
Előzmény: [842] Lóczi Lajos, 2009-03-01 20:18:44

[844] Lóczi Lajos	2009-03-01 20:46:41
Kérlek, írd be, mi legyen a definíció ekkor. (Valós/komplex elemű mátrix?)
Előzmény: [843] pvong17, 2009-03-01 20:31:13

[845] pvong17

2009-03-02 00:00:39

Én kérek bocsánatot. Nem irtam le pontosan a feladatot és megzavart egy másik feladat. (Konkrétan Obádivics Gy. Lináris algebra -zöld könyv- 258.o 3.példája, ami ezek szerint hibás , mert egy nem szimm mátrixról(valós) állitja hogy poz defeinit, majd utána be is bizonyitja ezt :) )

Most már nincs probléma, mert sikerült letisztáznom a dolgokat. Köszönöm a gyors reakciót.

Előzmény: [844] Lóczi Lajos, 2009-03-01 20:46:41

[846] nadorp

2009-03-02 10:51:34

A pozitív definitséghez szerintem nem kell szimmetrikus mátrix. Egy valós nXn A mátrix pozitív definit, ha minden x=(x₁,...,x_n) vektorra x^TAx>0. Az már egy másik dolog, hogy kvadratikus alakok definitségének vizsgálatához már szimmetrikus mátrixokkal dolgozunk, mert az egyszerűbb.

Van egy egy tétel is, mely szerint egy A mátrix pozitív definit akkor és csak akkor ha a $\frac12(A+A^T)$ mátrix pozitív definit (http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html). Úgy hogy az az Obádovics példa nem biztos hogy hibás.

Előzmény: [845] pvong17, 2009-03-02 00:00:39

[847] Lóczi Lajos	2009-03-02 15:22:11
(Mármint, ha x a nullvektortól különböző.)
Előzmény: [846] nadorp, 2009-03-02 10:51:34

[848] nadorp	2009-03-04 11:07:31
Igen, ezt kihagytam mint feltételt. Bocs.
Előzmény: [847] Lóczi Lajos, 2009-03-02 15:22:11

[849] Egyed Zsombor	2009-03-04 17:42:02
Tudja valaki h a fizika oktv mikor lesz kijavítva?

[850] akinom91	2009-03-06 22:33:50
Kérem, valaki segítsen megoldani a c.) pontot, esetleg az a.) pontot Cayley-Hamilton összefüggéssel (nekem csak egyszerű számítással sikerült). Előre is köszönöm!

[851] jonas

2009-03-06 22:50:12

A (c) pontot többféleképp is meg lehet közelíteni. Az egyik lehetőség, hogy az A mátrixot Jordan blokk alakra hozod, és ezt hatványozod.

A másik, hogy felhasználod az (a) pontot, amely szerint A²=A+2I ami alapján A³=A(A²)= A(A+2I)=A²+2A=3A+2I. Ebből megsejted, hogy az általános hatvány felírható Aⁿ=p_nA+q_nI alakban. Valóban: Aⁿ⁺¹=A^.Aⁿ= A(p_nA+q_nI)=p_nA²+q_nA= (p_n+q_n)A+2p_nI. Ebből p_n+1=p_n+q_n, és q_n=2p_n, amiből p_n+1=p_n+2p_n-1. A kezdeti feltétel is nyilván teljesül: p₀=0,q₀=1, p₁=1,q₁=0. (Persze ellenőrizned kell, hogy nem számoltam el.) Ennek a rekurziónak megkeresheted az explicit képletét. (Ez elvileg nem, csak gyakorlatban egyszerűbb annál, mintha az Aⁿ mátrix mind a kilenc elemére írnál föl együttes lineáris rekurziót.)

Előzmény: [850] akinom91, 2009-03-06 22:33:50

[852] akinom91	2009-03-06 23:19:33
Hát sajnos az első megoldásodnál fogalmam sincs, miről beszélsz, a másodikat meg nagyjából értem, amennyit leírtál (én is valami képletet próbáltam keresni). Meglátjuk, sikerül-e explicit képletet találni, ugyanis még ilyet nem oldottam, és nem tudom mennyire lehet gimnáziumi szinten... . És akkor a képletet amit feltételezzük, hogy megkapok, kell még bizonyítani mat. ind. módszerével, vagy ez már megvolt? :D Köszi a tippet az elinduláshoz, remélem érettségiig már kívülről fújom a típusfeladatok megoldásainak módszerét. :)
Előzmény: [851] jonas, 2009-03-06 22:50:12

[853] Káli gúla	2009-03-07 00:54:41
Ha E-vel jelölöd a csupa egyesekből álló mátrixot, akkor A=E-I, tehát A²+A=(E²-2E+I)+(E-I)=E²-E, ami a csupa kettesekből álló mátrix, ezért A²+A=2E=2(A+I). Ez ugyanaz, mint az a), és ebből A-val szorzással, indukcióval adódik a c) is.
Előzmény: [852] akinom91, 2009-03-06 23:19:33

[854] akinom91

2009-03-07 13:03:18

Köszönöm szépen mind a két megoldási módot, sikerült az explicit képletet is megkapni (igaz, segítséggel, még életemben ilyet nem csináltam). A lényeg, hogy mind a 2 hasznos volt, tanultam valami újat, csak máskor is fel tudjam magamtól is használni. Ha már itt tartunk valaki fel tudná nekem írni, hogy a Fibonacci-féle sorozatot, hogy kell megadni explicit módon? Ezt kaptam:

Fibonacci sorozat: ap_n+1=bp_n+cp_n-1

Karakterisztikus egyenlet: aR²=bR+c; R₁, R₂ a karakterisztikus egyenlet megoldásai.

Ha R₁=R₂ => p_n=R₁ⁿ(A+nB); Ha R₁ $\ne$ R₂ => p_n=R₁ⁿA+R₂ⁿB; (Ha valamit elírtam, javítsatok!)

Ott akadtam meg, ha a karakt. egyenlet esetében $\Delta$ <0. Ilyen esetben, hogy lehet felírni az explicit képletet?

Előre is köszi!

Előzmény: [853] Káli gúla, 2009-03-07 00:54:41

[855] plac

2009-03-07 16:12:53

Üdv Mindenkinek! A következő feladatban kérnék segítséget!

$\int_0^x \ln(\sqrt{|ctg(t/2)|}) dt$

Azt tudjuk, hogy x $\in$ [- $\Pi$ , $\Pi$ ] és hogy 2 $\Pi$ periodikus. Írjuk fel a Fourier-sorát!

[856] Lóczi Lajos	2009-03-08 20:00:58
Ha a diszkrimináns kisebb nullánál, a képlet formálisan ugyanaz, csak konjugált komplex számokat tartalmaz (amelyek együttesen valós értéket adnak). De az Euler-összefüggésekkel ezt az esetet mindig átírhatod exponenciális függvényt és szinuszt/koszinuszt tartalmazó alakra, amiben már csak valós számok vannak.
Előzmény: [854] akinom91, 2009-03-07 13:03:18

[857] Lóczi Lajos	2009-03-08 20:49:07
Itt minden bizonnyal két dolgot érdemes összekombinálni: van egy képlet az integrálfüggvény Fourier-együtthatóinak kiszámítására (az eredeti függvény Fourier-együtthatóiból), így elég csak a logaritmus és a kotangens függvény kompozíciójának meghatározni a sorfejtését. (A függvény paritása miatt az egyik paritású együtthatók nullák lesznek.) A kotangenset szétbontva, lényegében ln (cos )^.sin , ln (cos )^.cos , ln (sin )^.cos , ln (sin )^.sin integrandusú határozott integrálok maradnak (az argumentumokban persze a megfelelő helyeken ott a szumma futóindexe). Ezeket az integrálokat ki lehet számolni (persze az integrandus nem korlátos volta miatt az integrálok konvergenciáját ellenőrizni kell), egyszer kiszámítottam őket, de csak elég trükkösen jöttek ki. (Utólag aztán látható volt, hogy az a feladat a $\sum_k \frac{\cos(kx)}{k}$ és $\sum_k \frac{\sin(kx)}{k}$ függvénysorok összegével van kapcsolatban, amelyeket egyszerűbben egy $\sum_k \frac{e^{i kx}}{k}$ komplex exponenciális sor összegeként volt érdemes kiszámolni.) Szóval esetleg próbálj meg ezeket a nyomokon elindulni; mindenesetre a direkt számolások nem lesznek egyszerűek.
Előzmény: [855] plac, 2009-03-07 16:12:53

[858] plac	2009-03-09 15:57:15
Ez is hatalmas segítség volt köszönöm szépen!
Előzmény: [857] Lóczi Lajos, 2009-03-08 20:49:07

[859] sakkmath	2009-03-10 10:01:07
Talán ez is segít (a részleteket a könyv mellőzi):

Előzmény: [855] plac, 2009-03-07 16:12:53

[860] gubanc

2009-03-13 12:41:36

Nagyrabecsült FÓRUMOSOK! Sehogy sem bírok ezzel a feladattalÿ:( segítenétek?

Legyenek n és k adott pozitív egészek és tekintsük azon f: {1; 2; 3; ...; n} $\to$ {-k; -k+1; ...; k-1; k} függvényeket, amelyekre |f(i) - f(j)| $\le$ k bármely i, j $\in$ {1; 2; 3; ...; n} esetén. Hány ilyen f függvény van?

Üdv: gubanc

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?