Szerk
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
(4 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
I. megoldás. a) A lemezre ható forgatónyomatékok eredője – bármely pontra vonatkoztatva – nulla. Írjuk fel a forgatónyomaték-egyenletet az \(\displaystyle A\) pontra vonatkoztatva. Az ebben a pontban ébredő erőnek nincs forgatónyomatéka, így azt az 1. ábrán fel sem tüntettük.
A fonálban csak fonálirányú erő hathat, ezt komponensekre bontjuk: csak az \(\displaystyle F_{By}=F_B\sin\varphi\) függőleges komponensnek van az \(\displaystyle A\) pontra vonatkoztatva forgatónyomatéka. Az egyenlet:
\(\displaystyle F_{By}a=mg\frac{a}{2}, \)
amiből a fonálban ébredő erő:
\(\displaystyle F_B=\frac{F_{By}}{\sin\varphi}=\frac{mg}{2\sin\varphi}\approx 4~\mathrm{N}. \)
b) Az \(\displaystyle A\) pontban ható erő nagyságát és irányát a vízszintes és függőleges erők egyensúlya alapján határozzuk meg. A 2. ábrára berajzoltuk a lemezre ható mindhárom erőt, a fonálerő és a csuklóban fellépő erő komponenseit is.
Az erőegyensúly:
amiből az előző rész eredményét is felhasználva:
A lemez a csuklót az \(\displaystyle F_A\) erő ellenerejével terheli.
Csikós Attila (Budapest, Városmajori Gimn., 9. évf.)
II. megoldás. A lemezre három erő hat: a nehézségi erő, a fonálerő és a csuklóerő. Ezek eredője egyensúly esetén nulla, valamint a három erő hatásvonalának egy ponton kell átmennie. (Ha ez nem így lenne, akkor bármely két erő hatásvonalának metszéspontjára vonatkoztatva a harmadik erő eredő forgatónyomatékot képezne.) A 3. ábráról láthatjuk, hogy a három erő metszéspontja a \(\displaystyle C'\) pont, ami tükörszimmetrikus az \(\displaystyle AB\) szakaszra. A szimmetriából következik, hogy a fonálerő és a csuklóerő egyforma nagy, és mindkettő \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be az \(\displaystyle AB\) szakasszal.
3. ábra
Mindkét erő nagysága
\(\displaystyle \frac{mg}{2\sin{\varphi}}=\frac{mg}{\sqrt{3}}\approx 4~\mathrm{N}. \)
40 dolgozat érkezett. Helyes 14 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 6, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
