Szerk
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
(5 pont)
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
1. ábra
1. eset: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) (a test melegebb, 1. ábra).
A pillanatnyi hatásfok:
\(\displaystyle \eta(T)=1-\frac{T_0}{T}. \)
A test által leadott kicsiny hőmennyiség \(\displaystyle \mathrm{d}Q=-C\mathrm{d}T\), így az eközben végzett elemi munka:
\(\displaystyle \mathrm{d}W=\eta\mathrm{d}Q=-C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T. \)
Ezt integrálva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:
\(\displaystyle W_1=-C\int\limits_{T_0+\Delta T}^{T_0}\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)
2. ábra
2. eset: \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\) (a test hidegebb, 2. ábra).
Ekkor a hőtartály a meleg oldal (\(\displaystyle T_0\) hőmérsékleten) és a test a hideg (\(\displaystyle T\), változó hőmérsékleten). Reverzibilis folyamat esetén:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q'}{\mathrm{d}Q}=\frac{T_0}{T}, \)
ahol \(\displaystyle \mathrm{d}Q'\) a hőtartály által leadott, \(\displaystyle \mathrm{d}Q=C\mathrm{d}T\) pedig a test által felvett kicsiny hőmennyiség. A kettő különbsége az elemi munkavégzés:
\(\displaystyle \mathrm{d}W=\mathrm{d}Q'-\mathrm{d}Q=C\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T. \)
Ezt integrálva \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-től \(\displaystyle T_0\)-ig:
\(\displaystyle W_2=C\int\limits_{T_0-\Delta T}^{T_0}\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(-\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1-\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right). \)
Összehasonlítás: Vezessük be az \(\displaystyle \varepsilon=\tfrac{\Delta T}{T_0}\) jelölést. Ekkor a két munka különbsége:
\(\displaystyle W_2-W_1=CT_0\left(\ln\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}-2\varepsilon\right)=2CT_0(\mathrm{artanh}\,\varepsilon-\varepsilon). \)
Mivel \(\displaystyle \mathrm{artanh}\,\varepsilon=\varepsilon+\tfrac{\varepsilon^3}{3}+\dots>\varepsilon\), ezért \(\displaystyle W_2>W_1\). Tehát több munka nyerhető a második esetben, amikor a test kezdetben hidegebb (\(\displaystyle T=T_0-\Delta T\)).
Megjegyzés. \(\displaystyle \Delta T\ll T_0\) esetén a közelítő alakok:
így a különbség csak a harmadrendű tagtól kezdve jelentkezik.
Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. Az összehasonlítás az integrálok kiszámítása nélkül is elvégezhető. Az integrálást mindkét esetben egy \(\displaystyle \Delta T\) hosszúságú intervallumon kellene végezzük: az egyik esetben \(\displaystyle T_0\)-ról indulva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-ig, a másik esetben \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-ről indulva \(\displaystyle T_0\)-ig (3. ábra).
3. ábra
Hasonlítsuk össze a két integrandust! Az első esetben
\(\displaystyle T_0\leq T\leq T_0+\Delta T\quad\Rightarrow\quad T=T_0+\delta T, \)
míg a második esetben
\(\displaystyle T_0-\Delta T\leq T\leq T_0\quad\Rightarrow\quad T=T_0-\delta T, \)
ahol \(\displaystyle 0\leq\delta T\leq\Delta T\). Ez alapján (a \(\displaystyle C\) konstanst mindkét esetben elhagyva):
\(\displaystyle 1-\frac{T_0}{T}=1-\frac{T_0}{T_0+\delta T}=\frac{\delta T}{T_0+\delta T}\leq\frac{\delta T}{T_0-\delta T}=\frac{T_0}{T_0-\delta T}-1=\frac{T_0}{T}-1, \)
azaz a második esetben az integrandus mindig nagyobb (az intervallum szélén pedig egyenlő). Tehát – az I. megoldásban szereplő érveléssel összhangban – a második esetben nyerhető több munka.
17 dolgozat érkezett. Helyes 5 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–3 pont) 6, hibás 3 dolgozat.
P. 5682. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle H\) magasságú hengerben folyadék van. A hengert a tengelye körül forgásba hozzuk. A forgás szögsebességét lassan növeljük egészen addig, amíg a folyadék széle felhúzódik egészen az edény szájáig. Ekkor a pohár aljának közepéről éppen ,,eltűnik'' a folyadék.
a) Mekkora az edény legnagyobb szögsebessége?
b) Milyen magasan áll a folyadék a hengerben induláskor?
Közli: Simon Péter, Pécs
Megoldás. a) Tegyük fel, hogy a henger \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forog, és a víz formája a feladatnak megfelelő. Nyilván a víz felszíne forgásszimmetrikus, tehát bármely, a henger forgástengelyén áthaladó keresztmetszet ugyanolyan formájú lesz. Legyen valamely keresztmetszet felszínének az egyenlete \(\displaystyle h(r)\), ahol \(\displaystyle r=0\) a forgástengely és \(\displaystyle h=0\) a henger alaplapja.
Vegyünk egy \(\displaystyle m\) tömegű vízrészecskét a felszínen, amely \(\displaystyle x\) távolságra van a forgástengelytől. A forgó hengerhez rögzített vonatkoztatási rendszerben erre a részecskére hat az \(\displaystyle mg\) nagyságú, függőleges irányú nehézségi erő, az \(\displaystyle m\omega^2r\) nagyságú, vízszintes irányú centrifugális erő (tehetetlenségi erő), és egy, a folyadék felületére merőleges irányú nyomóerő (1. ábra). Ahhoz, hogy a részecske egyensúlyban legyen, a nehézségi erő és a centrifugális erő vektoriális összegének merőlegesnek kell lennie a felületre.
A felület meredeksége \(\displaystyle h'(r)\), amiből
ahol \(\displaystyle h(0)=0\) alapján az integrációs állandó \(\displaystyle c=0\). Ezen kívül a feladat szövege alapján \(\displaystyle h(R)=H\), amiből:
\(\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2gH}}{R}. \)
b) Határozzuk meg a folyadékból hiányzó forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatát! Ehhez osszuk fel a testet \(\displaystyle \mathrm{d}h\) magasságú henger alakú szeletekre (2. ábra).
A \(\displaystyle h\) magasságban lévő szelet sugara (2) alapján:
\(\displaystyle r(h)=\frac{\sqrt{2gh}}{\omega}, \)
térfogata pedig:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{2gh}{\omega^2}\pi\,\mathrm{d}h. \)
A keresett térfogat integrálással határozható meg:
\(\displaystyle V=\frac{2g\pi}{\omega^2}\int\limits_0^H h\,\mathrm{d}h=\frac{gH^2\pi}{\omega^2}=\frac{HR^2\pi}{2}. \)
(Az utolsó lépésben \(\displaystyle \omega\) előző részben megkapott kifejezését helyettesítettük be.) A teljes henger térfogata \(\displaystyle HR^2\pi\), tehát a forgási paraboloid térfogatának kétszerese. Így a folyadék térfogata megegyezik a forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatával, amiből a folyadék magassága induláskor:
\(\displaystyle H_0=\frac{V}{R^2\pi}=\frac{H}{2}. \)
Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. A forgási paraboloid metszetének egyenlete meghatározható geometriai megfontolásokkal is. A parabolatükör a tengelyével párhuzamos fénysugarakat a fókuszpontba gyűjti (3. ábra). A parabola geometriai definíciója szerint a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (\(\displaystyle PF=PP'\)). Az \(\displaystyle F\) fókuszpont és a \(\displaystyle v\) vezéregyenes távolsága a parabola \(\displaystyle p\) paramétere, amellyel a parabola egyenlete:
\(\displaystyle h=\frac{1}{2p}r^2. \)
A 3. ábráról leolvashatóan a görbe érintője az \(\displaystyle FPP'\) egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye, így az \(\displaystyle FP'\) szakasz merőleges rá. Ezért a merőleges szárú szögek miatt:
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{r}{p}. \)
Ezek alapján (1) felhasználásával (\(\displaystyle \tg\alpha=h'(r)\)):
a megoldásban kapott kifejezéssel összhangban.
2. A folyadék térfogata a forgástestekre ismert számítási módszerrel is meghatározható. Ekkor a forgástestet \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \mathrm{d}r\) vastagságú, \(\displaystyle h(r)\) magasságú hengergyűrűkre bontjuk (4. ábra), amelyek térfogata:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=2r\pi h(r)\,\mathrm{d}r. \)
Behelyettesítve \(\displaystyle h(r)\) (2)-ben megkapott kifejezését, és az integrálást elvégezve:
\(\displaystyle V=\int\limits_0^R\frac{2H\pi}{R^2}r^3\,\mathrm{d}r=\frac{2H\pi}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{HR^2\pi}{2}, \)
az előző eredménnyel összhangban.
4. ábra
40 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (1–3 pont) 10, nem versenyszerű 1, nem értékelt 1 dolgozat.
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
