Szerk
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
(4 pont)
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
Megoldás. a) A síkon Peti \(\displaystyle v_0\) sebességgel a \(\displaystyle d=5~\mathrm{m}\) utat
\(\displaystyle t_1=\frac{d}{v_0} \)
idő alatt teszi meg. Az \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) hajlásszögű emelkedőn a lassulásának nagysága:
\(\displaystyle |a|=g\sin\alpha=\frac{g}{2}, \)
így a lejtőn a megállásig
\(\displaystyle t_2=\frac{v_0}{|a|}=\frac{2v_0}{g} \)
ideig fog mozogni. A teljes mozgási idő \(\displaystyle t=t_1+t_2\), azt keressük, hogy ez milyen kezdősebesség esetén minimális. Ezt legegyszerűbben a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel kaphatjuk meg:
\(\displaystyle t=\frac{d}{v_0}+\frac{2v_0}{g}\geq 2\sqrt{\frac{d}{v_0}\,\frac{2v_0}{g}}=2\sqrt{\frac{2d}{g}}\approx 2~\mathrm{s}. \)
A minimális idő akkor valósul meg, amikor az egyenlőség áll fenn:
\(\displaystyle \frac{d}{v_0}=\frac{2v_0}{g}, \)
amiből a keresett kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{gd}{2}}\approx 5~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
b) Az emelkedőn Peti a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről a megállásig lassulva
\(\displaystyle s=\frac{v_0^2}{2|a|}=\frac{v_0^2}{g}=\frac{d}{2}=2{,}5~\mathrm{m} \)
utat tesz meg.
Bense Tamás (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 10. évf.)
Megjegyzés. A b) kérdésre a választ egyszerűbben megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy a minimális idő esetében Peti ugyanannyi ideig mozog a síkon, mint a lejtőn, csak éppen fele akkora átlagsebességgel. Ebből \(\displaystyle s=\tfrac{d}{2}=2{,}5~\mathrm{m}\), az előző megoldással összhangban.
53 dolgozat érkezett. Helyes 32 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 15, hiányos (1–2 pont) 4, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
