Szerk
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
(4 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
I. megoldás. a) A lemezre ható forgatónyomatékok eredője – bármely pontra vonatkoztatva – nulla. Írjuk fel a forgatónyomaték-egyenletet az \(\displaystyle A\) pontra vonatkoztatva. Az ebben a pontban ébredő erőnek nincs forgatónyomatéka, így azt az 1. ábrán fel sem tüntettük.
A fonálban csak fonálirányú erő hathat, ezt komponensekre bontjuk: csak az \(\displaystyle F_{By}=F_B\sin\varphi\) függőleges komponensnek van az \(\displaystyle A\) pontra vonatkoztatva forgatónyomatéka. Az egyenlet:
\(\displaystyle F_{By}a=mg\frac{a}{2}, \)
amiből a fonálban ébredő erő:
\(\displaystyle F_B=\frac{F_{By}}{\sin\varphi}=\frac{mg}{2\sin\varphi}\approx 4~\mathrm{N}. \)
b) Az \(\displaystyle A\) pontban ható erő nagyságát és irányát a vízszintes és függőleges erők egyensúlya alapján határozzuk meg. A 2. ábrára berajzoltuk a lemezre ható mindhárom erőt, a fonálerő és a csuklóban fellépő erő komponenseit is.
Az erőegyensúly:
amiből az előző rész eredményét is felhasználva:
A lemez a csuklót az \(\displaystyle F_A\) erő ellenerejével terheli.
Csikós Attila (Budapest, Városmajori Gimn., 9. évf.)
II. megoldás. A lemezre három erő hat: a nehézségi erő, a fonálerő és a csuklóerő. Ezek eredője egyensúly esetén nulla, valamint a három erő hatásvonalának egy ponton kell átmennie. (Ha ez nem így lenne, akkor bármely két erő hatásvonalának metszéspontjára vonatkoztatva a harmadik erő eredő forgatónyomatékot képezne.) A 3. ábráról láthatjuk, hogy a három erő metszéspontja a \(\displaystyle C'\) pont, ami tükörszimmetrikus az \(\displaystyle AB\) szakaszra. A szimmetriából következik, hogy a fonálerő és a csuklóerő egyforma nagy, és mindkettő \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be az \(\displaystyle AB\) szakasszal.
3. ábra
Mindkét erő nagysága
\(\displaystyle \frac{mg}{2\sin{\varphi}}=\frac{mg}{\sqrt{3}}\approx 4~\mathrm{N}. \)
40 dolgozat érkezett. Helyes 14 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 6, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
