Szerk
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
(4 pont)
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
Megoldás. a) A síkon Peti \(\displaystyle v_0\) sebességgel a \(\displaystyle d=5~\mathrm{m}\) utat
\(\displaystyle t_1=\frac{d}{v_0} \)
idő alatt teszi meg. Az \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) hajlásszögű emelkedőn a lassulásának nagysága:
\(\displaystyle |a|=g\sin\alpha=\frac{g}{2}, \)
így a lejtőn a megállásig
\(\displaystyle t_2=\frac{v_0}{|a|}=\frac{2v_0}{g} \)
ideig fog mozogni. A teljes mozgási idő \(\displaystyle t=t_1+t_2\), azt keressük, hogy ez milyen kezdősebesség esetén minimális. Ezt legegyszerűbben a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel kaphatjuk meg:
\(\displaystyle t=\frac{d}{v_0}+\frac{2v_0}{g}\geq 2\sqrt{\frac{d}{v_0}\,\frac{2v_0}{g}}=2\sqrt{\frac{2d}{g}}\approx 2~\mathrm{s}. \)
A minimális idő akkor valósul meg, amikor az egyenlőség áll fenn:
\(\displaystyle \frac{d}{v_0}=\frac{2v_0}{g}, \)
amiből a keresett kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{gd}{2}}\approx 5~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
b) Az emelkedőn Peti a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről a megállásig lassulva
\(\displaystyle s=\frac{v_0^2}{2|a|}=\frac{v_0^2}{g}=\frac{d}{2}=2{,}5~\mathrm{m} \)
utat tesz meg.
Bense Tamás (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 10. évf.)
Megjegyzés. A b) kérdésre a választ egyszerűbben megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy a minimális idő esetében Peti ugyanannyi ideig mozog a síkon, mint a lejtőn, csak éppen fele akkora átlagsebességgel. Ebből \(\displaystyle s=\tfrac{d}{2}=2{,}5~\mathrm{m}\), az előző megoldással összhangban.
53 dolgozat érkezett. Helyes 32 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 15, hiányos (1–2 pont) 4, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
