Fórum: Valaki mondja meg!

Szóval észre kell venni, hogy az véletlenül pont megoldás?

Köszönöm, de programok nélkül hogyan kéne megcsinálni?

Fogod magad, kipróbálod gyöknek (behelyettesíted) az 1-et. Aztán a (-1)-et. Rájössz, hogy ezek irracionális helyettesítési értékeket adnak a miatt, így a -ot helyettesíted be, és kapod, hogy az megoldás. És innen , amit befejezni már ujjgyakorlat. Mindig érdemes először kitartóan gyököket keresni az egyenletnek.

Legyen adott egy természetes számokból képzett végtelen sorozat. Van-e olyan algoritmus, mely eldönti a sorozat reciprokösszegét?

Vagy hogy konvergens-e egyeltalán.

Nincs.

Még olyan se.

Sziasztok!

Valaki meg tudná esetleg mondani, hogy a "többváltozós függvények" kifejezést hogyan mondják angolul illetve németül?

Köszönöm a segítséget!:)

Multivariate function, multivariable function, vector-valued function, etc. Németben nem tudok autentikus segítséget nyújtani.

köszönöm szépen

Sziasztok!

Lenne egy meglehetősen furcsa kérdésem: Hogyan lesz valakiből jó pénzügyi matematikus?

Ez nagyon furcsán hangzik, de leírom, hogy mire gondolok. Én matematika szakon szeretném folytatni a tanulmányaimat szept-től és nem látom, hogy milyen mélységig kell az egyes területekben elmélyedni? Annyira szerteágazó a matematika és rengeteg szakkönyv van, hogy félelmetes. Például nekem mennyire kell értenem a számelmélethez ahhoz, hogy ezen a területen dolgozhassak? Én szeretnék jó szakember lenni, de még így is a szakterületen belül rengeteg könyvet találtam például sztochasztikus-differenciálterületekről. Ezek a könyvek azért többnyire átfedésben lehetnek?

Megnyugtató válaszaitokat előre is köszönöm!:)

Ne izgasd magad ezen! A matematikus BSC-n megtanulod az alapokat. Aztán majd az MSC-n szakosodsz gazdasági matematikára. Ott is szépen levizsgázol mindenből, ami szükséges.

Üdv! A következőkben egy integrállal kapcsolatban kérném a segítségeteket.

A bolygómozgással kapcsolatban olvastam és futottam bele az alábbi integrálba (a Bronstejnből szedtem képen látható részletet). Amit olvastam, ott nem részletezte a megoldást, csak közölte arccos-os formában és rejtetten utalt rá, hogy ő is integráltáblázatból szedte.

Viszont én meg nekiálltam, hogy szépen levezessen, mert még nem találkoztam ezzel és gyanús volt, hogy többféle megoldás is lehetne.

Végülis az itt látható mind a 4 megoldást levezettem. Viszont a megszorításokkal és azok értelmezésével bajlódom:

- Én úgy látom, hogy az "a"-ra és ""-ra vonatkozó megkötések azért vannak, hogy ne kerüljenek elő komplex számok. Ezen megkötések tényleg szükségesek? Nem lehetséges az a,b,c,xC; értelmezéssel mind a 4 kifejezést ekvivalensnek tekinteni?

- Ha viszont a R halmazán kell maradnunk/akarunk maradni, akkor szerény véleményem szerint az 1. és 3. sorban ln|...| kellene legyen és a 4. sorban pedig szintén megkötést kell tenni az arcsin argumentumára. Mint az enwikin is tették (utolsó előtti szekció eleje).

- Valamint a tetszőleges konstans is hiányzik az utolsó két sorból. Vagy van valami oka ennek, amiről nem tudok?

A választ nem tudom, de nézd meg még az Abramowitz–Stegun kézikönyvet a 3.3.26. ponttól.

Valósban a három eset már az alapintegráloknál is jól megkülönböztethető:

Komplex számokkal a három eset nagyjából ugyanaz, de vigyázni kell arra, hogy a különböző pontokban a végtelen sok logaritmus közül melyiket használod.

A belinkelt szövegben az első sorban szerintem a>0, <0 kellene. Jó házi feladat, hogy miért nem azt írták azt, hogy . 1. és a 3. sorban szerintem is hiányzik az abszolútértékjel. A 4. képletet (is) úgy kell érteni, hogy egy olyan intervallumban vagyunk, ahol az integrandus értelmes.

De úgysem úszod meg, hogy te magad végigszámold. Ha =0, akkor a gyökjel alatti kifejezés teljes négyzet. Ha pedig 0, akkor teljes négyzetté alapítás után egy lineáris helyettesítés vezet a megfelelő alapintegrálra.

Önmagában egy megoldás attól még nem gyanús, hogy többféle alakban van megadva.

Ha a paramétereket és a változókat komplexnek is megengednék, akkor már ugye a gyökjel sem lenne jóldefiniált, sem a logaritmus, csak némi magyarázkodás után a pontos értelmezési tartományról és értékkészletről.

De ha csak a valós számok között maradunk is, és azt kéred tőlük, hogy tüntessék fel az értelmezési tartományokat, akkor még nem végeztek volna a táblázat összeállításával és nem is férne el a táblázat abban a kötetben, amibe szánták. Pláne, hogy még 3 paraméter is jelen van a példában.

Valamint általános megfigyelés, hogy az ilyesféle táblázatok számtalan hibát tartalmaznak: örülni kell, hogy egyáltalán van valami formula, amit a konkrét alkalmazásban gondosan újra kell értelmezni/bizonyítani.

Az enwikire pont onnan másolták. =)

A logaritmus kezelését úgy gondolom, hogy jelen esetben megkönnyíti az, hogy van egy szabad konstansuk, amit majd a peremfeltétel szab meg. Ezért a komplex logaritmusok közül bármelyiket választva is végül a peremfeltételhez illeszkedő megoldásnál a konstans majd helyretesz mindent.

Igazad van, de a következőképpen egyeznek meg R-ben, szorzótól eltekintve:

= az 1. sorral <0 esetén, ami pedig hasonlóan -val felírva: -val egyezik meg.

Azt figyeltem meg, hogy az 1. egyenletben a konstansból behozva -t arsh ,arch ,arcsin ,arccos  is kihozható eredményként, attól függően, hogy "a"-ra és ""-ra milyen feltételt szabunk. Tehát szerintem az 1. egyenlet általánosabb ilyen tekintetben, mint a többi.

Nem a megoldás volt gyanús, hanem azon kezdtem gyanakodni, hogy ebben az integrálban azért több van, mint amit a bolygómozgásnál közöltek és be is igazolódott, hogy azért mégsem olyan egyszerű és volna még mit diszkutálni róla, hogy minden világos legyen. Ott csak közöltek egy megoldást, ami azért ránézésből egyáltalán nem volt triviális (ott még ez az egyszerűbb alak sem volt leírva).

Elfogadom én, hogy valós számokról van ott szó. A kérdésem arra irányul, hogy minden egyes feltétel csak azért van, hogy ez stimmeljen és nem lehetne egy megoldást felírni, amiből tovább vezetve egyéb feltételekkel, diszkusszióval megkaphatóak, amik ott szerepelnek. Mivel én úgy látom, hogy az elsőből a többi következik (azt hiszem a 3. kivételével, de lehet arról is beláttam már, hogy mégis?), ezért úgy érzem, hogy elég volna az elsőt közölni, mint megoldást. És a többit meg jelezvén, hogy azon megoldás diszkutálása bizonyos feltételek mellett és nem pedig egyenrangú megoldások. De lehet tévedek, ezért is kértem a segítségetek.

Igen, ezt én is megfigyeltem, de ha találok hibát, akkor azt legalább a sajátomban átjavítom vagy bővítem, hogy világosabb legyen, hogy ott miről is van szó. Egyszer az elejétől nekiláttam ennek, míg bele nem untam és találtam bőven elgépeléseket. Vagy nagyon nem intuitív jelöléseket.

Még egy dologra rá szeretném irányítani a figyelmet. De ehhez az kell, hogy megmondd, hogyan értelmezed pontosan az szimbólumot.

Én a következőképpen gondolnám:

ahol xC, ha nem r és az adott, akkor ; =arctan 2(Im(x),Re(x))

Ne szaladj ennyire előre :) Egyelőre csak a valós számok körében akarjunk dolgozni, akárcsak korábban. De kérlek, ne csak formulákat írj, hanem az általuk meghatározott függvények értelmezési tartományait is tüntesd fel.

Az 1. képlet tényleg működik 0-ra is.

De RC, így amit leírtam =0 vagy (+k2) esetén visszaadják a valós értelmezést (annál kicsit többet a fázisok miatt). kZ; rR⁺; R

Ha xR\{0}-ra szorítkozunk, és értékkészletnek is R-et vesszük, akkor az előzőkből Re()-vel adódik:

=ln |x|+c

Az a probléma (határozott integrálban gondolkodva), hogy míg valósban két szám között csak egyféle szakaszon tudsz integrálni (a valós tengely megfelelő részén), a komplex síkon két számot különböző görbékkel tudsz összekötni. Így c₁ és c₂ közötti határozott integrált több különböző görbén is értelmezheted, és sajnos ezek bizonyos függvényeknél különböző értékeket adhatnak. Ha a függvényednek nincs pólusa, akkor a különböző görbéken elvégzett integrálok értékei megegyeznek. Az 1/x függvénynek van pólusa x=0-ban.

De ezen értékek csak a képzetes részt befolyásolják. Nem látom, hogy miért lenne probléma, ha tudok arról is, hogy az illető milyen úton (jelen esetben hányszor kerüli meg az origót és mekkora két pont közötti szögtávolság).

Mert én úgy látom, hogy az integrál felfogható úgy mint, egy vektor-vektor fv-ben végzett mozgás során végzett vonalintegrál. Ahol a valós rész a szokásos skalárszorzatot, a képzetes rész pedig a vektoriális szorzat értékét hordozza.

Akkor -- továbbra is csak a valós számok körében maradva -- azt kérdezném, hogy mi az oka annak, hogy számos integráltáblázatban azt látom, amit írtál, miszerint

Azt írod, hogy az értelmezési tartomány legyen a maximális, azaz a 0-tól különböző valósok halmaza. Ha lerajzoljuk ezeket a függvényeket, akkor látszik, hogy mind tengelyesen szimmetrikusak. Én mondok egy bővebb függvényosztályt eredményül:

ha x>0, és

ha x<0. Vagyis itt a két ág függőleges eltolása már nem feltétlenül ugyanaz.

Miért nem ezt a bővebb osztályt szokták akkor a könyvek feltüntetni?

Talán, mert ha majdan függvény alatti területként szeretné valaki használni, akkor a következő határozott integrált kapnánk , ahol cR⁺

Ami nem felelne meg a területszámítási intuíciónak.

Egyetértek, a cél nyilván az, hogy ezeket a formulákat pl. területszámításra használjuk. De akkor meg kell kérdezzem, hogy a korábbi c₁=c₂=c választással kapott primitívfüggvény-sereg megfelel-e a területszámítási intuíciónknak:

Vagyis ebben a példában a szimmetrikus területet valóban 0-nak szeretnénk definiálni?

Igen.

Akkor viszont ellent kell mondjak Neked, mert szerintem a terület

Most akkor kinek van igaza?

Mindkettőnknek!?

Az nyilván igaz, hogy [-1,0) között a fv -1 szerese a (0,1] közötti részének, tehát előjeles összegük 0-ra kell kijöjjön, ha ugyanannyira közelíted a 0-t mindkét oldalról. Ha pedig a feltétel nem teljesül, akkor nyilván nem lesz 0.

Az nem lenne jó, ha itt mindkettőnknek igaza lenne és a területet kétféleképpen is lehetne definiálni.

Konkrétan, melyik részlépéssel nem értesz egyet a levezetésemben? Továbbá képzeljük azt, hogy az egyik processzor a bal oldali területet számolja ki, a másik pedig a jobb oldalit: az egyik nem tud arról, hogy a másik "ugyanannyira közelíti-e a 0-t".

Mi legyen a megoldás?

Két különböző területet számoltunk. Nem ugyanazt kétféleképpen.

Azon részével "nem értek egyet", hogy az egyik határt -nak, a másikat meg 2-nak határoztad meg. Én alapértelmezetten azonosnak venném a kettőt. Szimmetrikusan kezelném a területszámítást, ameddig egy adott konkrét példánál elő nem kerülne, hogy a két oldalon más-más határnál szűnik meg az 1/x-es függés. Mert ugye egy ilyet csak konkrét határok figyelembevételével lehetne kiértékelni. Ezen utosó mondatomból is következik, hogy a processzor tudja, hogy milyen értékre számol területet, vagy ha csak elkezdi a vakvilágba, akkor is tudja számolni, hogy hányadik lépésnél tart, ergo a két proci össze tudja hasonlítani, hogy melyikőjük hol tart.

Szerintem a megoldás: Vagy jelöljük mindig konkrétan, hogy mit értünk alatta vagy elfogadunk egy értelmezést alapértelmezettnek és a többit jelöljük külön. (Szerintem a szimmetrikus eléggé adja magát.)

Szerintem jobb nem értelmezni az ilyen +végtelen-végtelen típusú integrálokat, csak a baj lenne velük. Szerintem nem is szokták, hiába szimmetrikus.

Természetesen értelmezhető az ilyen "+--típusú" integrál szimmetrikus módon is, ahogyan írtad, ezt hívják Cauchy-féle főértéknek, és pl. a szimbólummal jelöljük.

De ha a közönséges, (improprius értelemben vett) Riemann-integrálról van szó, akkor a szóban forgó kifejezést nem definiáljuk.

Mindezzel csak arra szerettem volna rámutatni, hogy milyen nehéz vállalkozás igazi, "felhasználóbarát" határozatlanintegrál-táblázatot csinálni: a felhasználó ki szeretne számolni egy határozott integrált, mint pl. az [1840]-es hozzászólásban szereplő háromparaméteres kifejezést, úgy, hogy csak be kelljen helyettesítenie az F(b)-F(a) képletbe, és ne neki (hanem a táblázat készítőjének) kelljen azzal törődnie, hogy a képlet helyes eredményt adjon, figyeljen az értelmezési tartományokra, vagy hogy pl. fellép-e a fent is említett +- eset.

Köszi.

Nézegettem az enwikin és huwikin, hogy azért van bőven egyéb, Riemann-tól eltérő integrál definíció. Elolvastam az enwiki: Henstock-Kurzweil integral cikket, ahol azt állítják, hogy általánosabb, több függvényre használható, mint a Lebesgue-integrál, ami pedig a Riemann kiterjesztése.

A kérdésem az, hogy mi az oka annak, hogy ha már adott egy olyan értelmezés, ahol az eddig is értelmezett integrálokat ugyanúgy lehet számolni, mint eddig és értelmet ad olyan integráloknak, amelyeket addig nem tudtunk értelmezni és mégsem az az alapértelmezettnek vett integrál definíció, miért nem azt tanítják?

Nem tudsz egy Venn-diagramos vagy hierarchiás fa-gráfos összefoglalót az összes integrál-definícióval és azok kapcsolatairól? Egy ilyen ábrán azonnal látszódnának bárkinek hogy hogyan viszonyulnak egymáshoz, anélkül hogy végigolvasná őket egyenként és saját maga építené fel a fejében a kapcsolatokat.

Csak 1-2 morzsát írok, a többit az idézett oldalakon megadott összefoglaló könyvekből jól áttekintheted egy kis kutatómunka után.

Rejtély számomra, hogy a Henstock--Kurzweil-integrál (HK) miért nem vette át pl. az egyetemi tananyagban a Riemann-integrál helyét: a definíciók közötti különbség alig észrevehető, a nyereség viszont nagy. Ki és miért ennyire konzervatív?

A HK-integrál egyik hátránya, hogy (alapesetben) csak intervallumokon tudunk vele integrálni. Egy másik hátránya, hogy a HK-integrálható függvények tere nem teljes.

A Lebesgue-integrál (L) esetében a fenti teljesség teljesül: ez az alkalmazásokban döntően fontos tényező, ami a mérleget itt az L-integrál javára billenti. Az L-integrállal bonyolult halmazokon is lehet integrálni. Ezt az integrálfogalmat a valós számok halmazánál absztraktabb terekre könnyű kiterjeszteni.

A különféle integrálfogalmak fejlődését az alkalmazások motiválták: egy fontos elméleti/gyakorlati kérdés alapos tanulmányozásakor sokszor kifejlesztettek egy új integrálfogalmat.

Az idézett oldalon felsorolt integrálfogalmak nem feltétlenül összehasonlíthatók Venn-diagramon: más típusú (máshol értelmezett/más típusú térbe képező) függvényekre vannak kitalálva.

Nem gondolhatod, hogy matematikában csak mert két dolog definíciója pofára hasonló, hasonlóan nehéz lesz megérteni a fogalmakat :) A Riemann integrál egy elsős matematikus számára könnyen érthető és természetes, míg ezen igen csak törnie kéne a fejét, és nem is biztos hogy rendesen megértené miről is van szó (és így az egész csak formális zúzás lenne neki).

De ebben az esetben pontosan ezt gondolom. A HK-integrál éppoly természetes, ha vki először hallja, és nem csak elsős matematikusokra gondolok. A mögöttes tartalom pedig csupán annyi, hogy ha a függvény valahol csúnyán változik, akkor a téglalapos közelítőösszegeket is ennek megfelelően finomítsuk: egy igazi adaptív algoritmus.

És nem okozza ez azt, hogy nehezebb bebizonyítani az alapvető tételeket rá, mint a Riemann-integrálra?

Szerintem nem olyan egyszerű ez az integrálfogalom, és inkább a mértékelmélet tárgyalása után érdemes foglalkozni vele.

Például próbáljuk integrálni a Dirichlet-függvényt, vagy a Cantor halmaz összes racionális eltoltja uniójának karakterisztikus függvényét a [0,1] intervallumban.

Ahhoz mennyi előkészületre van szükség (a definíciókkal együtt), hogy az xx² függvény Lebesgue-integrálját ki tudjuk számítani a [0,1] intervallumon?

Véleményem szerint ennél kevesebb vesződséggel jár a Dirichlet-függvényről megmutatni a definíciókból, hogy HK-integrálja 0.

Ha nem cél az absztrakt mértékelmélet tanulmányozása, a HK-integrál fogalma kifizetődőbben felépíthető, mint a Lebesgue-integrálé.

Szerintem az alapvető tételek bizonyításai nem nehezebbek, lásd pl. Lee Peng-Yee: Lanzhou Lectures on Henstock Integration c. művét 1989-ből, amely a fogalom felépítésére koncentrál.

Vagy érdemes egy pillantást vetni erre a masszívabb könyvre Brian S. Thomson: Theory of the integral, amely összehasonlító szempontból tárgyal viszonylag sok integrálfogalmat.

De hogy a Riemann-integrál fogalma is rejteget még nemtriviális részleteket: 2009-ben adták meg annak szükséges és elégséges feltételét, hogy egy F függvény előálljon, mint egy f Riemann-integrálható függvény integrálfüggvénye. Azaz: mik a feltételek F-re, hogy létezzen hozzá egy c konstans és f Riemann-integrálható függvény, hogy legyen (x[a,b]).

Kedves Lajos,

A kérdésed az volt, hogy a HK integrál miért nem vette át pl. az egyetemi tananyagban a Riemann-integrál helyét.

Több okot is látok. Az egyik didaktikai. Én legalábbi személy jobban szeretem, ha a világot apránként fedezzük fel. Előbb találunk néhány mozaikdarabot, ezeket tanulmányozzuk, emésztjük, és csak utána építünk fel valami általánosabb rendszert, aminek a sok darab mind része. Számomra mindig elrettentő példát jelentenek az olyan esetek, ahol előbb kimondanak és bebizonyítanak egy nagyon absztrakt tételt, és utána ennek speciális esete lesz a többi, külön-külön sokkal érdekesebb állítás.

A másik ok, hogy nem akarunk túl sok fölösleges dolgot tanítani. Egy mérnök vagy egy alkalmazott matematikus szép, szakaszonként sima függvényekkel dolgozik, és valószínűleg soha nem akarja mondjuk a Dirichlet-függvényt integrálni. Nekik bőven elég az (improprius) Riemann-integrál, és az x² integrálása sem okoz túl nagy traumát egyenletes felosztással. Semmi nyereség nincs mindaddig, amíg csak véges sok pont közelében van gond a függvénnyel. Az improprius integrált (végtelen inervallumokon) úgysem ússzuk meg.

Azt is írtad, hogy a definíciók közötti különbség alig észrevehető, a nyereség viszont nagy.

Az alig észrevehető különbség valójában óriási. Persze, mondhatjuk ártatlan arccal, hogy konstans helyett inkább egy pozitív értékű függvényt veszünk, de ez félrevezető. A többség valami viszonylag szép függvényt fog várni, tévesen. Nehezen fogják megemészteni azt a sokkot, hogy a várt szakaszonként folytonos függvény helyett miféle szörnyűségekbe ütközhetnek; hogy egy kicsit csúnyább függvény (pl. a Dirichlet-függvény) integrálásához mennyire bonyolult függvényt érdemes választani.

Ha pedig elkezdjük vizsgálni, hogy egyes függvények miért (nem) HK integrálhatók, óhatalanul beleütközünk a Lebesgue-mérték hiányába. Ezért gondolom, hogy a HK integrállal a mértékelmélet után érdmes foglalkozni.

Kedves Mihály,

szerintem érdemes elkülöníteni a különböző célcsoportokat.

A gyakorlatban előkerülő szakaszonként sima függvények integrálásához mindenki a Newton--Leibniz-formulát fogja akarni használni; ez a célcsoport nem akar Dirichlet-függvényt integrálni, vagy bármit az integrál definíciója alapján kiszámítani. A HK-elmélet keretében a Newton--Leibniz-tételkör nagyon természetes módon tárgyalható, ami nem mondható el a Riemann- vagy a Lebesgue-elméletről. Ez a célcsoport nem fog semmilyen függvényt várni, és nem kapnak sokkot szörnyű függvényektől: a mindennapi praktikus számításokban nem látnak ilyet.

Egy következő célcsoport lehet az, akik látják, hogy van pl. Dirichlet-függvény, és ezt konstans -val nem lehet integrálni (azaz Riemann-értelemben), de egy kicsit bonyolultabb -val már lehet. Ha e célcsoport tagjai ezt a függvényt bonyolultnak találják, akkor nekik a Lebesgue-elmélet sem lenne emészthető. De itt sem muszáj a "definíció" szerinti integrálást erőltetni, a Dirichlet-fv. integráljának értéke a tételekből úgyis "kijön".

Aki pedig absztrakt Lebesgue-elméletet akar tanulni, annak -- a Lebesgue-elmélet megismerése előtt -- nagyon tanulságos lehet látni, hogy milyen gyorsan el lehet jutni egy [a,b]-n értelmezett függvény integráljának definíciójához, amit később majd Lebesgue-integrálnak fogunk hívni és egy bonyolultabb apparátus keretében absztraktabban és általánosabban felépíteni.

Try .

Javaslom az helyettesítés alkalmazását, amely után a kanonikus alakra hozás jobban megvalósítható.

A keresett primitív fügvényt a következő két f₁(x) és f₂(x) függvény összege állítja elő:

,

.

szia!

egy gyors kérdés (skicc)

köszi! ...bianka