Beszámoló a 66. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról

Harangi Viktor

Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát július 10. és 20. között Ausztrália rendezte meg 110 ország és 630 diák részvételével. Az eseménynek Sunshine Coast adott otthont.

A versenyen, szokás szerint, mindkét napon négy és fél óra alatt három-három feladatot kellett megoldani. A feladatok szövegét alább közöljük. Mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 pont jár, így egy versenyző maximális teljesítménnyel 42 pontot szerezhet, ami idén összesen öt (két kínai, valamint egy-egy japán, kanadai és orosz) diáknak sikerült. A versenyzők pontszáma a koordinátorok és a csapatvezetők közötti egyeztetés révén alakult ki. A verseny befejezése után megállapított ponthatárok szerint aranyérmet a 35–42 pontot elérő, ezüstérmet a 28–34 pontos, míg bronzérmet a 19–27 ponttal rendelkező tanulók szereztek. A magyar diákok kiválóan teljesítettek, az országok nem-hivatalos pontversenyében a 14. helyet szerezték meg. Érdemes még megemlíteni, hogy a magyar csapat az 1., 4. és 5. feladatra is az elérhető legmagasabb pontszámot szerezte meg, amit csupán két másik ország (Kína, illetve Törökország) mondhat el magáról. A 6. feladat rendkívül nehéznek bizonyult: a résztvevők 90%-a nem szerzett pontot, és csupán 16 versenyző kapott 1-nél több pontot, közülük hatan adtak be teljes megoldást. Így az aranyéremhez lényegében hibátlanul kellett megoldani az első öt feladat mindegyikét. Ez két magyar diáknak is sikerült.

A magyar csapat tagjai és az elért eredményük:

Bodor Mátyás (Csíkszereda, Márton Áron Főgimn., 11. o. t.) 35 ponttal és

Szakács Ábel (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. o. t.) 35 ponttal aranyérmet nyert.

Czanik Pál (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. o. t.) 29 ponttal,

Varga Boldizsár (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimnázium, 12. o. t.) 29 ponttal és

Holló Martin (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. o. t.) 28 ponttal ezüstérmet szerzett.

Molnár István Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn. 12. o. t.) 24 ponttal bronzérmet kapott.

Harangi Viktor (Rényi Intézet) a magyar csapat vezetőjeként,

Dobos Sándor (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn.) a magyar csapat helyettes vezetőjeként,

Kós Géza (ELTE TTK Analízis Tanszék; SZTAKI) a Diákolimpiát irányító testület (IMO Board) választott tagjaként, a Feladatkiválasztó Bizottság tagjaként, illetve a koordinátor csapatban a geometria feladatért felelős ,,Problem Captain''-ként,

Kunszenti-Kovács Dávid (ELTE TTK Alkalmazott Analízis Tanszék; Rényi Intézet) az IMO Board tagjaként és a norvég csapat vezetőjeként,

Borbényi Márton, Haiman Milan, Jankó Zsuzsanna, Klász Viktória, Záhorský Ákos koordinátorként, Kós Hajnalka pedig önkéntes segítőként működött közre az olimpián.

Virág Lénárd Dániel a finn csapat tagjaként versenyzett.  2027-es IMO szervezői gárdájából többen megfigyelőként vettek részt az idei diákolimpián, tovább gyarapítva a szép számú magyar küldöttséget: Bán-Szabó Áron, Karlócai Orsolya, Kós Rita.

Az országok nem-hivatalos pontversenyének élmezőnye:

1. Kína 231 pont, 2. USA 216, 3. Dél-Korea 203, 4–5. Japán és Lengyelország 196, 6. Izrael 194, 7. India 193, 8. Szingapúr 191, 9. Vietnám188, 10. Törökország 186, 11. Hongkong 184, 12. Irán 183, 13. Románia181, 14. Magyarország 180, 15. Ausztrália 179, 16. Egyesült Királyság 178, 17. Kazahsztán 175, 18–19. Olaszország és Mongólia 174, 20. Tajvan 170, 21–22. Bosznia-Hercegovina és Kanada 169, 23. Bulgária 166, 24. Ukrajna 165, 25. Thaiföld 163.

Az imo-official.org honlapon az összes résztvevő versenyző neve és eredménye megtalálható.

Szeretnék köszönetet mondani a versenyzők tanárainak. A központi olimpiai felkészítő szakkör vezetője a helyettes csapatvezető, Dobos Sándor volt. A felkészítés részét képezte egy egyhetes táborozás július elején, Dobos Sándor és Kiss Géza (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn.), valamint Kovács Benedek és Móricz Benjámin (ELTE TTK) vezetésével. A felkészítésben és a válogatóversenyek dolgozatainak javításában a tanév során sokan mások is részt vettek. Lelkes fiatalok munkájának köszönhetően idén is folytatódott az ,,olimpiai iskola'': a tanév során nyolc szakköri alkalom, valamint két hétvégi tábor keretében vehettek részt tematikus foglalkozásokon az érdeklődők. Továbbá idén is volt közös tábora az angol és magyar diákoknak; ennek a házigazdái Kovács Benedek, Jánosik Áron és Kocsis Anett voltak. A versenyzők további iskolai, szakköri, matematikatábori tanárainak alábbi felsorolásában a tanárok neve után monogramjukkal jelöltem azokat a diákokat, akik a tanítványaik: Dobos Sándor (BM, CzP, HM, MIÁ, SzÁ, VB), Fejér Szabolcs (MIÁ), Grallert Krisztina (MIÁ), Gyenes Zoltán (CzP, HM, SzÁ, VB), dr. Győry Ákos (MIÁ), Holló Gábor (VB), Hujter Bálint (CzP, HM, SzÁ), Kiss Géza (HM), Kocsis Szilveszter (CzP), Kovács Benedek (BM, CzP, MIÁ), Lenger Dániel (CzP), Nagy Kartal (BM, HM, SzÁ), Nádor Benedek (CzP), Pósa Lajos (CzP), Sándor András (CzP, MIÁ, VB), Surányi László (HM, SzÁ, VB), Taricska Dávid (MIÁ), Terpai Tamás (SzÁ), Tóth Tibor (MIÁ), Vass Iván (MIÁ), Veres Pál (MIÁ).

A verseny után a diákok meglátogathatták az Australia Zoo koaláit és krokodiljait, fürödhettek és kajakozhattak a tengerben, megpróbálhattak összebarátkozni a szállás körül lebzselő kengurukkal. Természetesen matekhoz kapcsolódó programok is voltak; idén is tartott előadást a résztvevőknek a matematika állócsillaga, Terence Tao.

A következő matematikai diákolimpiát Kína rendezi: 2026. július 10–20. között Sanghaj ad otthont az eseménynek.

A 66. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai

Első nap

1. feladat. Egy síkbeli egyenest napfényesnek nevezünk, ha nem párhuzamos sem az \(\displaystyle x\) tengellyel, sem az \(\displaystyle y\) tengellyel, sem pedig az \(\displaystyle x+y=0\) egyenessel.

Adott egy \(\displaystyle n\geqslant3\) egész szám. Határozzuk meg az összes \(\displaystyle k\) nemnegatív egész számot, amelyre létezik \(\displaystyle n\) különböző egyenes a síkon az alábbi tulajdonságokkal:

• ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészekre \(\displaystyle a+b\leqslant n+1\) teljesül, akkor az \(\displaystyle (a,b)\) pont rajta van legalább egy egyenesen; valamint
• az \(\displaystyle n\) egyenes közül pontosan \(\displaystyle k\) napfényes.

2. feladat. Legyen az \(\displaystyle \Omega\), illetve \(\displaystyle \Gamma\) körök középpontja rendre \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle \Omega\) sugara kisebb, mint \(\displaystyle \Gamma\) sugara, valamint hogy \(\displaystyle \Omega\) és \(\displaystyle \Gamma\) a (különböző) \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszik egymást. Az \(\displaystyle MN\) egyenes \(\displaystyle \Omega\)-t a \(\displaystyle C\) pontban, \(\displaystyle \Gamma\)-t pedig a \(\displaystyle D\) pontban metszi olyan módon, hogy \(\displaystyle C\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle D\) ebben a sorrendben követik egymást az egyenesen. Jelölje \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ACD\) háromszög körülírt körének a középpontját. Messe az \(\displaystyle AP\) egyenes \(\displaystyle \Omega\)-t az \(\displaystyle E\neq A\) pontban. Messe az \(\displaystyle AP\) egyenes \(\displaystyle \Gamma\)-t az \(\displaystyle F\neq A\) pontban. Legyen \(\displaystyle H\) a \(\displaystyle PMN\) háromszög magasságpontja.

Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle H\)-n átmenő, \(\displaystyle AP\)-vel párhuzamos egyenes érinti a \(\displaystyle BEF\) háromszög körülírt körét.

(Egy háromszög magasságpontja a magasságvonalainak metszéspontja.)

3. feladat. Jelölje \(\displaystyle \mathbb{N}\) a pozitív egész számok halmazát. Egy \(\displaystyle f\colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) függvényt pöpecnek nevezünk, ha \(\displaystyle b^a-f(b)^{f(a)}\) osztható \(\displaystyle f(a)\)-val tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok esetén.

Határozzuk meg a legkisebb \(\displaystyle c\) valós konstanst, amelyre \(\displaystyle f(n)\leqslant cn\) fennáll minden \(\displaystyle f\) pöpec függvényre és minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre.

Második nap

4. feladat. Egy \(\displaystyle N\) pozitív egész szigorú osztói alatt az \(\displaystyle N\)-nél kisebb pozitív osztóit értjük.

Az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \ldots\) végtelen sorozat olyan pozitív egészekből áll, amelyek mindegyikének legalább három szigorú osztója van. Minden \(\displaystyle n \geqslant 1\) esetén \(\displaystyle a_{n+1}\) megegyezik \(\displaystyle a_n\) három legnagyobb szigorú osztójának összegével.

Határozzuk meg \(\displaystyle a_1\) összes lehetséges értékét.

5. feladat. Hanga és Ábel egy kétszemélyes játékot játszanak, amelynek a szabályai egy \(\displaystyle \lambda\) pozitív valós számtól függenek, amelyet mindkét játékos ismer. Az \(\displaystyle n\)-edik lépésben (\(\displaystyle n=1\)-gyel kezdődően) a következő történik.

• Ha \(\displaystyle n\) páratlan, Hanga választ egy \(\displaystyle x_n\) nemnegatív valós számot úgy, hogy

\(\displaystyle x_1 + x_2 + \dots + x_n \leqslant \lambda n. \)

• Ha \(\displaystyle n\) páros, Ábel választ egy \(\displaystyle x_n\) nemnegatív valós számot úgy, hogy

\(\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leqslant n. \)

Ha valamelyik játékos nem tud megfelelő \(\displaystyle x_n\) számot választani, a játék véget ér és a másik játékos nyer. Ha a játék örökké tart, egyik játékos sem nyer. A választott számok mindkét játékos számára ismertek.

Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle \lambda\) számot, amelyre Hangának nyerő stratégiája van, valamint az összes olyat, amelyre Ábelnek nyerő stratégiája van.

6. feladat. Vegyünk egy \(\displaystyle 2025 \times 2025\) egységnégyzetből álló négyzetrácsot. Matild téglalap alakú csempéket helyez a rácsra (amelyek mérete eltérő lehet) úgy, hogy a csempék oldalai a rácsegyenesekre esnek, illetve minden egységnégyzetet legfeljebb egy csempe fed.

Határozzuk meg, legkevesebb hány csempét kell Matildnak leraknia ahhoz, hogy a rács minden sorában és minden oszlopában pontosan egy egységnégyzetet ne fedjen csempe.