Szerk
P. 5692. Egy adott mennyiségű egyatomos ideális gáz kvázisztatikusan eljut a kezdeti \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle V_0\) térfogatú állapotából a \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle 2V_0\) térfogatú végállapotába. A folyamatot úgy választjuk meg, hogy a gáz hőmérséklete sohasem csökkenhet, illetve a gáz sohasem adhat le hőt.
a) Minimálisan mekkora hőt közölhettünk a gázzal?
b) Maximálisan mekkora hőt közölhettünk a gázzal?
(5 pont)Kvant feladat
I. megoldás. Jelölje a kezdeti, \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle V_0\) térfogatú állapotot A, a végső, \(\displaystyle p_0\) nyomású és \(\displaystyle 2V_0\) térfogatú állapotot B. Mivel a gáz hőmérséklete sehol sem csökkenhet, a folyamat mindvégig az A és B állapotokhoz tartozó izotermák között kell haladjon. Ugyanígy, mivel a gáz sehol nem adhat le hőt, a folyamat mindvégig az A és B állapotokon átmenő adiabaták között kell haladjon. A folyamat tehát csak az 1. ábrán halvány zölddel jelölt \(\displaystyle \mathrm{AK_1BK_2}\) síkidomon belül haladhat.
1. ábra
Az I. főtétel alapján
\(\displaystyle Q=\Delta E+W_{\mathrm{g}}, \)
ahol \(\displaystyle Q\) a gáz által felvett hő, \(\displaystyle \Delta E=E_{\mathrm{B}}-E_{\mathrm{A}}\) a gáz belső energiájának megváltozása és \(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\) a gáz által végzett munka. A hőfelvétel akkor lesz minimális, ha a gáz által végzett munka minimális, és akkor lesz maximális, ha a munkavégzés is maximális.
A gáz által végzett munka megegyezik a \(\displaystyle p\)–\(\displaystyle V\) síkon a folyamatot leíró görbe alatti (előjeles) területtel (hiszen \(\displaystyle \mathrm{d}W=p~\mathrm{d}V\)). Ez alapján a gáz legkisebb munkavégzése, és így legkisebb hőfelvétele az \(\displaystyle \mathrm{AK_1B}\) útvonalon, a legnagyobb pedig az \(\displaystyle \mathrm{AK_2B}\) útvonalon történik. (Ezek az útvonalak kielégítik a feladat feltételeit: a hőmérséklet soha nem csökken, mindig vagy állandó, vagy növekszik, és hőleadás sincsen, hiszen vagy hőfelvétel történik, vagy adiabatikus a folyamat.)
A \(\displaystyle \mathrm{K_1}\) állapotban a gáz állapotjelzői legyenek \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle V_1\), az utóbbi meghatározása:
A \(\displaystyle \mathrm{K_1B}\) folyamat adibatikus, ott nem történik hőfelvétel. Az \(\displaystyle \mathrm{AK_1}\) folyamat izotermikus, így a hőfelvétel megegyezik a gáz munkavégzésével, amiből:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{min}}=Q_{\mathrm{AK_1}}=W_{\mathrm{g},\,\mathrm{AK}_1}=p_0V_0\ln\frac{V_1}{V_0}=\frac{5\ln2}{2}p_0V_0\approx 1{,}73\,p_0V_0. \)
Hasonlóan a \(\displaystyle \mathrm{K_2}\) állapotban a \(\displaystyle V_2\) térfogat:
Most az \(\displaystyle \mathrm{AK_2}\) folyamat adibatikus, ott nem történik hőfelvétel, és a \(\displaystyle \mathrm{K_2B}\) folyamat izotermikus. Ezen a szakaszon a hőfelvétel így ismét megegyezik a gáz munkavégzésével, amiből:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{max}}=Q_{\mathrm{K_2B}}=W_{\mathrm{g},\,\mathrm{K_2B}}=2p_0V_0\ln\frac{2V_0}{V_2}=5\ln2\cdot p_0V_0=2Q_{\mathrm{min}}\approx 3{,}46\,p_0V_0. \)
A Zsebkornél csapat: Baráz Kornél, Horváth Ábel Nándor, Szél Márton (Budapest, Szent István Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. Legyen a gáz hőmérséklete az A jelű kiinduló állapotban \(\displaystyle T_0\), ekkor az egyesített gáztörvény alapján a B jelű végállapotban a hőmérséklet \(\displaystyle 2T_0\) lesz. A gáz entrópiaváltozása a folyamat során:
\(\displaystyle \Delta S=nR\left(\frac{f}{2}\ln\frac{2T_0}{T_0}+\ln\frac{2V_0}{V_0}\right)=\ln2\left(\frac{f}{2}+1\right)nR=\frac{5\ln 2}{2}nR, \)
ahol \(\displaystyle n\) a gáz anyagmennyisége, \(\displaystyle R\) pedig az egyetemes gázállandó. Felhasználtuk, hogy a gáz egyatomos, így \(\displaystyle f=3\). (Az entrópia kezdeti értékét nem tudjuk meghatározni – nincs is rá szükségünk –, csak a megváltozását.)
A folyamat során a hőmérséklet sehol sem csökkenhet. Ahhoz pedig, hogy a gáz soha ne adjon le hőt, az entrópia sem csökkenhet sehol. Tehát a folyamatnak a \(\displaystyle T\)–\(\displaystyle S\) hőmérséklet–entrópia grafikonon (2. ábra) a halvány zöld területen belül kell maradnia, csak a nagyobb hőmérséklet és nagyobb entrópia irányába haladhat (vagy állandó lehet).
2. ábra
A \(\displaystyle T\)–\(\displaystyle S\) grafikonon a gáz által felvett hőt a görbe alatti (előjeles) terület adja meg (hiszen \(\displaystyle \mathrm{d}Q=T\,\mathrm{d}S\)). Ebből látszik, hogy a minimális hőközlést úgy érhetjük el, ha először állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékleten hőt közlünk a gázzal (növeljük az entrópiáját), majd adiabatikusan (hőközlés, és így entrópiaváltozás nélkül) összenyomva növeljük a hőmérsékletét (\(\displaystyle \mathrm{AK_1B}\) folyamat). A maximális hőközléshez pedig éppen fordítva, először adiabatikusan (izentropikusan) növeljük a hőmérsékletét, majd ezután állandó \(\displaystyle 2T_0\) hőmérsékleten közlünk vele hőt (\(\displaystyle \mathrm{AK_2B}\) folyamat).
A minimális közölt hő tehát:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{min}}=T_0\Delta S=\frac{5\ln 2}{2}nRT_0=\frac{5\ln 2}{2}p_0V_0\approx 1{,}73\,p_0V_0. \)
a maximális közölt hő pedig:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{max}}=2T_0\Delta S=5\ln 2\cdot nRT_0=5\ln 2\cdot p_0V_0=2Q_{\mathrm{min}}\approx 3{,}46\,p_0V_0. \)
Patócs Péter (Budapest, Kempelen Farkas Gimn., 10. évf.)
31 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Hiányos (1–3 pont) 22, hibás 1 dolgozat.
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
