Szerk
P. 5686. Űrhajósok egy a Földről induló \(\displaystyle 3/5\,c\) sebességgel távolodó űrhajóval elindulnak felfedezni a távoli univerzumot. A földi irányítók az indítás után \(\displaystyle T\) idővel a rakomány egy részét egy másik, \(\displaystyle 4/5\,c\) sebességgel haladó rakétával az űrhajó után küldik.
a) Mekkora sebességgel mozog a rakéta az űrhajósok koordináta-rendszerében?
b) Mennyi idő telik el a rakományt szállító rakéta elindulása és megérkezése között a földi irányítók, illetve az űrhajósok vonatkoztatási rendszerében?
A rakéta és az űrhajó gyorsításához szükséges idő elhanyagolható \(\displaystyle T\) mellett.
(5 pont)
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
Megoldás. a) Legyen az űrhajó Földhöz viszonyított sebessége \(\displaystyle v_1=\tfrac{3}{5}c\), a rakétáé \(\displaystyle v_2=\tfrac{4}{5}c\). A rakéta űrhajóhoz viszonyított sebességét a relativisztikus sebesség-összeadó (sebesség-transzformáló) képlettel határozhatjuk meg:
\(\displaystyle v_2'=\frac{v_2-v_1}{1-\frac{v_2v_1}{c^2}}=\frac{5}{13}c. \)
b) A Földhöz rögzített vonatkozási rendszerben jelölje \(\displaystyle t\) a rakéta útjának idejét, eközben \(\displaystyle s\) utat tesz meg. Az űrhajó ugyanezt az utat \(\displaystyle T+t\) idő alatt teszi meg, tehát:
\(\displaystyle s=v_2t=v_1(T+t), \)
amiből
\(\displaystyle t=\frac{v_1}{v_2-v_1}T=3T. \)
Az űrhajósok vonatkoztatási rendszerében a tőlük \(\displaystyle v_1\) sebességgel távolodó Földön eltelt \(\displaystyle T\) idő az idődilatáció miatt hosszabbnak tűnik:
\(\displaystyle T'=\frac{T}{\sqrt{1-\left(\frac{v_1}{c}\right)^2}}=\frac{5}{4}T. \)
Ezalatt a Földtől
\(\displaystyle s'=v_1T'=\frac{3}{4}cT \)
távolságra jutnak. Ez alapján a rakéta mozgási ideje az űrhajó rendszeréből:
\(\displaystyle t'=\frac{s'}{v_2'}=\frac{39}{20}T. \)
Monori Bence (Budapest, Bethlen Gábor Technikum, 12. évf.)
Megjegyzés. Eredményünk ellenőrzésére lehetőséget ad a következő gondolatmenet: Az űrhajó indulása és a rakéta érkezése (az űrhajó vonatkoztatási rendszerében a Föld ,,indulása'' és a rakéta érkezése) az űrhajó rendszerében ugyanott (az űrhajónál) történik, tehát a két esemény közötti \(\displaystyle T'+t'\) sajátidőre érvényes:
\(\displaystyle \frac{T'+t'}{\sqrt{1-\left(\frac{v_1}{c}\right)^2}}=T+t. \)
Adatainkat behelyettesítve láthatjuk, hogy ez valóban teljesül. Fontos megjegyezni, hogy ez az összefüggés nem áll fenn külön-külön a \(\displaystyle T'\) és \(\displaystyle T\), illetve a \(\displaystyle t'\) és \(\displaystyle t\) viszonyában, mert a két időtartamot elválasztó esemény, a rakéta indítása máshol történik az űrhajó rendszerében, mint az összeg két végpontját adó események.
32 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (2–3 pont) 13, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
