Kincsek a KöMaL múltjából

Kiss Géza, Fried Katalin

Ebben a rovatunkban a KöMaL hasábjain régebben megjelent érdekes, ám feledésbe merült cikkeket, feladatmegoldásokat veszünk elő és mutatunk be. Felfrissítjük, a mai jelölésmódokhoz, szóhasználathoz igazítjuk a stílusukat, esetenként további gondolatokat fűzünk hozzájuk.

Ezúttal részletesebben egy 1928. januárjában kitűzött feladatról és annak az ugyanazon év márciusi számában megjelent megoldásáról, illetve további, szintén ehhez a témához kapcsolható feladatokról lesz szó. Mint később látjuk, ezek mindegyike szorosan kapcsolódik az e számban megoldott B. 5440. feladathoz.

A korábban megjelent feladatot és a megoldást apró változtatásokkal közöljük:

345. a) Jelentsék \(\displaystyle H_a\), \(\displaystyle H_b\), \(\displaystyle H_c\) a nem derékszögű \(\displaystyle ABC{\triangle}\) oldalain a magasságok talppontjait. A \(\displaystyle H_aH_bH_c\) háromszög oldalainak felezőpontjai legyenek \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\). Hosszabbítsuk meg a \(\displaystyle PQR{\triangle}\) oldalait, amíg az \(\displaystyle ABC{\triangle}\) oldalait metszik; bizonyítsuk be, hogy ilyen módon három egyenlő hosszúságú szakaszpárt kapunk.

b) Ezen szakaszok végpontjai (amelyek tehát az \(\displaystyle ABC{\triangle}\) oldalain feküsznek) egy körön, az ún. Taylor-féle körön feküsznek. Ezen kör a \(\displaystyle PQR{\triangle}\)-be írt vagy ezen háromszöghöz hozzáírt egyik körrel koncentrikus, aszerint, amint az \(\displaystyle ABC{\triangle}\) hegyes, illetve tompaszögű.

c) A b) alatti pontok egyszersmind a \(\displaystyle H_a\), \(\displaystyle H_b\), \(\displaystyle H_c\) pontokból, az \(\displaystyle ABC{\triangle}\) oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai.