Szerk
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
(4 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
I. megoldás. a) A lemezre ható forgatónyomatékok eredője – bármely pontra vonatkoztatva – nulla. Írjuk fel a forgatónyomaték-egyenletet az \(\displaystyle A\) pontra vonatkoztatva. Az ebben a pontban ébredő erőnek nincs forgatónyomatéka, így azt az 1. ábrán fel sem tüntettük.
A fonálban csak fonálirányú erő hathat, ezt komponensekre bontjuk: csak az \(\displaystyle F_{By}=F_B\sin\varphi\) függőleges komponensnek van az \(\displaystyle A\) pontra vonatkoztatva forgatónyomatéka. Az egyenlet:
\(\displaystyle F_{By}a=mg\frac{a}{2}, \)
amiből a fonálban ébredő erő:
\(\displaystyle F_B=\frac{F_{By}}{\sin\varphi}=\frac{mg}{2\sin\varphi}\approx 4~\mathrm{N}. \)
b) Az \(\displaystyle A\) pontban ható erő nagyságát és irányát a vízszintes és függőleges erők egyensúlya alapján határozzuk meg. A 2. ábrára berajzoltuk a lemezre ható mindhárom erőt, a fonálerő és a csuklóban fellépő erő komponenseit is.
Az erőegyensúly:
amiből az előző rész eredményét is felhasználva:
A lemez a csuklót az \(\displaystyle F_A\) erő ellenerejével terheli.
Csikós Attila (Budapest, Városmajori Gimn., 9. évf.)
II. megoldás. A lemezre három erő hat: a nehézségi erő, a fonálerő és a csuklóerő. Ezek eredője egyensúly esetén nulla, valamint a három erő hatásvonalának egy ponton kell átmennie. (Ha ez nem így lenne, akkor bármely két erő hatásvonalának metszéspontjára vonatkoztatva a harmadik erő eredő forgatónyomatékot képezne.) A 3. ábráról láthatjuk, hogy a három erő metszéspontja a \(\displaystyle C'\) pont, ami tükörszimmetrikus az \(\displaystyle AB\) szakaszra. A szimmetriából következik, hogy a fonálerő és a csuklóerő egyforma nagy, és mindkettő \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be az \(\displaystyle AB\) szakasszal.
3. ábra
Mindkét erő nagysága
\(\displaystyle \frac{mg}{2\sin{\varphi}}=\frac{mg}{\sqrt{3}}\approx 4~\mathrm{N}. \)
40 dolgozat érkezett. Helyes 14 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 6, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
